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Teil A

Aufgaben
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1
a)
$A$$\overline{A}$
$B$ $0,12$
$\overline{B}$
$0,3$
(3 BE)
b)
Im Vorfeld einer Wahl wird eine wahlberechtigte Person zufällig ausgewählt und befragt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:
$C:$ „Die Person ist älter als 50 Jahre.“
$D:$ „Die Person will die derzeitige Regierungspartei wählen.“
Erläutere, was in diesem Sachzusammenhang eine stochastische Unabhängigkeit der Ereignisse $C$ und $D$ bedeuten würde.
(2 BE)
#vierfeldertafel#stochastischeunabhängigkeit
2
Grüne und orange Kugeln sind wie folgt auf drei Urnen verteilt:
a)
Aus Urne $A$ wird zunächst eine Kugel zufällig entnommen und in Urne $B$ gelegt. Anschließend wird aus Urne $B$ eine Kugel zufällig entnommen und in Urne $C$ gelegt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich danach in Urne $C$ zwei grüne und eine orange Kugel befinden.
(2 BE)
b)
Die drei Urnen mit den in der Abbildung dargestellten Inhalten bilden den Ausgangspunkt für folgendes Spiel:
Es wird zunächst ein Einsatz von $1\,\,€$ eingezahlt. Anschließend wird eine der drei Urnen zufällig ausgewählt und danach aus dieser Urne eine Kugel zufällig gezogen. Nur dann, wenn diese Kugel orange ist, wird ein bestimmter Geldbetrag ausgezahlt.
Ermittle, wie groß dieser Geldbetrag sein muss, damit bei diesem Spiel auf lange Sicht Einsätze und Auszahlungen ausgeglichen sind.
(3 BE)

(10 BE)
#zentraleraufgabenpool
Bildnachweise [nach oben]
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#hilfsmittelfreieaufgaben
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1
a)
$\blacktriangleright$  Vierfeldertafel ergänzen
Gesucht sind die fehlenden Wahrscheinlichkeiten in der Vierfeldertafel.
$A$$\overline{A}$ Summen
$B$ $P(A\cap B)$$P(\overline{A} \cap B)$$P(B)$
$\overline{B}$ $P(A \cap \overline{B})$$P(\overline{A}\cap \overline{B})$$P(\overline{B})$
Summen$P(A)$$P(\overline{A})$$\color{#87c800}{1}$
b)
$\blacktriangleright$  Stochastische Unabhängigkeit erläutern
Stochastische Unabhängigkeit bedeutet, dass Ereignisse unabhängig voneinander eintreten. Das heißt, unabhängig davon, ob Ereignis $A$ bereits eingetreten ist oder nicht, tritt Ereignis $B$ immer mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ein. Beziehe das im Sachzusammenhang auf die Ereignisse $C$ und $D$.
2
a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zum Schluss in Urne $C$ zwei grüne und eine orange Kugel liegen. Du kannst dir zur Übersicht ein Baumdiagramm zeichnen und anschließend die Pfadadditions- und multiplikationsregel anwenden.
b)
$\blacktriangleright$  Geldbetrag ermitteln
Betrachte das Spiel aus der Sicht des Spielers. Dieser zahlt zu Beginn $1\,€ $ ein. Auf lange Sicht sollen Einsätze und Auszahlungen ausgeglichen sein. Bestimme den Betrag $x$ also so, dass die erwartete Auszahlung ebenfalls $1\,€$ beträgt.
Den Erwartungswert der Auszahlung kannst du mit folgender Formel bestimmen:
$E(\text{Auszahlung}) = P(\text{Gewinn})\cdot x + P(\overline{\text{Gewinn}})\cdot 0$
$E(\text{Auszahlung}) = …$
Bestimme also die Wahrscheinlichkeiten für eine orange und für eine grüne Kugel mit Hilfe eines Baumdiagramms und den Pfadregeln. Setze anschließend in die Gleichung $E(\text{Auszahlung}) = 1$ ein.
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Lösungen
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1
a)
$\blacktriangleright$  Vierfeldertafel ergänzen
Gesucht sind die fehlenden Wahrscheinlichkeiten in der Vierfeldertafel.
