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Teil A

Aufgaben
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1
Anlässlich einer Studie wurden $300$ weibliche und $700$ männliche Bewohner einer Großstadt im Alter von 18 bis 30 Jahren dazu befragt, ob sie Interesse an Car-Sharing haben. $20\,\%$ der Befragten waren weiblich und gaben an, nicht interessiert zu sein. $8\,\%$ der Befragten waren männlich und gaben an, Interesse an Car-Sharing zu haben. Das Kreisdiagramm veranschaulicht die absoluten Häufigkeiten, die sich bei der Befragung ergaben.
Frauen mit Interesse an Car-Sharing
Frauen ohne Interesse an Car-Sharing
Männer mit Interesse an Car-Sharing
Männer ohne Interesse an Car-Sharing
a)
Ordne die Beschriftungen 1 bis 4 den Sektoren A bis D korrekt zu und begründe deine Zuordnung.
(4 BE)
b)
Berechne die Größe des Mittelpunktswinkels desjenigen Sektors, der den Anteil der Befragten veranschaulicht, die männlich waren und angaben, Interesse an Car-Sharing zu haben.
(1 BE)
2
Das abgebildete Baumdiagramm stellt ein zweistufiges Zufallsexperiment mit den Ereignissen $A$ und $B$ sowie deren Gegenereignissen $\overline{A}$ und $\overline{B}$ dar.
a)
Bestimme den Wert von $p$ so, dass das Ereignis $B$ bei diesem Zufallsexperiment mit der Wahrscheinlichkeit $0,3$ eintritt.
(2 BE)
b)
Ermittle den größtmöglichen Wert, den die Wahrscheinlichkeit von $B$ annehmen kann.
(3 BE)

(10 BE)
#baumdiagramm
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
© – SchulLV.
#hilfsmittelfreieaufgaben
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Lösungen
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1
a)
$\blacktriangleright$  Sektoren zuordnen
Die Angaben aus dem Aufgabentext kannst du in absolute Anzahlen umrechnen. $20\,\%$ der Befragten sind weiblich und haben Interesse an Car-Sharing:
$1\,000 \cdot 0,2 = 200$
Von den insgesamt $300$ Frauen, sind also noch $100$ übrig, die demnach kein Interesse an Car-Sharing haben.
$8\,\%$ der Befragten sind männlich und haben Interesse an Car-Sharing:
$1\,000 \cdot 0,08 = 80$
Von den $700$ männlichen Befragten sind also noch $620$ übrig, die kein Interesse an Car-Sharing haben. Für die Beschriftungen 1 bis 4 gilt demnach:
BeschriftungAnzahl der Befragten
1$200$
2$100$
3$80$
4$620$
Zum größten Sektor $A$ gehört also Beschriftung 4 zum zweitgrößten Sektor $B$ gehört Beschriftung 1, zum zweitkleinsten Sektor $C$ gehört Beschriftung 2 und zum kleinsten Sektor $D$ gehört Beschriftung 3.
b)
$\blacktriangleright$  Größe des Mittelpunktswinkels berechnen
Der Anteil der Befragten, die männlich sind und Interesse an Car-Sharing haben, beträgt $8\,\%.$ Der Mittelpunktswinkel des zugehörigen Sektors muss also $8\,\%$ von $360^{\circ}$ betragen:
$360^{\circ} \cdot 0,08 = 28,8^{\circ}$
2
a)
$\blacktriangleright$  Parameterwert bestimmen
Mithilfe der Pfadregeln lässt sich folgende Gleichung aufstellen:
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& P(A)\cdot P_A(B) + P(\overline{A})\cdot P_{\overline{A}}(B) \\[5pt] 0,3&=& p\cdot 0,6 +(1-p)\cdot 0,2 \\[5pt] 0,3&=& 0,6p +0,2-0,2p \\[5pt] 0,3&=& 0,4p +0,2 &\quad \scriptsize \mid\; -0,2 \\[5pt] 0,1&=& 0,4p &\quad \scriptsize \mid\;:0,4 \\[5pt] \frac{1}{4}&=& p \\[5pt] 0,25&=& p \end{array}$
$ p = 0,25 $
Damit das Ereignis $B$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,3$ eintritt, muss $p=0,25$ betragen.
b)
$\blacktriangleright$  Größtmögliche Wahrscheinlichkeit bestimmen
Analog zur Gleichung in a) kann die Wahrscheinlichkeit für $B$ als Funktion in Abhängigkeit von $p$ dargestellt werden:
$\begin{array}[t]{rll} B(p) &=& p\cdot 0,6 +(1-p)\cdot 0,2 \\[5pt] &=& 0,4p +0,2 \end{array}$
$ B(p) = 0,4p +0,2$
Diese Funktion beschreibt eine Gerade mit positiver Steigung. Die Wahrscheinlichkeit von $B$ ist also größer je größer $p$ ist. Da $p$ maximal $1$ sein kann, ist also für $p=1$ die Wahrscheinlichkeit $P(B)$ am größten mit $P(B)=1\cdot 0,6 = 0,6.$
#pfadregeln
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