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Teil A

Aufgaben
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1
Ein Glücksrad hat drei Sektoren, einen blauen, einen gelben und einen roten. Diese sind unterschiedlich groß. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim einmaligen Drehen der blaue Sektor getroffen wird, beträgt $p$.
a)
Interpretiere den Term $(1-p)^7$ im Sachzusammenhang.
(2 BE)
b)
Das Glücksrad wird zehnmal gedreht. Gib einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden kann, dass der blaue Sektor genau zweimal getroffen wird.
(1 BE)
c)
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim einmaligen Drehen der gelbe Sektor getroffen wird, beträgt $50\,\%.$ Felix hat $100$ Drehungen des Glücksrads beobachtet und festgestellt, dass bei diesen der Anteil der Drehungen bei denen der gelbe Sektor getroffen wurde, deutlich geringer als $50\,\%$ war. Er folgert: „Der Anteil der Drehungen, bei denen der gelbe Sektor getroffen wird, muss also bei den nächsten $100$ Drehungen deutlich größer als $50\,\%$ sein. “ Beurteile die Aussage von Felix.
(2 BE)
d)
Das Glücksrad wird viermal gedreht und die Abfolge der Farben als Ergebnis notiert. Bestimme die Anzahl der möglichen Ergebnisse, in denen die Farbe Blau nicht vorkommt.
(2 BE)
#zentraleraufgabenpool
2
(3 BE)

(10 BE)
#binomialverteilung
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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#hilfsmittelfreieaufgaben
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1
a)
$\blacktriangleright$  Term im Sachzusammenhang interpretieren
Betrachte den Term $(1-p)^7$. Du weißt, dass $p$ die Wahrscheinlichkeit angibt, dass beim einmaligen Drehen des Glücksrades der blaue Sektor getroffen wird. $1-p$ ist also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim einmaligen Drehen nicht der blaue Sektor getroffen wird.
b)
$\blacktriangleright$  Term angeben
Gesucht ist ein Term für die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei $10$ Drehungen genau zweimal der blaue Sektor getroffen wird. Du betrachtest bei jedem Dreh nur die Möglichkeiten „blau“ oder „nicht blau“ und weißt, dass die Wahrscheinlichkeiten für diese beiden Ergebnisse in jedem Dreh gleich bleiben, da sich die Größen der Sektoren nicht ändern.
Du kannst also die Binomialverteilung verwenden. Betrachte dazu die Zufallsgröße $X$, die die Anzahl der Drehungen unter $10$ Drehungen beschreibt, bei denen der blaue Sektor getroffen wird.
c)
$\blacktriangleright$  Aussage beurteilen
Du sollst die Aussage von Felix beurteilen. Er behauptet, dass bei den nächsten $100$ Drehungen der Anteil, in denen der gelbe Sektor getroffen wird, deutlich höher sein muss, da er in den letzten $100$ Drehungen deutlich niedriger als $50\,\%$ war.
Überlege dir, was die Bedeutung einer Wahrscheinlichkeitsangabe ist und, ob diese eine Vorhersage für die Zukunft bieten kann.
d)
$\blacktriangleright$  Anzahl der möglichen Ergebnisse bestimmen
In vier Drehungen soll nicht einmal der blaue Sektor vorkommen. Du hast also für jede Drehung noch zwei Möglichkeiten, wobei die Drehungen voneinander unabhängig sind. Du hast also ein Ziehen mit Zurücklegen, bei dem viermal aus zwei Möglichkeiten gezogen wird. Du kannst dies mit einem Zahlenschloss vergleichen.
2
$\blacktriangleright$  Nachweisen, dass es sich nicht um eine Binomialverteilung handelt
Für eine binomialverteilte Zufallsvariable $X$ mit den Parametern $n$ und $p$ gelten für den Erwartungswert $\mu$ und die Einzelwahrscheinlichkeiten:
$\mu = n\cdot p$
$P(X=k)= \binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
$\mu = n\cdot p$
$P(X=k)$
$= \binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
Durch die Angabe der Wertemenge weißt du, dass $n=4$ ist. Berechne also anhand des Erwartungswerts $p$ und überprüfe dann die Formel für die Wahrscheinlichkeiten.
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Lösungen
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1
a)
$\blacktriangleright$  Term im Sachzusammenhang interpretieren
Betrachte den Term $(1-p)^7$. Du weißt, dass $p$ die Wahrscheinlichkeit angibt, dass beim einmaligen Drehen des Glücksrades der blaue Sektor getroffen wird. $1-p$ ist also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim einmaligen Drehen nicht der blaue Sektor getroffen wird.
Mit der Pfadmultiplikationsregel ist demnach $(1-p)^7$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei sieben Drehungen kein einziges Mal der blaue Sektor getroffen wird.
b)
$\blacktriangleright$  Term angeben
Gesucht ist ein Term für die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei $10$ Drehungen genau zweimal der blaue Sektor getroffen wird. Du betrachtest bei jedem Dreh nur die Möglichkeiten „blau“ oder „nicht blau“ und weißt, dass die Wahrscheinlichkeiten für diese beiden Ergebnisse in jedem Dreh gleich bleiben, da sich die Größen der Sektoren nicht ändern.
