SchulLV

Gegeben sind die Punkte $A(8 \mid 0 \mid 6),$ $B(7 \mid 1 \mid 6)$ und $S(0 \mid 0 \mid 10),$ die in der Ebene $E$ liegen.

Berechne die Länge der Strecke $[AB]$ und gib die besondere Lage dieser Strecke im Koordinatensystem an.

(zur Kontrolle: $\overline{AB} = \sqrt{2}$ )

(2 BE)

Bestimme eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $E : x_1 + x_2 + 2x_3 - 20 = 0$ )

(3 BE)

Betrachtet werden die Schar der Geraden $g_k : \overrightarrow{X} = \pmatrix{0 \\ 0 \\ 10} + \lambda \cdot \pmatrix{1 + k \\ 1 - k \\ -1}$ mit $\lambda \in \mathbb{R}$ und $k \in \mathbb{R}$ sowie der Punkt $C(9 \mid 1 \mid 5).$

Begründe, dass jede Gerade der Schar in $E$ liegt, und bestimme denjenigen Wert $k,$ für den der Punkt $C$ auf $g_k$ liegt.

(zur Kontrolle: $k = 0,8$ )

(3 BE)

Begründe, dass keine Gerade der Schar parallel zu einer der Koordinatenachsen ist.

(2 BE)

Begründe, dass die Größe des Schnittwinkels von $g_k$ und der $x_1x_2$ -Ebene weniger als $30^\circ$ beträgt, wenn $2k^2 \gt 1$ gilt.

(5 BE)

Eine Skifahrerin fährt einen Hang hinab. Dieser wird modellhaft durch ein Flächenstück beschrieben, das in der Ebene $E$ liegt. Die Startposition der Abfahrt entspricht dem Punkt $S.$ Auf dem Hang befindet sich ein Tor, dessen Begrenzungsstangen im Modell an den Punkten $A$ und $B$ stehen. Von ihrer Startposition fährt die Skifahrerin zunächst entlang einer geraden Fahrlinie bis zu einer Stelle unterhalb des Tors, die dem Punkt $C$ entspricht (vgl. Abbildung).

Die gerade Fahrlinie liegt dabei im Modell auf der Gerade $g_{0,8} : \overrightarrow{X} = \pmatrix{0 \\ 0 \\ 10} + \lambda \cdot \pmatrix{1,8 \\ 0,2 \\ -1}.$ Die $x_1x_2$ -Ebene beschreibt die Horizontale; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $5$ Metern in der Realität.

Gib mit Hilfe des Ergebnisses aus Aufgabe a die Breite des Tors auf Meter genau an. Begründe mit Hilfe der Aussage aus Aufgabe e, dass die gerade Fahrlinie der Skifahrerin um weniger als $30^\circ$ gegenüber der Horizontalen geneigt ist.

(3 BE)

Begründe rechnerisch, dass die Skifahrerin das Tor tatsächlich durchquert.

(4 BE)

An der Stelle, die im Modell dem Punkt $C$ entspricht, wird die Fahrlinie der Skifahrerin ohne Knick durch eine kreisbogenförmige Kurve fortgesetzt. Während der Fahrt entlang dieser Kurve erreicht die Skifahrerin eine Stelle, die dem Punkt $D(18 \mid -2 \mid 2)$ entspricht.

Der Kreisbogen, der diese Kurve beschreibt, ist Teil eines Kreises mit Mittelpunkt $M(m_1 \mid m_2 \mid m_3).$ Die Koordinaten von $M$ können mit folgendem Gleichungssystem ermittelt werden.

Gleichungssystem anzeigen

Erläutere die geometrischen Überlegungen, die den Gleichungen $\text{I},\text{II}$ und $\text{III}$ zugrunde liegen.

(3 BE)

(25 BE)