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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Abitur (WTR)
Abi 2019
Analysis
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Stochastik
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Geometrie
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Abi 2018
Analysis
Aufgabengruppe I
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Stochastik
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Analysis
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Stochastik
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Abi 2016
Analysis
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
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Stochastik
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Geometrie
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Abi 2015
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
Geometrie Prüfungstei...
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
Geometrie Prüfungstei...
Abi 2014
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
Geometrie Prüfungstei...
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
Geometrie Prüfungstei...
Abi 2013
Analysis Aufgabengrup...
Analysis Aufgabengrup...
Stochastik Aufgabengr...
Stochastik Aufgabengr...
Geometrie Aufgabengru...
Geometrie Aufgabengru...
Abi 2012
Analysis Aufgabengrup...
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Stochastik Aufgabengr...
Stochastik Aufgabengr...
Geometrie Aufgabengru...
Geometrie Aufgabengru...
Musterabi
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
Geometrie Prüfungstei...
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
Geometrie Prüfungstei...
Abi 2011
Analysis Aufgabengrup...
Analysis Aufgabengrup...
Stochastik Aufgabengr...
Stochastik Aufgabengr...
Geometrie Aufgabengru...
Geometrie Aufgabengru...
LV-Abi 1
Analysis Prüfungsteil...
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Geometrie Prüfungstei...
Geometrie Prüfungstei...
Stochastik Prüfungste...
Stochastik Prüfungste...
LV-Abi 2
Analysis Prüfungsteil...
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Geometrie Prüfungstei...
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Stochastik Prüfungste...
Stochastik Prüfungste...
LV-Abi 3
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Geometrie Prüfungstei...
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Stochastik Prüfungste...
Stochastik Prüfungste...

Teil B

Aufgaben
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Gegeben ist die Funktion $f:\, \mapsto \dfrac{4x}{(x+1)^2}$ mit Definitionsmenge $D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1 \}$.
Die Abbildung zeigt den Verlauf des Graphen $G_f$ von $f$ im 1. Quadranten.
a)
Begründe, dass $x=0$ die einzige Nullstelle von $f$ ist. Gib die Gleichung der senkrechten Asymptote von $G_f$ an und begründe anhand des Funktionsterms von $f$, dass $G_f$ die Gerade mit der Gleichung $y=0$ als waagrechte Asymptote besitzt.
(3 BE)
#asymptote#nullstelle
b)
Bestimme rechnerisch Lage und Art des Extrempunkts von $G_f$.
(5 BE)
#extrempunkt
c)
Begründe, dass $G_f$ für $x<0$ nur im 3.Quadranten verläuft, und zeichne in die Abbildung den darin fehlenden Teil von $G_f$ ein. Berechne dazu $f(-3)$ und drei weitere geeignete Funktionswerte von $f$.
(4 BE)
d)
Gegeben ist ferner die in $]-1;+\infty[$ definierte Funktion
$F: \, x \ \mapsto 4 \cdot \ln(x+1)+\dfrac{4}{x+1}$
Zeige, dass $F$ für $x>-1$ eine Stammfunktion von $f$ ist.
(3 BE)
#stammfunktion
Ein Pharmaunternehmen führt eine Studie zur Wirksamkeit und Verträglichkeit eines neu entwickelten Medikaments durch. Wenn das Medikament einmalig in Form einer Tablette eingenommen wird, kann die zeitliche Entwicklung der Konzentration des Wirkstoffs im Blut des Patienten modellhaft durch die betrachtete Funktion $f$ für $x\in[0;9]$ beschrieben werden. Dabei steht $x$ für die Zeit in Stunden seit der Einnahme der Tablette und $f(x)$ für die Konzentration des Wirkstoffs im Blut des Patienten (im Weiteren kurz als Wirkstoffkonzentration bezeichnet) in Milligramm pro Liter $(\frac{\text{mg}}{l}).$
e)
Berechne die Wirkstoffkonzentration $30$ Minuten nach Einnahme der Tabletten und gib die maximal auftretende Wirkstoffkonzentration an.
(2 BE)
f)
An der Stelle $x=2$ hat $G_f$ einen Wendepunkt. Beschreibe, wie man rechnerisch vorgehen könnte, um dies zu begründen. Gib die Bedeutung der $x$-Koordinate des Wendepunkts im Sachzusammenhang an.
