Optimale Mathematikaufgaben zur Funktionsanalyse und Integration

Gegeben ist die Funktion $g:x \mapsto \ln\left(2-x^2\right)$ mit maximaler Definitionsmenge $D_g.$

a)

Skizziere die Parabel mit der Gleichung $y=2-x^2$ in einem Koordinatensystem und gib $D_g$ an.

(3 BE)

b)

Ermittle den Term der Ableitungsfunktion $\(g$ von $g.$

(2 BE)

Die Abbildung 1 zeigt einen Teil des Graphen $G_h$ einer in $\mathbb{R}\, \text{\ {2}}$ definierten gebrochenrationalen Funktion $h$ .
Die Funktion $h$ hat bei $x=2$ eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel; zudem besitzt $G_h$ die Gerade mit der Gleichung $y=x-7$ als schräge Asymptote.

Abb. 1

a)

Zeichne in die Abbildung 1 die Asymptoten von $G_h$ ein und skizziere im Bereich $x\lt 2$ einen möglichen Verlauf von $G_h.$

(3 BE)

b)

Berechne unter Berücksichtigung des asymptotischen Verhaltens von $G_h$ einen Näherungswert für $\displaystyle\int_{10}^{20}h(x)\;\mathrm dx.$

(2 BE)

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $k: x \mapsto \frac{-x^2 +2x}{2x^2+4}.$ Ihr Graph wird mit $G_k$ bezeichnet.

a)

Gib die Nullstellen von $k$ an und begründe anhand des Funktionsterms, dass $G_k$ die Gerade mit der Gleichung $y= -0,5$ als waagrechte Asymptote besitzt.

(3 BE)

b)

Berechne die $x$ -Koordinate des Schnittpunkts von $G_k$ mit der waagrechten Asymptote.

(2 BE)

Die Abbildung 2 zeigt den Graphen $G_f$ einer in $[0,8; + {\infty}[$ definierten Funktion $f$ .

Abb. 2

Betrachtet wird zudem die in $[0,8; + {\infty}[$ definierte Integralfunktion
$J: x\mapsto \displaystyle\int_{2}^{x}f(t)\;\mathrm dt.$
Begründe mithilfe von Abbildung 2, dass $J(1)\approx -1$ gilt, und gib einen Näherungswert für den Funktionswert $J(4,5)$ an. Skizziere den Graphen von $J$ in der Abbildung 2.

(5 BE)

(20 BE)

Teil A