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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Abitur (WTR)
Abi 2019
Analysis
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Stochastik
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Geometrie
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
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Analysis
Aufgabengruppe I
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Stochastik
Aufgabengruppe I
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Aufgabengruppe I
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Aufgabengruppe I
Teil A
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Aufgabengruppe II
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Stochastik
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Geometrie
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Abi 2015
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
Geometrie Prüfungstei...
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
Geometrie Prüfungstei...
Abi 2014
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
Geometrie Prüfungstei...
Analysis Prüfungsteil...
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Abi 2013
Analysis Aufgabengrup...
Analysis Aufgabengrup...
Stochastik Aufgabengr...
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Geometrie Aufgabengru...
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Abi 2012
Analysis Aufgabengrup...
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Stochastik Aufgabengr...
Stochastik Aufgabengr...
Geometrie Aufgabengru...
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Musterabi
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
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Abi 2011
Analysis Aufgabengrup...
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Stochastik Aufgabengr...
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Geometrie Aufgabengru...
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LV-Abi 1
Analysis Prüfungsteil...
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Geometrie Prüfungstei...
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Stochastik Prüfungste...
Stochastik Prüfungste...
LV-Abi 2
Analysis Prüfungsteil...
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Geometrie Prüfungstei...
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Stochastik Prüfungste...
Stochastik Prüfungste...
LV-Abi 3
Analysis Prüfungsteil...
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Geometrie Prüfungstei...
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Stochastik Prüfungste...
Stochastik Prüfungste...

Teil B

Aufgaben
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Die Abbildung zeigt modellhaft wesentliche Elemente einer Kletteranlage: zwei horizontale Plattformen, die jeweils um einen vertikal stehenden Pfahl gebaut sind, sowie eine Kletterwand, die an einer der beiden Plattformen angebracht ist.
Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die $x_1x_2$-Ebene den horizontalen Untergrund. Die Plattformen und die Kletterwand werden als ebene Vielecke betrachtet. Eine Längeneinheit entspricht $1\,\text{m}$ in der Wirklichkeit. Die Punkte, in denen die Pfähle aus dem Untergrund austreten, werden durch $P_1(0\mid 0\mid 0)$ und $P_2(5\mid 10\mid 0)$ dargestellt. Außerdem sind die Eckpunkte $A(3\mid 0\mid 2),$ $B(0\mid 3\mid 2),$ $E(6\mid 0\mid 0),$ $F( 0\mid 6\mid 0),$ $R(5\mid7\mid3)$ und $T(2\mid 10\mid 3)$ gegeben. Die Materialstärke aller Bauteile der Anlage soll vernachlässigt werden.
#zentraleraufgabenpool
a)
In den Mittelpunkten der oberen und unteren Kante der Kletterwand sind die Enden eines Seils befestigt, das $20\,\%$ länger ist als der Abstand der genannten Mittelpunkte. Berechne die Länge des Seils.
(3 BE)
b)
Die Punkte $A,$ $B,$ $E$ und $F$ liegen in der Ebene $L.$ Ermittle eine Gleichung von $L$ in Normalenform.
[Zur Kontrolle: $L:\quad 2x_1 + 2x_2 + 3x_3- 12 =0$]
(4 BE)
#normalenform
c)
Zeige, dass die Kletterwand die Form eines Trapezes hat.
(2 BE)
#trapez
d)
Bestimme die Größe des Winkels, den die Kletterwand mit dem Untergrund einschließt.
(3 BE)
Über ein Kletternetz kann man von einer Plattform zur anderen gelangen. Die vier Eckpunkte des Netzes sind an den beiden Pfählen befestigt. Einer der beiden unteren Eckpunkte befindet sich an Pfahl 1 auf der Höhe der zugehörigen Plattform, der andere untere Eckpunkt an Pfahl 2 oberhalb der Plattform 2. An jedem Pfahl beträgt der Abstand der beiden dort befestigten Eckpunkte des Netzes $1,80\,\text{m}.$ Das Netz ist so gespannt, dass davon ausgegangen werden kann, dass es die Form eines ebenen Vierecks hat.
e)
Berechne den Flächeninhalt des Netzes und erläutere deinen Ansatz.
(3 BE)
f)
Die untere Netzkante berührt die Plattform 2 an der Seite, die durch die Strecke $[RT]$ dargestellt wird. Betrachtet wird der untere Eckpunkt des Netzes, der oberhalb der Plattform 2 befestigt ist. Im Modell hat dieser Eckpunkt die Koordinaten $(5\mid 10\mid h)$ mit einer reellen Zahl $h > 3.$ Die untere Netzkante liegt auf der Geraden
$g:\quad \overrightarrow{X} =$ $\pmatrix{0\\0\\2}+ \lambda \cdot \pmatrix{5\\10\\h-2},$ $\lambda \in \mathbb{R}.$
Berechne den Abstand des betrachteten Eckpunkts von der Plattform 2.