(3 BE)
#wendepunkt
In der Pharmakologie wird das in positive $x$-Richtung unbegrenzte Flächenstück, das sich im 1.Quadranten zwischen $G_f$ und der $x$-Achse befindet, als $AUC$ ("area under the curve") bezeichnet. Nur dann, wenn diesem Flächenstück ein endlicher Flächeninhalt zugeordnet werden kann, kann die betrachtete Funktion $f$ die zeitliche Entwicklung der Wirkstoffkonzentration auch für große Zeitwerte $x$ realistisch beschreiben.
g)
Die $x$-Achse, $G_f$ und die Gerade mit der Gleichung $x=b$ mit $b\in\mathbb{R}^+$ schließen im 1.Quadranten ein Flächenstück mit dem Inhalt $A(b)$ ein. Bestimme mithilfe der in Aufgabe d) angegebenen Stammfunktion $F$ einen Term für $A(b)$ und beurteile unter Verwendung dieses Terms, ob die Funktion f auch für große Zeitwerte eine realistische Modellierung der zeitlichen Entwicklung der Wirkstoffkonzentrsation darstellt.
(4 BE)
Das Medikament zeigt die gewünschte Wirkung erst ab einer bestimmten Wirkstoffkonzentration. Daher soll der Patient nach der ersten Tablette des Medikaments eine zweite identisch wirkende Tablette einnehmen, noch bevor die Konzentration des Wirkstoffs im Blut unter $0,75 \, \dfrac{mg}{l}$ fällt.
Nach der Einnahme der zweiten Tablette erhöht sich die Wirkstoffkonzentration um die durch diese Tablette verursachte Konzentration des Wirkstoffs im Blut.
h)
Ermittle durch Rechnung den spätesten Zeitpunkt, zu dem die zweite Tablette eingenommen werden soll.
(4 BE)
i)
Wird die zweite Tablette zweieinhalb Stunden nach der ersten Tablette eingenommen, so kann die Wirkstoffkonzentration für $x\in [2,5;9]$ mit einem der folgenden Terme beschrieben werden. Wähle den passenden Term aus und begründe deine Wahl.
(A)
$f(x)+f(x+2,5)$
(B)
$f(x)+f(x-2,5)$
(C)
$f(x-2,5)+f(2,5)$
(D)
$f(x)-f(x-2,5)$
(3 BE)
Verabreicht man das Medikament nicht in Form von Tabletten, sondern mittels einer Dauerinfusion, so wird der Wirkstoff langsam und kontinuierlich zugeführt. Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $k: \, x \mapsto \, \dfrac{3 \cdot e^{2x}}{e^{2x}+1}-1,5$ beschreibt für $x\geq0$ modellhaft die zeitliche Entwicklung der Wirkstoffkonzentration während einer Dauerinfusion. Dabei ist x die zeit Anlegen der Dauerinfusion vergangene Zeit in Stunden und $k(x)$ die Wirkstoffkonzentration in $\dfrac{\text{mg}}{l}$.
j)
Begründe, dass der Graph von $k$ streng monoton steigend ist.

[Zur Kontrolle: $k'(x)= \, \dfrac{6e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2}$]
(4 BE)
#monotonie
k)
Bei Dauerinfusionen dieses Medikaments muss die Wirkstoffkonzentration spätestens 60 Minuten nach Beginn der Infusion dauerhaft größer als $0,75 \, \dfrac{\text{mg}}{l}$ sein und stets mindestens $25\,\%$ unter der gesundheitsschädlichen Grenze von $2 \, \dfrac{mg} {l}$ liegen. Ermittle $ \lim\limits_{x\to+\infty} \, k(x)$ und beurteile beispielsweise unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse, ob gemäß der Modellierung diese beiden Bedingungen erfüllt sind.