Du kannst also die Binomialverteilung verwenden. Betrachte dazu die Zufallsgröße $X$, die die Anzahl der Drehungen unter $10$ Drehungen beschreibt, bei denen der blaue Sektor getroffen wird.
Diese kann aus oben genannten Gründen als binomialverteilt mit den Parametern $n=10$ und unbekanntem $p$ angenommen werden. Du kannst dann einen Term aufstellen, indem du die Formel für die Binomialverteilung verwendest:
$P(X=k) = \binom{n}{k}\cdot p^{k}\cdot (1-p)^{n-k}$
$P(X=k) $
$= \binom{n}{k}\cdot p^{k}\cdot (1-p)^{n-k}$
Gesucht ist $P(X=2):$
$\begin{array}[t]{rll} P(X=2)&=& \binom{10}{2}\cdot p^2 \cdot(1-p)^{10-2} \\[5pt] &=& 45 \cdot p^2\cdot (1-p)^8 \end{array}$
$ P(X=2)$
$=45 \cdot p^2\cdot (1-p)^8 $
c)
$\blacktriangleright$  Aussage beurteilen
Du sollst die Aussage von Felix beurteilen. Er behauptet, dass bei den nächsten $100$ Drehungen der Anteil, in denen der gelbe Sektor getroffen wird, deutlich höher sein muss, da er in den letzten $100$ Drehungen deutlich niedriger als $50\,\%$ war.
Überlege dir, was die Bedeutung einer Wahrscheinlichkeitsangabe ist und, ob diese eine Vorhersage für die Zukunft bieten kann.
Die Wahrscheinlichkeitsangabe von $50\,\%$ gibt nur einen Richtwert dafür an, wie oft im Schnitt das Treffen des gelben Sektors erwartet werden kann. Dies ist aber keine Vorhersage, da es sich bei dem Drehen eines Glücksrades um ein Zufallsexperiment handelt, dessen Ausgang zufällig ist.
Zudem sind die Drehungen von einander unabhängig. Es muss also jeder Dreh einzeln betrachtet werden. Dabei beträgt die Wahrscheinlichkeit $50\,\%$ für den gelben Sektor. Das Ergebnis des vorherigen oder der $10$, $100$, $200$,… Drehungen davor spielen keine Rolle für den nächsten Dreh.
d)
$\blacktriangleright$  Anzahl der möglichen Ergebnisse bestimmen
In vier Drehungen soll nicht einmal der blaue Sektor vorkommen. Du hast also für jede Drehung noch zwei Möglichkeiten, wobei die Drehungen voneinander unabhängig sind. Du hast also ein Ziehen mit Zurücklegen, bei dem viermal aus zwei Möglichkeiten gezogen wird. Du kannst dies mit einem Zahlenschloss vergleichen.
Die Gesamtzahl der Möglichkeiten ergibt sich daher zu $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 16$.
#baumdiagramm#pfadregeln
2
$\blacktriangleright$  Nachweisen, dass es sich nicht um eine Binomialverteilung handelt
Für eine binomialverteilte Zufallsvariable $X$ mit den Parametern $n$ und $p$ gelten für den Erwartungswert $\mu$ und die Einzelwahrscheinlichkeiten:
$\mu = n\cdot p$
$P(X=k)= \binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
$\mu = n\cdot p$
$P(X=k)$
$= \binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
Durch die Angabe der Wertemenge weißt du, dass $n=4$ ist. Berechne also anhand des Erwartungswerts $p$ und überprüfe dann die Formel für die Wahrscheinlichkeiten.
1. Schritt: Parameter berechnen
Laut Aufgabenstellung ist $\mu =2$ und $n =4$:
$\begin{array}[t]{rll} \mu&=&n\cdot p \\[5pt] 2&=& 4\cdot p &\quad \scriptsize \mid\;:4 \\[5pt] \frac{1}{2}&=&p \\[5pt] 50\,\% &=& p \end{array}$
2. Schritt: Wahrscheinlichkeiten überprüfen
Berechne beispielsweise $P(X=0)$ für den Fall, dass $X$ binomialverteilt wäre. Verwende die Formel für die Binomialverteilung wie oben:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=0)&=& \binom{4}{0}\cdot 0,5^0 \cdot 0,5^4 \\[5pt] &=& \frac{1}{16} \end{array}$
$ P(X=0)= \frac{1}{16}$
Dies entspricht der Wahrscheinlichkeit aus der Abbildung. Überprüfe noch $P(X=1):$
$\begin{array}[t]{rll} P(X=1)&=& \binom{4}{1}\cdot 0,5^1 \cdot 0,5^3 \\[5pt] &=& 4\cdot \frac{1}{16}\\[5pt] &=& \frac{1}{4} = 0,25 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &P(X=1)\\[5pt] =& \binom{4}{1}\cdot 0,5^1 \cdot 0,5^3 \\[5pt] =& 4\cdot \frac{1}{16}\\[5pt] =& \frac{1}{4} = 0,25 \end{array}$
In der Abbildung ist allerdings klar zu erkennen, dass $P(X=1)\neq 0,25$ ist. $X$ kann daher nicht binomialverteilt sein, da die Einzelwahrscheinlichkeit $P(X=1)$ nicht der Formel für die Binomialverteilung entspricht.
#erwartungswert
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