Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BY, Gymnasium
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 11
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur (WTR)
Abitur (CAS)
Abitur bis 2011
Abitur (WTR)
Prüfung
wechseln
Abitur (WTR)
Abitur (CAS)
Abitur bis 2011
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!
Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Abitur (WTR)
Analysis
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Stochastik
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Geometrie
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Abi 2018
Analysis
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Stochastik
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Geometrie
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Abi 2017
Analysis
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Stochastik
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Geometrie
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Abi 2016
Analysis
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Stochastik
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Geometrie
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Abi 2015
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
Geometrie Prüfungstei...
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
Geometrie Prüfungstei...
Abi 2014
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
Geometrie Prüfungstei...
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
Geometrie Prüfungstei...
Abi 2013
Analysis Aufgabengrup...
Analysis Aufgabengrup...
Stochastik Aufgabengr...
Stochastik Aufgabengr...
Geometrie Aufgabengru...
Geometrie Aufgabengru...
Abi 2012
Analysis Aufgabengrup...
Analysis Aufgabengrup...
Stochastik Aufgabengr...
Stochastik Aufgabengr...
Geometrie Aufgabengru...
Geometrie Aufgabengru...
Musterabi
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
Geometrie Prüfungstei...
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
Geometrie Prüfungstei...
Abi 2011
Analysis Aufgabengrup...
Analysis Aufgabengrup...
Stochastik Aufgabengr...
Stochastik Aufgabengr...
Geometrie Aufgabengru...
Geometrie Aufgabengru...
LV-Abi 1
Analysis Prüfungsteil...
Analysis Prüfungsteil...
Geometrie Prüfungstei...
Geometrie Prüfungstei...
Stochastik Prüfungste...
Stochastik Prüfungste...
LV-Abi 2
Analysis Prüfungsteil...
Analysis Prüfungsteil...
Geometrie Prüfungstei...
Geometrie Prüfungstei...
Stochastik Prüfungste...
Stochastik Prüfungste...
LV-Abi 3
Analysis Prüfungsteil...
Analysis Prüfungsteil...
Geometrie Prüfungstei...
Geometrie Prüfungstei...
Stochastik Prüfungste...
Stochastik Prüfungste...

Teil B

Aufgaben
Download als Dokument:PDF
1
Ein Unternehmen stellt Kunststoffteile her. Erfahrungsgemäß sind $4\,\%$ der hergestellten Teile fehlerhaft. Die Anzahl fehlerhafter Teile unter zufällig ausgewählten kann als binomialverteilt angenommen werden.
#binomialverteilung
$\,$
a)
$50$ Kunststoffteile werden zufällig ausgewählt.
Berechne für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:
„Genau zwei der Teile sind fehlerhaft.“
„Mindestens $6\,\%$ der Teile sind fehlerhaft.“
(3 BE)
$\,$
Die Kunststoffteile werden aus Kunststoffgranulat hergestellt. Nach einem Wechsel des Granulats vermutet der Produktionsleiter, dass sich der Anteil der fehlerhaften Teile reduziert hat. Um einen Anhaltspunkt dafür zu gewinnen, ob die Vermutung gerechtfertigt ist, soll die Nullhypothese „Der Anteil der fehlerhaften Teile beträgt mindestens $4\,\%.$“ auf der Grundlage einer Stichprobe von $200$ Teilen auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ getestet werden.
b)
Bestimme die zugehörige Entscheidungsregel.
(4 BE)
#hypothesentest
$\,$
c)
Das neue Granulat ist teurer als das vorherige. Gib an, welche Überlegung zur Wahl der Nullhypothese geführt haben könnte, und begründe deine Angabe.
(3 BE)
2
Für ein Spiel wird ein Glücksrad verwendet, das drei farbige Sektoren hat. Der Tabelle können die Farben der Sektoren und die Größen der zugehörigen Mittelpunktswinkel entnommen werden.
FarbeBlauRotGrün
Mittelpunktswinkel$180^{\circ}$$120^{\circ}$$60^{\circ}$
FarbeMittelpunktswinkel
Blau$180^{\circ}$
Rot$120^{\circ}$
Grün$60^{\circ}$
Für einen Einsatz von $5\,\text{Euro}$ darf ein Spieler das Glücksrad dreimal drehen. Erzielt der Spieler dreimal die gleiche Farbe, werden ihm $10\,\text{Euro}$ ausgezahlt.
Erzielt er drei verschiedene Farben, wird ein anderer Betrag ausgezahlt. In allen anderen Fällen erfolgt keine Auszahlung.