(5 BE)

(40 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Einzige Nullstelle begründenTeil B
Der Funktionsterm von $f$ ist $f(x)= \dfrac{4x}{(x+1)^2}.$ Aufgrund der Darstellung als Bruch entsprechen die Nullstellen von $f$ den Nullstellen des Zählerterms $4x.$ Dabei handelt es sich um den Term einer linearen Funktion mit genau einer Nullstelle $x.$ Diese ist:
$\begin{array}[t]{rll} 4x &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] x&=& 0 \end{array}$
$\blacktriangleright$  Gleichung der senkrechten Asymptote angeben
Die senkrechte Asymptote kannst du über die Polstelle ermitteln. Die Funktion $f$ besitzt die Polstelle $x=-1,$ die aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen ist, da der Term $\dfrac{4x}{(x+1)^2}$ für diesen Wert nicht definiert ist. Die senkrechte Asymptote von $G_f$ ist also die Gerade mit der Gleichung $x=-1.$
$\blacktriangleright$  Waagerechte Asymptote begründen
Da der Nenner des Bruchterms $\dfrac{4x}{(x+1)^2}$ quadratisch ist, der Zähler aber nur linear, ist der Nenner für immer größer werdende Werte von $x$ immer größer als der Zähler. Je größer der Wert von $x,$ desto kleiner wird dadurch der Wert des Bruchs und nähert sich somit für $x\to \infty$ immer weiter dem Wert Null an. Dadurch nähert sich der Graph von $f$ immer weiter der $x$-Achse an, ohne diese aber erneut zu schneiden. Er besitzt daher die Gerade mit der Gleichung $y=0$ als waagerechte Asymptote.
Analoges gilt auch für $x\to -\infty.$ Da der Wert des Terms für negative $x$ aber negativ ist, nähert sich der Graph von $f$ für $x\to -\infty$ der $x$-Achse im negativen Bereich.
b)
$\blacktriangleright$  Lage und Art des Extrempunkts rechnerisch bestimmen
1. Schritt: Ableitungen bestimmen
Mit der Quotientenregel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& \dfrac{4x}{(x+1)^2}\\[10pt] f'(x)&=&\dfrac{4\cdot (x+1)^2 - 4x\cdot 2\cdot (x+1)^1 \cdot 1}{(x+1)^4} \\[5pt] &=& \dfrac{4\cdot (x+1)^2 - 8x\cdot (x+1)}{(x+1)^4}\\[5pt] &=& \dfrac{4\cdot (x+1) - 8x}{(x+1)^3} \\[5pt] &=& \dfrac{4x+4- 8x}{(x+1)^3}\\[5pt] &=& \dfrac{-4x+4}{(x+1)^3}\\[10pt] f''(x)&=& \dfrac{-4\cdot (x+1)^3 - (-4x+4)\cdot 3\cdot (x+1)^2\cdot 1 }{(x+1)^6} \\[5pt] &=& \dfrac{-4\cdot (x+1)^3 - (-12x+12)\cdot (x+1)^2 }{(x+1)^6} \\[5pt] &=& \dfrac{-4\cdot (x+1) - (-12x+12) }{(x+1)^4} \\[5pt] &=& \dfrac{-4x-4 +12x-12 }{(x+1)^4} \\[5pt] &=& \dfrac{8x-16 }{(x+1)^4} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&= \dfrac{4x}{(x+1)^2}\\[10pt] f'(x)&= \dfrac{-4x+4}{(x+1)^3}\\[10pt] f''(x)&= \dfrac{8x-16 }{(x+1)^4} \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Mit dem notwendigen Kriterium für Extrempunkte $f'(x)=0$ folgen mögliche Extremstellen:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& 0 \\[5pt] \dfrac{-4x+4}{(x+1)^3} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (x+1)^3 \\[5pt] -4x+4 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt] -4x &=& -4 &\quad \scriptsize \mid\; :(-4) \\[5pt] x&=& 1 \\[5pt] \end{array}$
$ x=1 $
Der Graph von $f$ besitzt einen möglichen Extrempunkt an der Stelle $x= 1.$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f''(1 )&=& \dfrac{8\cdot 1-16 }{(1+1)^4} \\[5pt] &=& -0,5 \\[5pt] &<& 0 \\[10pt] \end{array}$
An der Stelle $x=1$ besitzt der Graph von $f$ also einen Hochpunkt.
4. Schritt: Vollständige Koordinaten berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f( 1)&=& \dfrac{4\cdot 1}{(1+1)^2} \\[5pt] &=& 1\\[10pt] \end{array}$
$ f(1)=1 $
Der Graph von $f$ besitzt genau einen Extrempunkt, den Hochpunkt $H\left( 1\mid 1\right).$
#quotientenregel
c)
$\blacktriangleright$  Verlauf des Graphen begründen
Im Funktionsterm $\dfrac{4x}{(x+1)^2}$ ist der Zähler für negative Werte von $x$ immer negativ, während der Nenner für alle $x\neq -1$ aufgrund des Quadrats immer positiv ist. Für negative Werte von $x\in \text{D}_f$ ist der gesamte Wert des Terms daher immer negativ. Der Graph $G_f$ verläuft im negativen $x$-Bereich also immer unterhalb der $x$-Achse und daher vollständig im dritten Quadranten.
