Teil A

Gegeben ist die in $\mathbb{R} \backslash\{-2\}$ definierte Funktion $f: x \mapsto \frac{x^2-9}{x+2}.$

Gib die Nullstellen von $f$ sowie die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der $y$ -Achse an.

(2 BE)

Gib das Verhalten von $f$ für $x \rightarrow-\infty$ sowie für $x \rightarrow+\infty$ an.

(2 BE)

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g$ mit $g(x)=x^3+x^2.$ Abbildung 1 zeigt den Graphen von $g.$

Abb. 1

Gib einen Term der ersten Ableitungsfunktion von $g$ an.

(1 BE)

Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von $g$ mit der $x$ -Achse einschließt.

(4 BE)

Gegeben ist die in $[-3 ;+\infty[$ definierte Funktion $h: x \mapsto \sqrt{x+3}-2.$

Beschreibe, wie der Graph von $h$ aus dem Graphen der in $\mathbb{R}_0^{+}$ definierten Funktion $w: x \mapsto \sqrt{x}$ hervorgeht.

(2 BE)

Begründe, dass $h$ umkehrbar ist, und beschreibe, wie der Graph der Umkehrfunktion $h^{-1}$ von $h$ aus dem Graphen von $h$ hervorgeht. Gib den Definitions- und den Wertebereich von $h^{-1}$ an.

(4 BE)

Gegeben ist für jede positive reelle Zahl $a$ die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f_a$ mit $f_a(x)=ax^2.$

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f_{\frac{1}{2}}$ sowie die Tangente $t$ an den Graphen von $f_{\frac{1}{2}}$ im Punkt $\left(4 \;\left\lvert\; f_{\frac{1}{2}}(4)\right.\right).$

Abb. 1

Gib anhand von Abbildung 2 eine Gleichung der Tangente $t$ an.

(1 BE)

Weise nach, dass für jeden Wert $u \in \mathbb{R}$ die Tangente an den Graphen von $f_a$ im Punkt $\left(u \mid f_a(u)\right)$ die $y$ -Achse im Punkt $\left(0 \mid-f_a(u)\right)$ schneidet.

(4 BE)

(20 BE)

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Die Nullstellen von $f$ sind die Nullstellen des Zählers. Es folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x^2-9&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+9\\[5pt] x^2&=&9 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] x_{1;2}&=&\pm3 \end{array}$

Die Nullstellen von $f$ sind somit gegeben durch $x_1=-3$ und $x_2=3.$

Einsetzen von $x=0$ in $f(x)$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=&\dfrac{0^2-9}{0+2} \\[5pt] &=&-\dfrac{9}{2} \end{array}$

Die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der $y$ -Achse lauten somit $\left(0\mid-\frac{9}{2}\right).$

Teilen des Nenners durch den Zähler mit der Polynomdivision liefert bei Vernachlässigung des Rests das Polynom $x-2,$ welches dem Funktionsterm der schrägen Asymptote von $f$ entspricht. Somit gilt:

$\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$

$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$

$\(g$

Es gilt $g(x)=x^3+x^2=x^2\cdot(x+1).$ Somit folgt nach dem Satz des Nullprodukts, dass $g$ die Nullstellen $x_1=-1$ und $x_2=0$ besitzt. Für den Inhalt $A$ der eingeschlossenen Fläche folgt somit:

$\begin{array}[t]{rll} A&=&\displaystyle\int_{-1}^{0}g(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=&\displaystyle\int_{-1}^{0}x^3+x^2\;\mathrm dx \\[5pt] &=&\left[\dfrac{1}{4}x^4+\dfrac{1}{3}x^3\right]_{-1}^0 \\[5pt] &=&(0+0)-\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}\right) \\[5pt] &=&\dfrac{1}{12}\;[\text{FE}] \end{array}$

Der Graph von $h$ geht aus dem Graphen von $w$ durch Verschiebung um $3$ in negative $x$ -Richtung und anschließende Verschiebung um $2$ in negative $y$ -Richtung hervor.

Umkehrbarkeit begründen

Da $w:x\mapsto\sqrt{x}$ umkehrbar ist mit Umkehrfunktion $w^{-1}:x\mapsto x^2$ und $h$ aus $w$ durch Verschiebung in negative $x$ - und $y$ -Richtung entsteht, ist $h$ ebenfalls umkehrbar.

Konstruktion des Graphen von $\boldsymbol{h^{-1}}$ beschreiben

Der Graph von $h^{-1}$ geht aus dem Graphen von $h$ durch Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden hervor.

Definitions- und Wertebereich von $\boldsymbol{h^{-1}}$ angeben

Der Definitionsbereich von $h^{-1}$ ist durch den Wertebereich von $h$ gegeben und andersherum. Da der Wertebereich der Wurzelfunktion durch $\mathbb{R}^+_0$ gegeben ist, ist der von $h$ durch $[-2;+\infty[$ gegeben. Somit ist $[-2;+\infty[$ der Definitionsbereich von $h^{-1}$ und $[-3;+\infty[$ der Wertebereich von $h^{-1}.$

Die Tangente $t,$ gegeben durch $t:x\mapsto mx+n,$ hat eine positive Steigung, einen $y$ -Achsenabschnitt von $n=-8$ und schneidet die $x$ -Achse bei $2.$ Für die Steigung $m$ folgt somit:

$m=\dfrac{0-(-8)}{2-0}=\dfrac{8}{2}=4$

Somit ergibt sich $t:x\mapsto4x-8.$

Die allgemeine Form der Tangente ist gegeben durch $t:x\mapsto mx+n.$ Für den Funktionsterm der Ableitung von $f_a(x)$ gilt:

$\(f_a$

Somit folgt $f_a(u)=au^2$ und $\(m=f_a$ Einsetzen der Koordinaten des Punktes $(u\mid f_a(u)),$ an dem die Tangente den Graphen berührt, in die Gleichung der Tangente liefert:

$\begin{array}[t]{rll} au^2&=& 2au\cdot u + n &\quad \scriptsize \mid\;-2au^2 \\[5pt] -au^2&=& n \end{array}$

Somit gilt $n=-au^2=-f_a(u)$ und die Tangente schneidet die $y$ -Achse damit im Punkt $(0\mid-f_a(u)).$

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