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Teil A

Aufgaben
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1
Gegeben sind die beiden bezüglich der $x_1x_3$-Ebene symmetrisch liegenden Punkte $A(2\mid 3\mid 1)$ und $B(2\mid -3\mid 1)$ sowie der Punkt $C(0\mid 2\mid 0).$
a)
Weise nach, dass das Dreieck $ABC$ bei $C$ rechtwinklig ist.
(3 BE)
b)
Gib die Koordinaten eines weiteren Punkts $D$ der $x_2$-Achse an, so dass das Dreieck $ABD$ bei $D$ rechtwinklig ist. Begründe deine Antwort.
(2 BE)
2
Gegeben ist die Ebene $E:\; 2x_1+x_2-2x_3 = -18.$
a)
Der Schnittpunkt von $E$ mit der $x_1$-Achse, der Schnittpunkt von $E$ mit der $x_2$-Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreieckes. Bestimme den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
(2 BE)
b)
Ermittle die Koordinaten des Vektors, der sowohl ein Normalenvektor von $E$ als auch der Ortsvektor eines Punktes der Ebene $E$ ist.
(3 BE)

(10 BE)
#normalenvektor#ortsvektor#hilfsmittelfreieaufgaben
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Tipps
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1
a)
$\blacktriangleright$  Rechten Winkel nachweisen
Du sollst nachweisen, dass das Dreieck $ABC$ bei $C$ einen rechten Winkel besitzt. Dies ist dann der Fall, wenn die Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AC}$ und $\overrightarrow{BC}$ senkrecht zueinander stehen. Das ist der Fall, wenn ihr Skalarprodukt Null ergibt. Berechne also das Skalarprodukt aus den beiden Vektoren.
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten eines weiteren Punktes angeben
Der Punkt $D$ soll so wie $C$ auf der $x_2$-Achse liegen und mit $A$ und $B$ ein Dreieck bilden, das in $D$ einen rechten Winkel besitzt. Du kannst dazu ähnlich vorgehen wie im letzten Aufgabenteil. Die Koordinaten von $D$ lauten $D(0\mid x_2 \mid 0)$. Die beiden Vektoren $\overrightarrow{AD}$ und $\overrightarrow{BD}$ hängen dann von $x_2$ ab. Setze das Skalarprodukt der beiden mit Null gleich und löse nach $x_2$.
2
a)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt bestimmen
Um den Flächeninhalt des Dreiecks zu bestimmen, bestimme zunächst die Koordinaten der Eckpunkte. Anschließend kannst du den Flächeninhalt über das Kreuzprodukt zweier Verbindungsvektoren wie folgt berechnen:
$A_{\triangle PQR} = \frac{1}{2} \cdot \left|\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{QR} \right| $
$A_{\triangle PQR} = \frac{1}{2} \cdot \left|\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{QR} \right| $
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten ermitteln
Gesucht ist ein Vektor $\overrightarrow{v}$, der sowohl ein Normalenvektor von $E$ ist, als auch der Ortsvektor eines Punkts in $E$ ist. Aus der Ebenengleichung kannst du einen Normalenvektor von $E$ ablesen. Da der gesuchte Vektor ebenfalls ein Normalenvektor von $E$ sein soll, muss dieser ein Vielfaches von $\overrightarrow{n}$ sein:
$\overrightarrow{v} = t\cdot\overrightarrow{n}$.
Um $t$ zu bestimmen, setze diesen Vektor in die Ebenengleichung von $E$ ein und löse nach $t$ auf. So erhältst du das $t$ für das $\overrightarrow{v}$ gleichzeitig der Ortsvektor eines Punkts in $E$ ist.
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Lösungen
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1
a)
$\blacktriangleright$  Rechten Winkel nachweisen
Du sollst nachweisen, dass das Dreieck $ABC$ bei $C$ einen rechten Winkel besitzt. Dies ist dann der Fall, wenn die Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AC}$ und $\overrightarrow{BC}$ senkrecht zueinander stehen. Das ist der Fall, wenn ihr Skalarprodukt Null ergibt. Berechne also das Skalarprodukt aus den beiden Vektoren:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AC}\circ \overrightarrow{BC}&=& \pmatrix{-2\\-1\\-1}\circ\pmatrix{-2\\5\\-1} \\[5pt] &=& 4-5+1 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &\overrightarrow{AC}\circ \overrightarrow{BC} \\[5pt] =& \pmatrix{-2\\-1\\-1}\circ\pmatrix{-2\\5\\-1} \\[5pt] =& 4-5+1 \\[5pt] =& 0 \end{array}$
Die beiden Vektoren $\overrightarrow{AC}$ und $\overrightarrow{BC}$ stehen also senkrecht zueinander und damit besitzt das Dreieck $ABC$ bei $C$ einen rechten Winkel.
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten eines weiteren Punktes angeben
Der Punkt $D$ soll so wie $C$ auf der $x_2$-Achse liegen und mit $A$ und $B$ ein Dreieck bilden, das in $D$ einen rechten Winkel besitzt. Du kannst dazu ähnlich vorgehen wie im letzten Aufgabenteil. Die Koordinaten von $D$ lauten $D(0\mid x_2 \mid 0)$. Die beiden Vektoren $\overrightarrow{AD}$ und $\overrightarrow{BD}$ hängen dann von $x_2$ ab. Setze das Skalarprodukt der beiden mit Null gleich und löse nach $x_2$.