$\blacktriangleright$  Fehlenden Teil einzeichnen
$x$$ -6$$-4 $$ -3$$-0,5 $
$f(x)$$-0,96$ $ -1,78 $$-3$$ -8$
$x$$y$
$-6 $$-0,96 $
$ -4$$ -1,78 $
$ -3$$ -3 $
$ -0,5$$-8 $
Teil B
Abb. 1: Graph im $\text{III}.$ Quadranten
Teil B
Abb. 1: Graph im $\text{III}.$ Quadranten
d)
$\blacktriangleright$  Stammfunktion zeigen
$F$ ist eine Stammfunktion von $f,$ wenn $f$ die erste Ableitung von $F$ ist. Es muss also $F'(x)= f(x)$ sein. Mit der Quotientenregel und der Kettenregel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} F(x) &=& 4\cdot \ln (x+1) + \dfrac{4}{x+1} \\[5pt] F'(x) &=& 4\cdot \dfrac{1}{x+1}\cdot 1 + \dfrac{0\cdot (x+1) - 4\cdot 1 }{(x+1)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{4}{x+1} + \dfrac{-4}{(x+1)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{4\cdot (x+1)}{(x+1)^2} + \dfrac{-4}{(x+1)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{4\cdot (x+1)-4 }{(x+1)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{4x}{(x+1)^2} \\[5pt] &=& f(x) \end{array}$
$ F'(x) = … $
Da also $F'(x)= f(x)$ gilt, ist $F$ eine Stammfunktion von $f.$
#quotientenregel#kettenregel
e)
$\blacktriangleright$  Wirkstoffkonzentration berechnen
Da $x$ in Stunden angegeben wird, ist $f(0,5)$ gesucht:
$\begin{array}[t]{rll} f(0,5) &=& \dfrac{4\cdot 0,5}{(0,5+1)^2} \\[5pt] &\approx& 0,89 \\[5pt] \end{array}$
$30$ Minuten nach der Einnahme beträgt die Konzentration im Blut ca. $0,89\,\frac{\text{mg}}{l}.$
$\blacktriangleright$  Maximale Wirkstoffkonzentration angeben
Du hast in Aufgabe 1b bereits die Koordinaten des Extrempunkts des Graphen von $f$ berechnet. Dabei handelt es sich um einen Hochpunkt $H(1\mid 1).$
Da $f(0)=0$ gilt und der Graph $G_f$ die $x$-Achse als Asymptote besitzt und $H$ der einzige Extrempunkt ist, wird der größte Funktionswert von $f$ im Hochpunkt von $G_f$ angenommen.
Die maximale Wirkstoffkonzentration ist also $1\,\frac{\text{mg}}{l}.$
f)
$\blacktriangleright$  Rechnerisches Vorgehen beschreiben
Für eine Wendestelle $x_W$ gelten das notwendige Kriterium $f''(x_w)=0$ und das hinreichende Kriterium $f'''(x_W) \neq 0.$ Um die Wendestelle $x_W=2$ rechnerisch zu begründen, kann man also beispielsweise die zweite und dritte Ableitungsfunktion von $f$ aufstellen und jeweils die Funktionswerte $f''(2)$ und $f'''(2)$ berechnen. Sind die obigen Bedingungen erfüllt, handelt es sich bei $x_W=2$ um eine Wendestelle von $f$.
$\blacktriangleright$  Bedeutung im Sachzusammenhang angeben
Die zweite Ableitungsfunktion $f''$ beschreibt die momentane Änderungsrate der ersten Ableitungsfunktion $f'.$ $f'$ beschreibt im Sachzusammenhang die Zu- bzw. Abnahme der Wirkstoffkonzentration. Die Wendestelle ist eine Stelle, an der diese Zu- bzw. Abnahme ein lokales Extremum besitzt.