$A$$\overline{A}$ Summen
$B$ $P(A\cap B)$$P(\overline{A} \cap B)$$P(B)$
$\overline{B}$ $P(A \cap \overline{B})$$P(\overline{A}\cap \overline{B})$$P(\overline{B})$
Summen$P(A)$$P(\overline{A})$$\color{#87c800}{1}$
Mit 1. kannst du bereits den fehlenden Eintrag in der ersten Spalte angeben:
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& P(A\cap B) + P(A\cap \overline{B}) \\[5pt] 0,3&=& 0,12 +P(A\cap \overline{B}) &\quad \scriptsize \mid\; -0,12\\[5pt] 0,18&=&P(A\cap \overline{B}) \end{array}$
$ P(A\cap \overline{B})=0,18 $
Mit 3. erhältst du: $\begin{array}[t]{rll} P(\overline{A})&=&1-P(A) \\[5pt] &=&1-0,3\\[5pt] &=&0,7 \end{array}$
Mit 4. kannst du $P(B)$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} P(A\cap B)&=&P(A)\cdot P(B) \\[5pt] 0,12&=& 0,3\cdot P(B)&\quad \scriptsize \mid\;:0,3 \\[5pt] 0,4&=& P(B) \end{array}$
$ P(B)=0,4 $
Wie oben kannst du dann auch $P(\overline{B})$ über die Spaltensumme berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{B})&=& 1- P(B)\\[5pt] &=&1-0,4 \\[5pt] &=& 0,6\\[5pt] \end{array}$
Die beiden letzten Wahrscheinlichkeiten kannst du über die Zeilensumme berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{A}\cap B ) &=& 0,4 - 0,12\\[5pt] &=& 0,28 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{A}\cap \overline{B} )&=& 0,6 -0,18 \\[5pt] &=&0,42 \end{array}$
Die Vierfeldertafel sollte dann wie folgt aussehen:
$A$$\overline{A}$ Summen
$B$ $0,12$$\color{#87c800}{0,28}$$\color{#87c800}{0,4}$
$\overline{B}$ $\color{#87c800}{0,18}$$\color{#87c800}{0,42}$$\color{#87c800}{0,6}$
Summen$0,3$$\color{#87c800}{0,7}$$1$
b)
$\blacktriangleright$  Stochastische Unabhängigkeit erläutern
Stochastische Unabhängigkeit bedeutet, dass Ereignisse unabhängig voneinander eintreten. Das heißt, unabhängig davon, ob Ereignis $A$ bereits eingetreten ist oder nicht, tritt Ereignis $B$ immer mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ein.
Im vorliegenden Fall geht es um die Ereignisse $C$, dass eine befragte Person älter als 50 Jahre ist, und $D$, dass eine befragte Person die derzeitige Regierungspartei wählen will.
Eine Unabhängigkeit von $C$ und $D$ bedeutet also, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die befragte Person die derzeitige Regierungspartei wählt, unabhängig davon ist, ob diese Person älter als 50 Jahre ist oder nicht. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Person die derzeitige Regierungspartei wählt, ist bei einer Person, die älter als 50 Jahre ist also genau so hoch, wie bei einer Person, die nicht älter als 50 Jahre ist.
2
a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zum Schluss in Urne $C$ zwei grüne und eine orange Kugel liegen. Du kannst dir zur Übersicht ein Baumdiagramm zeichnen und anschließend die Pfadadditions- und multiplikationsregel anwenden.
Teil A
Abb. 1: Baumdiagramm
Teil A
Abb. 1: Baumdiagramm
Der gewünschte Fall tritt ein, wenn aus Urne $B$ eine orange Kugel gezogen wird.
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{zwei grüne, eine orange Kugel})&=& 0,5 \cdot 0,25 + 0,5\cdot 0,5 \\[5pt] &=& \frac{3}{8} \\[5pt] &=& 0,375 \\[5pt] &=& 37,5\,\% \end{array}$
$ P(\text{…})= 37,5\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $37,5\,\%$ befinden sich zum Schluss zwei grüne und eine orange Kugel in der Urne.
b)
$\blacktriangleright$  Geldbetrag ermitteln
Betrachte das Spiel aus der Sicht des Spielers. Dieser zahlt zu Beginn $1\,€ $ ein. Auf lange Sicht sollen Einsätze und Auszahlungen ausgeglichen sein. Bestimme den Betrag $x$ also so, dass die erwartete Auszahlung ebenfalls $1\,€$ beträgt.
Den Erwartungswert der Auszahlung kannst du mit folgender Formel bestimmen:
$E(\text{Auszahlung}) = P(\text{Gewinn})\cdot x + P(\overline{\text{Gewinn}})\cdot 0$
$E(\text{Auszahlung}) = …$
Bestimme also die Wahrscheinlichkeiten für eine orange und für eine grüne Kugel mit Hilfe eines Baumdiagramms und den Pfadregeln. Setze anschließend in die Gleichung $E(\text{Auszahlung}) = 1$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{Gewinn})&=& P(\text{orange}) \\[5pt] &=& \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\cdot 0 \\[5pt] &=& \frac{5}{18} \\[5pt] \end{array}$
$ P(\text{Gewinn}) = \frac{5}{18}$
Setze ein:
$\begin{array}[t]{rll} E(\text{Auszahlung})&=& P(\text{Gewinn})\cdot x + P(\overline{\text{Gewinn}})\cdot 0\\[5pt] &=& P(\text{Gewinn})\cdot x \\[5pt] 1&=& \frac{5}{18} \cdot x &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \frac{18}{5}\\[5pt] \frac{18}{5}&=& x \\[5pt] 3,6&=& x \end{array}$
$ 3,6 = x $
Damit sich bei einem Einsatz von $1\,€ $ Auszahlungen und Einsätze langfristig ausgleichen, muss der Geldbetrag, der ausgezahlt wird, $3,60 \, €$ betragen.
#baumdiagramm#erwartungswert
Bildnachweise [nach oben]
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