(5 BE)

(20 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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a)
$\blacktriangleright$  Länge des Seils berechnenTeil B
1. Schritt: Koordinaten der Kantenmittelpunkte bestimmen
Mit der Mittelpunktsformel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}_1&=& \frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(\pmatrix{3\\0\\2} + \pmatrix{0\\3\\2} \right) \\[5pt] &=& \pmatrix{1,5\\1,5\\2} \\[10pt] \overrightarrow{OM}_2&=& \frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OE} +\overrightarrow{OF}\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(\pmatrix{6\\0\\0} + \pmatrix{0\\6\\0} \right) \\[5pt] &=& \pmatrix{3\\3\\0} \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}_1&=&\pmatrix{1,5\\1,5\\2} \\[10pt] \overrightarrow{OM}_2&=& \pmatrix{3\\3\\0} \\[10pt] \end{array}$
2. Schritt: Länge berechnen
Der Abstand der beiden Mittelpunkte ergibt sich über den Vektorbetrag. Insgesamt ergibt sich also für die Länge $l$ des Seils:
$\begin{array}[t]{rll} l&=& 1,2\cdot \left|\overrightarrow{M_1M_2} \right| \\[5pt] &=& 1,2\cdot \left|\pmatrix{1,5\\1,5\\-2} \right| \\[5pt] &=& 1,2\cdot \sqrt{1,5^2+1,5^2 +(-2)^2} \\[5pt] &\approx& 3,50 \\[5pt] \end{array}$
$ l\approx 3,50 $
Das Seil ist ca. $3,50\,\text{m}$ lang.
#vektorbetrag
b)
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung in Normalenform ermitteln
Ein Normalenvektor von $L$ kann über das Kreuzprodukt zweier nicht paralleler Verbindungsvektoren von drei Punkten bestimmt werden:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n} &=& \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AE} \\[5pt] &=& \pmatrix{-3\\3\\0}\times \pmatrix{3\\0\\-2} \\[5pt] &=& \pmatrix{ 3\cdot (-2) - 0\cdot 0 \\ 0\cdot 3 -(-3)\cdot (-2) \\ (-3)\cdot 0 - 3\cdot 3 } \\[5pt] &=& \pmatrix{-6\\-6\\-9} \\[5pt] &=& -3\cdot \pmatrix{2\\2\\3} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{n} = -3\cdot \pmatrix{2\\2\\3}$
Für die Ebenengleichung kann nun sowohl der gekürzte Normalenvektor als auch der ursprüngliche verwendet werden. Mit einer Punktprobe mithilfe der Koordinaten eines der vier Punkte folgt:
$\begin{array}[t]{rll} L:\quad 2\cdot x_1 +2\cdot x_2 +3\cdot x_3 &=& d &\quad \scriptsize \mid\; F(0\mid 6\mid 0)\\[5pt] 2\cdot 0 +2\cdot 6 +3 \cdot 0 &=& d \\[5pt] 12&=& d \end{array}$
$ d = 12 $
Eine Gleichung von $L$ in Normalenform lautet:
$L:\quad 2 x_1 +2 x_2 +3 x_3 -12=0$
$ L: \,… $
#kreuzprodukt
c)
$\blacktriangleright$  Trapezform zeigen
Bei dem Viereck $AEFB$ handelt es sich um ein Trapez, wenn zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind. Der Abbildung kannst du entnehmen, dass mit großer Wahrscheinlichkeit die beiden Strecken $[AB]$ und $[EF]$ parallel sind. Überprüfe also, ob die zugehörigen Verbindungsvektoren linear abhängig sind.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}&=& a\cdot \overrightarrow{EF} \\[5pt] \pmatrix{-3\\3\\0}&=& a\cdot \pmatrix{-6\\6\\0} \end{array}$
Diese Gleichung ist für $a=\frac{1}{2}$ erfüllt. Die beiden Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{EF}$ sind also parallel. Die Kletterwand ist demnach trapezförmig.
d)
$\blacktriangleright$  Winkelgröße bestimmen
Der Untergrund wird durch die $x_1x_2$-Ebene beschrieben. Ein zugehöriger Normalenvektor ist $\overrightarrow{n}_1 = \pmatrix{0\\0\\1}.$ Die Kletterwand liegt im Modell in der Ebene $L$ mit dem Normalenvektor $\overrightarrow{n}_2 = \pmatrix{2\\2\\3}.$ Mit der Formel für den Schnittwinkel zweier Ebenen ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha&=& \dfrac{\left| \overrightarrow{n}_1 \circ \overrightarrow{n}_2 \right|}{\left|\overrightarrow{n}_1 \right|\cdot \left|\overrightarrow{n}_2 \right| } \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{\left| \pmatrix{0\\0\\1} \circ \pmatrix{2\\2\\3} \right|}{\left|\pmatrix{0\\0\\1}\right|\cdot \left|\pmatrix{2\\2\\3} \right| } \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{3}{1 \cdot \sqrt{2^2+2^2+3^2} } \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{3}{ \sqrt{17} } &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& 43,3^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx 43,3^{\circ} $
Die Kletterwand schließt einen Winkel der Größe von ca. $43,3^{\circ}$ ein.
