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Teil A

Aufgaben
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1
Gegeben sind die beiden Kugeln $k_1$ mit Mittelpunkt $M_1(1\mid 2\mid 3)$ und Radius $5$ sowie $k_2$ mit Mittelpunkt $M_2(-3\mid -2\mid 1)$ und Radius $5.$
a)
Zeige, dass sich $k_1$ und $k_2$ schneiden.
(2 BE)
b)
Die Schnittfigur von $k_1$ und $k_2$ ist ein Kreis. Bestimme die Koordinaten des Mittelpunkts und den Radius dieses Kreises.
(3 BE)
#kugel#kreis
2
a)
Die Ebene $E:\, 3x_1 +2x_2 +2x_3 = 6$ enthält einen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Bestimme diese Koordinaten.
(2 BE)
b)
Begründe, dass die folgende Aussage richtig ist:
Es gibt unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.
(3 BE)

(10 BE)
#ebenengleichung
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Lösungen
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1
a)
$\blacktriangleright$  Schnitt zeigen
Die beiden Kugeln schneiden sich, wenn der Abstand der beiden Mittelpunkte geringer ist als die Summe der beiden Radien. Beide Kugeln haben den Radius $5.$ Ist der Abstand der beiden Mittelpunkte also kleiner als $10,$ so schneiden sie sich:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{M_1M_2} \right|&=& \left|\pmatrix{-4\\-4\\-2} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-4)^2 +(-4)^2 +(-2)^2}\\[5pt] &=& \sqrt{36} \\[5pt] &=& 6 \end{array}$
$ \left|\overrightarrow{M_1M_2} \right| = 6 $
Da die beiden Mittelpunkte einen Abstand von $6$ haben und die beiden Kugeln aber einen Radius von $5$ haben, schneiden sich die beiden Kugeln $k_1$ und $k_2.$
b)
$\blacktriangleright$  Mittelpunkt der Schnittfigur bestimmen
Da beide Kugeln denselben Radius besitzen, also die gleiche Form haben, muss der Mittelpunkt des Schnittkreises genau mittig zwischen den beiden Kugelmittelpunkten liegen. Mit der Formel für den Mittelpunkt einer Strecke erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM_3}&=& \frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OM_1}+\overrightarrow{OM_2}\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(\pmatrix{1\\2\\3}+\pmatrix{-3\\-2\\1}\right) \\[5pt] &=& \pmatrix{-1\\0\\2} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{OM_3} = \pmatrix{-1\\0\\2} $
Der Mittelpunkt des Schnittkreises der beiden Kugeln $k_1$ und $k_2$ besitzt die Koordinaten $M_3(-1\mid0\mid 2).$
$\blacktriangleright$  Radius der Schnittfigur bestimmen
Betrachte die Skizze. $r_3$ ist der gesuchte Radius. Da du in a) bereits berechnet hast, dass $M_1$ und $M_2$ den Abstand $6$ voneinander haben und $M_3$ der Mittelpunkt der Strecke zwischen $M_1$ und $M_2$ ist, beträgt die Länge der Strecke zwischen $M_1$ und $M_3$ $3.$
Da ein rechtwinkliges Dreieck entsteht, kannst du den Satz des Pythagoras verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} r_3^2 + \overline{M_1M_3}^2 &=& r_1^2 \\[5pt] r_3^2 + 3^2 &=& 5^2 \\[5pt] r_3^2 +9 &=& 25 &\quad \scriptsize \mid\; -9\\[5pt] r_3^2 &=& 16 \\[5pt] r_3 &=& 4 \end{array}$
$ r_3=4 $
Der Radius des Schnittkreises von $k_1$ und $k_2$ beträgt $4.$
#satzdespythagoras#vektorbetrag
2
a)
$\blacktriangleright$  Koordinaten bestimmen
Der gesuchte Punkt besitzt Koordinaten der Form $(t\mid t\mid t).$ Setzt du dies in die Ebenengleichung ein, so erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} 3x_1 +2x_2 +2x_3 &=& 6 \\[5pt] 3t+2t+2t &=& 6 \\[5pt] 7t &=& 6 &\quad \scriptsize \mid\; :7 \\[5pt] t &=& \frac{6}{7} \end{array}$
$ t = \frac{6}{7} $
Die Koordinaten des gesuchten Punkts der Ebene $E$ mit drei übereinstimmenden Koordinaten lauten $\left(\frac{6}{7}\mid \frac{6}{7}\mid \frac{6}{7}\right).$
b)
$\blacktriangleright$  Aussage begründen
Alle Punkte, deren drei Koordinaten übereinstimmen, liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $\overrightarrow{x} = t\cdot \pmatrix{1\\1\\1}.$
Alle Ebenen, die zu dieser Geraden parallel verlaufen, diese aber nicht enthalten, haben keine gemeinsamen Punkte mit ihr und daher keinen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Zu jeder Geraden gibt es unendlich viele Ebenen, die zu dieser parallel verlaufen und diese nicht enthalten. Auch zu $g$ gibt es daher unendlich viele parallele Ebenen, die $g$ nicht enthalten, die also keinen Punkt mit drei identischen Koordinaten besitzen.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© – SchulLV.
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