In dem Bereich um $x=2$ fällt der Graph von $f$ nur. Hier nimmt die Wirkstoffkonzentration also ab. Die Wendestelle $x=2$ gibt also an, dass zwei Stunden nach der Einnahme die Wirkstoffkonzentration im Blut am schnellsten abnimmt.
g)
$\blacktriangleright$  Term für den Flächeninhalt angeben
Den gesuchten Flächeninhalt kannst du mithilfe eines Integrals über $f$ bestimmen. Da die Nullstelle von $f$ $x=0$ ist, sind die Grenzen $a=0$ und $b.$ Mit der angegebenen Stammfunktion erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} A(b) &=& \displaystyle\int_{0}^{b}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& F(b)-F(0) \\[5pt] &=& 4 \cdot \ln(b+1)+\dfrac{4}{b+1} - \left(4 \cdot \ln(0+1)+\dfrac{4}{0+1} \right) \\[5pt] &=& 4 \cdot \ln(b+1)+\dfrac{4}{b+1} -4 \\[5pt] \end{array}$
$ A(b)= 4 \cdot \ln(b+1)+\frac{4}{b+1} -4$
$\blacktriangleright$  Realistische Modellierung beurteilen
Für $b\to \infty$ gilt:
$A(b)= \underbrace{4 \cdot \ln(b+1)}_{\to \infty} + \underbrace{\dfrac{4}{b+1}}_{\to 0} -4 \to \infty $
$ A(b) \to \infty $
Der Flächeninhalt $A(b)$ beschreibt im Sachzusammenhang die insgesamt bis zum Zeitpunkt $b$ Stunden nach Einnahme im Blut vorhandene Menge des Wirkstoffs. Diese steigt für immer größer werdende Werte von $b$ bis ins unendliche an. Das ist im Sachzusammenhang nicht sinnvoll und nicht realistisch. Realistisch wäre es, wenn sich die Gesamtmenge des Wirkstoffs im Blut einem bestimmten festen Grenzwert annähert.
Eine Modellierung für größere Zeitwerte ist durch die Funktion $f$ also nicht realistisch.
#integral
h)
$\blacktriangleright$  Spätesten Zeitpunkt berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& 0,75 \\[5pt] \dfrac{4x}{(x+1)^2} &=& 0,75 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (x+1)^2 \\[5pt] 4x &=& 0,75\cdot (x+1)^2 \\[5pt] 4x &=& 0,75x^2 + 1,5x +0,75 &\quad \scriptsize \mid\; -4x \\[5pt] 0 &=& 0,75x^2 -2,5x + 0,75 &\quad \scriptsize \mid\; :0,75 \\[5pt] 0 &=& x^2 -\frac{10}{3}x + 1 &\quad \scriptsize \mid\; pq-\text{Formel} \\[5pt] x_{1/2} &=& -\frac{-\frac{10}{3}}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-\frac{10}{3}}{2} \right)^2 -1} \\[5pt] &=& \frac{5}{3}\pm \frac{4}{3}\\[10pt] x_1 &=& \frac{5}{3} - \frac{4}{3} \\[5pt] &=& \frac{1}{3} \\[10pt] x_2 &=& \frac{5}{3} + \frac{4}{3} \\[5pt] &=& 3 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& \frac{5}{3} - \frac{4}{3} \\[5pt] &=& \frac{1}{3} \\[10pt] x_2 &=& \frac{5}{3} + \frac{4}{3} \\[5pt] &=& 3 \\[10pt] \end{array}$
$x_1$ beschreibt den ersten Zeitpunkt, zu dem die Konzentration $0,75\,\frac{\text{mg}}{l}$ beträgt. Dabei handelt es sich um den ersten Zeitpunkt, zu dem die Konzentration diesen Wert erreicht bevor sie ihr Maximum erreicht.
$x_2$ bezeichnet dann den Zeitpunkt, zu dem die Konzentration wieder unter $0,75\,\frac{\text{mg}}{l}$ fällt. Hier muss also spätestens die zweite Tablette eingenommen werden.
Spätestens $3$ Stunden nach der Einnahme der ersten Tablette muss die zweite Tablette eingenommen werden.
#pq-formel
i)
$\blacktriangleright$  Term auswählen und begründen
Zum Zeitpunkt $x=2,5$ wirkt die erste Tablette wie gewohnt, die Konzentration, die zum Zeitpunkt $x$ von ihr ausgeht, wird also weiterhin durch $f(x)$ beschrieben.