$\,$
a)
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dreimal die gleiche Farbe erzielt wird, ist $\frac{1}{6}.$
Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass drei verschiedene Farben erzielt werden, ebenfalls $\frac{1}{6}$ beträgt.
(2 BE)
$\,$
b)
Bei dem Spiel ist zu erwarten, dass sich die Einsätze der Spieler und die Auszahlungen auf lange Sicht ausgleichen.
Berechne den Betrag, der ausgezahlt wird, wenn drei verschiedene Farben erscheinen.
(3 BE)
$\,$
c)
Die Größen der Sektoren werden geändert. Dabei werden der grüne und der rote Sektor verkleinert, wobei der Mittelpunktswinkel des roten Sektors wieder doppelt so groß wie der des grünen Sektors ist. Die Abbildung zeigt einen Teil eines Baumdiagramms, das für das geänderte Glücksrad die beiden ersten Drehungen beschreibt. Ergänzend ist für einen Pfad die zugehörige Wahrscheinlichkeit angegeben.
Bestimme die Größe des zum grünen Sektor gehörenden Mittelpunktswinkels.
(5 BE)

(20 BE)
#baumdiagramm
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© – SchulLV.
#zentraleraufgabenpool
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1
a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnenTeil B
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X,$ die die Anzahl der fehlerhaften Teile in einer zufälligen Stichprobe von $50$ Kunststoffteilen beschreibt. Diese kann laut Aufgabenstellung als binomialverteilt mit $n=50$ und $p=0,04$ angenommen werden.
Mit der Formel zur Binomialverteilung ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& P(X=2) \\[5pt] &=& \binom{50}{2}\cdot 0,04^2\cdot (1-0,04)^{50-2} \\[5pt] &\approx& 0,2762 \\[5pt] &=& 27,62\,\% \end{array}$
$ P(A)\approx 27,62\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $27,62\,\%$ sind genau zwei der Teile fehlerhaft.
Für Ereignis $B$ ergibt sich mithilfe des Gegenereignisses:
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& P(X\geq 0,06\cdot 50) \\[5pt] &=& P(X\geq 3) \\[5pt] &=& 1- P(X\leq 2) \\[5pt] &=& 1-\left( P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \right) \\[5pt] &\approx& 1-\left(0,96^{50} + \binom{50}{1}\cdot 0,04^1\cdot 0,96^{49}+ 0,2762 \right) \\[5pt] &\approx& 1-\left(0,1299 +0,2706 + 0,2762 \right) \\[5pt] &=& 0,3233 \\[5pt] &=& 32,33\,\% \\[5pt] \end{array}$
$ P(B)\approx 32,33\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $32,33\,\%$ sind mindestens $6\,\%$ der Teile fehlerhaft.
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Entscheidungsregel bestimmen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X_p,$ die die Anzahl der fehlerhaften Teile in einer zufälligen Stichprobe von $200$ Kunststoffteilen beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit $n=200$ und unbekanntem $p$ angenommen werden.
Getestet wird die Nullhypothese $H_0:\quad p \geq 0,04$
mit der Gegenhypothese $H_1:\quad p < 0,04$
auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%.$
Trifft die Nullhypothese im Extremfall zu, ist $p=0,04.$ Gesucht ist nun die größte Anzahl fehlerhafter Teile $k,$ die in der Stichprobe gefunden werden darf, sodass die Nullhypothese gerade noch abgelehnt wird.
Mit dem Signifikanzniveau ergibt sich die Gleichung:
$P(X_{0,04} \leq k) \leq 0,05$
Du kannst mithilfe einer Tabelle zur summierten Binomialverteilung für $n=200$ und $p=0,04$ die Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Werte von $k$ vergleichen:
$\begin{array}[t]{rll} P(X_{0,04}\leq 3)&\approx& 0,0395 \\[5pt] P(X_{0,04}\leq 4)&\approx& 0,0950 \\[5pt] \end{array}$
Sind also von den $200$ Teilen höchstens $3$ fehlerhaft, wird die Nullhypothese verworfen und man kann auf dem Signifikanzniveau von $5\,\%$ davon ausgehen, dass sich der Anteil der fehlerhaften Teile durch das neue Granulat verbessert hat.
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Hintergrund der Hypothese angeben
Durch die Wahl der Nullhypothese $H_0: p\geq 0,04$ und des Signifikanzniveaus von $5\,\%$ wird die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man fälschlicherweise davon ausgeht, dass das neue Granulat besser ist, obwohl es eigentlich eine schlechtere oder gleichschlechte Fehlerquote hat wie das alte, auf maximal $5\,\%$ begrenzt.