#schnittwinkel
e)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt des Netzes ermitteln
Da die beiden Pfähle senkrecht zum Untergrund stehen sind sie parallel zueinander. Da jeweils zwei Ecken des Netzes an einem Pfahl befestigt sind, sind die beiden Seiten des Vierecks, die an den Pfählen befestigt sind, parallel zueinander. Das Viereck, das das Netz darstellt, ist also ein Trapez, dessen parallele Seiten beide $a=c=1,80\,\text{m}$ lang sind. Die Höhe des Trapezes entspricht dem Abstand der beiden Pfähle. Da die Pfähle senkrecht zum Untergrund stehen, entspricht ihr Abstand dem Abstand der beiden Punkte $P_1$ und $P_2,$ in denen die Pfähle auf den Untergrund treffen.
$\begin{array}[t]{rll} h&=& \left|\overrightarrow{P_1P_2} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{5\\10\\0} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{5^2+10^2+0^2} \\[5pt] &=& \sqrt{125} \\[5pt] \end{array}$
Der Flächeninhalt ergibt sich dann mithilfe der Flächenformel eines Trapezes:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \frac{1}{2}\cdot (a +c) \cdot h \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot (1,80\,\text{m} + 1,80\,\text{m})\cdot \sqrt{125}\,\text{m}\\[5pt] &\approx& 20,12\,\text{m}^2 \end{array}$
$ A\approx 20,12\,\text{m}^2 $
Das Netz ist ca. $20,12\,\text{m}^2$ groß.
#trapez
f)
$\blacktriangleright$  Abstand berechnen
Gesucht ist der Schnittpunkt von $g$ mit der Gerade $h_2,$ auf der im Modell Pfahl 2 liegt. Dazu muss $h$ so bestimmt werden, dass $g$ die Gerade durch die Punkte $R$ und $T$ schneidet, da das Netz die Plattform in dieser Kante berühren soll.
Eine Gleichung dieser Geraden lautet:
$\begin{array}[t]{rll} h_1: \quad \overrightarrow{X} &=& \overrightarrow{OR} + \mu\cdot \overrightarrow{RT}\\[5pt] &=& \pmatrix{5\\7\\3} + \mu \cdot \pmatrix{-3\\3\\0} \end{array}$
$ h_1: … $
Gleichsetzen mit $g$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{0\\0\\2} + \lambda\cdot \pmatrix{5\\10\\h-2}&=& \pmatrix{5\\7\\3} + \mu \cdot \pmatrix{-3\\3\\0} &\quad \scriptsize \mid\;-\pmatrix{0\\0\\2}; - \mu \cdot \pmatrix{-3\\3\\0} \\[5pt] \lambda\cdot \pmatrix{5\\10\\h-2}- \mu \cdot \pmatrix{-3\\3\\0} &=& \pmatrix{5\\7\\1} \\[5pt] \end{array}$
$ \pmatrix{0\\0\\2} + … $
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&5&=& 5\lambda +3\mu &\quad \scriptsize\mid\;-3\mu\\[5pt] &5-3\mu&=& 5\lambda &\quad \scriptsize\mid\;:5\\[5pt] &1-0,6\mu&=& \lambda \\[10pt] \text{II}\quad&7&=& 10\lambda -3\mu \\[5pt] \text{III}\quad&1&=& (h-2)\cdot \lambda \\[5pt] \end{array}$
$\lambda$ kann nun in $\text{II}$ eingesetzt werden:
$\begin{array}[t]{rll} \text{II}\quad 7&=& 10\cdot (1-0,6\mu) -3\mu \\[5pt] 7&=& 10-6\mu-3\mu &\quad \scriptsize \mid\;-10 \\[5pt] -3&=& -9\mu &\quad \scriptsize \mid\;:(-9) \\[5pt] \frac{1}{3}&=& \mu \end{array}$
$ \frac{1}{3}= \mu $
Das liefert für $\lambda:$
$\begin{array}[t]{rll} \lambda&=& 1-0,6\cdot \frac{1}{3} \\[5pt] &=& 0,8 \end{array}$
$ \lambda = 0,8 $
Einsetzen in die dritte Gleichung liefert $h:$
$\begin{array}[t]{rll} \text{III}\quad 1&=& (h-2)\cdot \lambda \\[5pt] 1&=& (h-2)\cdot 0,8 &\quad \scriptsize \mid\; :0,8 \\[5pt] 1,25&=& h-2 &\quad \scriptsize \mid\; +2 \\[5pt] 3,25&=& h \end{array}$
$ h = 3,25 $
Der betrachtete Eckpunkt hat also die Koordinaten $(5\mid 10 \mid 3,25).$
Die Plattformen verlaufen horizontal. Der Abstand des betrachteten Eckpunktes des Netzes zur Plattform 2 ergibt sich daher über die Differenz der $x_3$-Koordinaten. Die Punkte auf der Plattform 2 haben im Modell alle die $x_3$-Koordinate $3.$ Die $x_3$-Koordinate des betrachteten Eckpunktes beträgt im Modell $3,25.$ Der betrachtete Eckpunkt des Netzes hat zur Plattform 2 also einen Abstand von $0,25\,\text{m}.$
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