Hinzu kommt die Konzentration, die von der zweiten Tablette ausgeht. Diese startet zum Zeitpunkt $x=2,5$ sozusagen von vorne, also mit dem Wert $0$ und verläuft dann um $2,5$ Stunden versetzt zu $f(x).$ Die Konzentration, die von der zweiten Tablette ausgeht, wird also durch $f(x-2,5)$ beschrieben.
Insgesamt wird daher die Gesamtkonzentration des Wirkstoffs für $x\in \left[2,5\, ; \, 9 \right]$ im Blut durch die Funktion mit dem Term $(D)\; f(x)-f(x-2,5)$ beschrieben.
j)
$\blacktriangleright$  Monotone Steigung begründen
Die Steigung von $k$ wird durch die erste Ableitungsfunktion $k'$ beschrieben. Mit der Quotientenregel erhältst du für die Ableitung:
$\begin{array}[t]{rll} k(x) &=& \dfrac{3 \cdot \mathrm e^{2x}}{\mathrm e^{2x}+1}-1,5 \\[5pt] k'(x) &=& \dfrac{6\cdot \mathrm e^{2x} \cdot \left(\mathrm e^{2x}+1 \right) - 3\cdot \mathrm e^{2x}\cdot 2\cdot \mathrm e^{2x}}{\left(\mathrm e^{2x} +1 \right)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{6\cdot \mathrm e^{2x} \cdot \left(\mathrm e^{2x}+1-\mathrm e^{2x} \right) }{\left(\mathrm e^{2x} +1 \right)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{6\cdot \mathrm e^{2x}}{\left(\mathrm e^{2x} + 1 \right)^2}\\[5pt] \end{array}$
$ k'(x)= \dfrac{6\cdot \mathrm e^{2x}}{\left(\mathrm e^{2x} + 1 \right)^2} $
Für $x\geq 0$ ist sowohl der Zähler als auch der Nenner immer positiv. Damit ist der gesamte Wert des Terms $k'(x)$ für alle $x\geq 0$ positiv.
Da $k'(x) > 0$ ist, ist die Steigung des Graphen von $k$ für $x\geq 0$ positiv. Der Graph steigt also streng monoton.
#quotientenregel
k)
$\blacktriangleright$  Grenzwert ermitteln
Mit dem Satz von L'Hospital folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to\infty} k(x) &=& \lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{3\mathrm e^{2x}}{\mathrm e^{2x} +1 } -1,5 \\[5pt] &=& \lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{6\mathrm e^{2x}}{2\mathrm e^{2x}} -1,5 \\[5pt] &=& \lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{6}{2} -1,5 \\[5pt] &=& 1,5 \\[5pt] \end{array}$
$ \lim\limits_{x\to\infty} k(x) = 1,5 $
$\blacktriangleright$  Erfüllung der Bedingungen beurteilen
1. Schritt: Mindestkonzentration überprüfen
Die erste Bedingung besagt, dass die Wirkstoffkonzentration spätestens $60$ Minuten nach Beginn der Infusion dauerhaft größer als $0,75\,\frac{\text{mg}}{l}$ betragen soll. Für $x\geq 1$ soll also $k(x)\geq 0,75$ gelten.
$\begin{array}[t]{rll} k(1) &=& \dfrac{3\cdot \mathrm e^{2\cdot 1}}{\mathrm e^{2\cdot 1}+1} -1,5 \\[5pt] &\approx& 1,14 > 0,75 \end{array}$
$ k(1)\approx 1,14 > 0,75 $
Da $k$ wie in Aufgabe j gezeigt streng monoton wachsend ist, gilt wegen $k(1)> 0,75$ also insgesamt $k(x) >0,75$ für alle $x\geq 1.$
Die erste Bedingung ist also bei der Modellierung mit $k$ erfüllt.
2. Schritt: Obere Grenze überprüfen
Die Konzentration soll mindestens $25\,\%$ unter $2\,\frac{\text{mg}}{l}$ liegen, also unter:
$0,75\cdot 2\,\frac{\text{mg}}{l} = 1,5\,\frac{\text{mg}}{l}$
Oben hast du gezeigt, dass $\lim\limits_{x\to\infty} k(x) = 1,5$ ist. Da $k$ streng monoton steigend ist, nähert sich die Konzentration im Blut also immer mehr dem Wert $1,5\,\frac{\text{mg}}{l}$ an, ohne diesen aber jemals zu erreichen.
Die zweite Bedingung ist also ebenfalls bei der Modellierung mit $k$ erfüllt.
#l'hospital
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