Das Unternehmen möchte also möglichst verhindern, dass das alte Granulat durch das neue teurere ausgetauscht wird, obwohl die Fehlerquote nicht geringer ist. In dem Fall, würde sich die Qualität der Produktion nicht verbessern, aber die Kosten würden ansteigen.
2
a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für drei verschiedene Farben nachweisen
Die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Farben sind:
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{Blau})&=& \dfrac{180^{\circ}}{360^{\circ}} \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \\[10pt] P(\text{Rot})&=& \dfrac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \\[5pt] &=& \frac{1}{3} \\[10pt] P(\text{Grün})&=& \dfrac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \\[5pt] &=& \frac{1}{6} \\[10pt] \end{array}$
Jede Farbe soll genau einmal gedreht werden. Das Experiment kann mit dem Ziehen mit Zurücklegen verglichen werden. Verwende die Pfadregeln. Die Anzahl der Pfade entspricht der Anzahl der möglichen Permutationen von drei Elementen, kann also mithilfe der Fakultät berechnet werden.
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{drei verschiedene Farben})&=& 3! \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6} \\[5pt] &=& \frac{1}{6}\\[5pt] \end{array}$
$ … = \frac{1}{6} $
#pfadregeln
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Auszahlung berechnen
Der erwartete Gewinn soll auf Null herauskommen. Betrachtet wird die Zufallsgröße $G,$ die den zufälligen Gewinn des Spielers beschreibt. Mit $a$ wird der Betrag bezeichnet, der ausgezahlt wird, wenn drei verschiedene Farben erscheinen.
$\begin{array}[t]{rll} E(G)&=& 0 \,€ \\[5pt] \frac{1}{6}\cdot 10 \,€ + \frac{1}{6}\cdot a + \frac{4}{6}\cdot 0\,€- 5\,€ &=& 0\,€ \\[5pt] -\frac{10}{3}\,€+\frac{1}{6}\cdot a &=& 0\,€ &\quad \scriptsize \mid\;+\frac{10}{3}\,€ \\[5pt] \frac{1}{6}\cdot a &=& \frac{10}{3}\,€ &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 6 \\[5pt] a&=& 20\,€ \end{array}$
$ a= 20\,€ $
Wenn drei verschiedene Farben erscheinen, werden $20\,€$ ausgezahlt.
#erwartungswert
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Größe des Mittelpunktswinkels bestimmen
Mit $p < \frac{1}{6}$ wird die neue Wahrscheinlichkeit für den grünen Sektor bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit für den roten Sektor ist dann $2\cdot p,$ da dieser weiterhin doppelt so groß sein soll wie der grüne Sektor. Für die Wahrscheinlichkeit des blauen Sektors gilt dann: $1-(2p +p) = 1-3p.$
Mit der Pfadmultiplikationsregel ergibt sich dann mithilfe der im Baumdiagramm angegebenen Pfadwahrscheinlichkeit folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{R-B})&=&2p \cdot (1-3p) \\[5pt] 0,14&=& 2p\cdot (1-3p) \\[5pt] 0,14&=& 2p-6p^2 &\quad \scriptsize \mid\;-0,14 \\[5pt] 0&=& -6p^2+2p-0,14 &\quad \scriptsize \mid\;abc-\text{Formel} \\[5pt] p_{1/2}&=& \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot (-6)\cdot (-0,14)}}{2\cdot (-6)} \\[5pt] &=& \dfrac{-2\pm \frac{4}{5}}{-12} \\[5pt] p_1&=& \dfrac{-2-\frac{4}{5}}{-12} \\[5pt] &=& \frac{7}{30} \\[10pt] p_2&=& \dfrac{-2+\frac{4}{5}}{-12} \\[5pt] &=& \frac{1}{10} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} p_1&=& \frac{7}{30} \\[10pt] p_2&=&\frac{1}{10} \\[5pt] \end{array}$
Es ist $\frac{7}{30} > \frac{1}{6}.$ Da der grüne Sektor aber verkleinert werden soll, kommt nur $p_2= \frac{1}{10}$ infrage. Für den Mittelpunktswinkel bedeutet dies:
$\frac{1}{10} \cdot 360^{\circ} = 36^{\circ}$
Der neue Mittelpunktswinkel des grünen Sektors muss $36^{\circ}$ groß sein.
#pfadregeln
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App