Damit das Dreieck einen rechten Winkel bei $D$ besitzt, muss $\overrightarrow{AD}\circ \overrightarrow{BD} = 0$ gelten:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& \overrightarrow{AD}\circ \overrightarrow{BD} \\[5pt] 0&=& \pmatrix{-2\\ x_2-3\\ -1}\circ\pmatrix{-2\\ x_2+3\\-1} \\[5pt] 0&=& 4+(x_2-3)(x_2+3) +1\\[5pt] 0&=& x_2^2-4&\quad \scriptsize \mid\;+4 \\[5pt] 4&=& x_2^2\\[5pt] x_{2_1}&=& 2\\[5pt] x_{2_2}&=& -2\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& \overrightarrow{AD}\circ \overrightarrow{BD} \\[5pt] & …& \\[5pt] x_{2_1}&=& 2\\[5pt] x_{2_2}&=& -2\\[5pt] \end{array}$
Die Koordinaten von $D$ lauten also $D(0\mid -2\mid 0),$ da hierfür $\overrightarrow{AD}\circ \overrightarrow{BD} = 0$ gilt.
#skalarprodukt
2
a)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt bestimmen
Um den Flächeninhalt des Dreiecks zu bestimmen, bestimme zunächst die Koordinaten der Eckpunkte. Anschließend kannst du den Flächeninhalt über das Kreuzprodukt zweier Verbindungsvektoren wie folgt berechnen:
$A_{\triangle PQR} = \frac{1}{2} \cdot \left|\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{QR} \right| $
$A_{\triangle PQR} = \frac{1}{2} \cdot \left|\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{QR} \right| $
1. Schritt: Koordinaten der Eckpunkte bestimmen
Einer der Eckpunkte ist der Koordinatenursprung $O(0\mid 0\mid 0).$ Ein weiterer Eckpunkt ist der Schnittpunkt der Ebene $E$ mit der $x_1$-Achse. Für alle Punkte auf der $x_1$-Achse gilt $(x_1\mid 0 \mid 0).$ Setze diese in die Ebenengleichung ein und löse nach $x_1$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} -18&=& 2x_1 +x_2 -2x_3 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 = x_3 =0 \\[5pt] -18&=&2x_1 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] -9&=&x_1 \end{array}$
$ -9=x_1 $
Der zweite Eckpunkt hat also die Koordinaten $P(-9\mid 0 \mid 0).$
Für den dritten Eckpunkt kannst du genauso vorgehen. Hierbei handelt es sich um den Schnittpunkt von $E$ mit der $x_2$-Achse.
$\begin{array}[t]{rll} -18&=& 2x_1 +x_2 -2x_3 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 = x_3 =0\\[5pt] -18&=&x_2 \end{array}$
$ -18 = x_2 $
Die Koordinaten des dritten Eckpunktes lauten $Q(0 \mid -18 \mid 0).$
2. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Setze nun in die obige Formel ein, indem du das Kreuzprodukt mit folgender Formel bildest:
$\pmatrix{a_1\\a_2\\a_3} \times \pmatrix{b_1\\b_2\\b_3} = \pmatrix{a_2b_3-b_2a_3 \\ a_3b_1- b_3a_1 \\ a_1b_2- b_1a_2}$
$\begin{array}[t]{rll} &\pmatrix{a_1\\a_2\\a_3} \times \pmatrix{b_1\\b_2\\b_3} \\[5pt] =&\pmatrix{a_2b_3-b_2a_3 \\ a_3b_1- b_3a_1 \\ a_1b_2- b_1a_2} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\frac{1}{2}\cdot \left|\overrightarrow{OP}\times \overrightarrow{OQ} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left|\pmatrix{-9\\0\\0}\times \pmatrix{0\\-18\\0} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot \left|\pmatrix{0\\0\\162} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+162^2}\\[5pt] &=& 81 \end{array}$
$A = 81 $
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $81$ Flächeneinheiten.
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten ermitteln
Gesucht ist ein Vektor $\overrightarrow{v}$, der sowohl ein Normalenvektor von $E$ ist, als auch der Ortsvektor eines Punkts in $E$ ist. Aus der Ebenengleichung kannst du einen Normalenvektor von $E$ ablesen. Da der gesuchte Vektor ebenfalls ein Normalenvektor von $E$ sein soll, muss dieser ein Vielfaches von $\overrightarrow{n}$ sein:
$\overrightarrow{v} = t\cdot\overrightarrow{n}$.
Um $t$ zu bestimmen, setze diesen Vektor in die Ebenengleichung von $E$ ein und löse nach $t$ auf. So erhältst du das $t$ für das $\overrightarrow{v}$ gleichzeitig der Ortsvektor eines Punkts in $E$ ist.
$\begin{array}[t]{rll} -18&=& 2x_1 +x_2 -2x_3 &\quad \scriptsize \mid\; \overrightarrow{v} = \pmatrix{2t\\ t\\ -2t} \\[5pt] -18&=& 2\cdot 2t + t -2\cdot (-2t) \\[5pt] -18&=&9t &\quad \scriptsize \mid\; :9 \\[5pt] -2&=& t \end{array}$
$ -2 = t $
Setze ein:
$\overrightarrow{v} = -2\cdot \pmatrix{2\\1\\-2} = \pmatrix{-4\\-2\\4}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{v}&=& -2\cdot \pmatrix{2\\1\\-2} \\[5pt] &=&\pmatrix{-4\\-2\\4} \end{array}$
Der Vektor $\overrightarrow{v}= \pmatrix{-4\\-2\\4}$ ist sowohl ein Normalenvektor von $E$ als auch der Ortsvektor eines Punktes in $E.$
#kreuzprodukt
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