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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Abitur (WTR)
Abi 2019
Analysis
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Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
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Aufgabengruppe I
Teil A
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Aufgabengruppe II
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Analysis Prüfungsteil...
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LV-Abi 3
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Stochastik Prüfungste...

Teil A

Aufgaben
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1
In Sonnenstadt gibt es $6\,000$ Einfamilienhäuser, von denen $2\,400$ mit einer Holzpelletheizung ausgestattet sind. Bei zwei Dritteln der Einfamilienhäuser mit Holzpelletheizung ist diese mit einer solarthermischen Anlage kombiniert. $50\,\%$ aller Einfamilienhäuser sind weder mit einer Holzpelletheizung noch mit einer solarthermischen Anlage ausgestattet.
a)
Stelle zu der beschriebenen Situation eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel auf.
(3 BE)
b)
Ein zufällig ausgewähltes Einfamilienhaus ist mit einer solarthermischen Anlage ausgestattet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat es eine Holzpelletheizung?
(2 BE)
#vierfeldertafel
2
Das abgebildete Baumdiagramm stellt ein zweistufiges Zufallsexperiment mit den Ereignissen $A$ und $B$ sowie deren Gegenereignissen $\overline{A}$ und $\overline{B}$ dar.
a)
Bestimme den Wert von $p$ so, dass das Ereignis $B$ bei diesem Zufallsexperiment mit der Wahrscheinlichkeit $0,3$ eintritt.
(2 BE)
b)
Ermittle den größtmöglichen Wert, den die Wahrscheinlichkeit von $B$ annehmen kann.
(3 BE)

(10 BE)
#baumdiagramm
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© – SchulLV.
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Lösungen
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1
a)
$\blacktriangleright$  Vierfeldertafel aufstellenTeil A
Folgende Bezeichnungen werden verwendet:
Ein zufällig ausgewähltes Einfamilienhaus aus Sonnenstadt ist mit einer Holzpelletheizung ausgestattet.
Ein zufällig ausgewähltes Einfamilienhaus aus Sonnenstadt ist mit einer solarthermischen Anlage ausgestattet.
Aus dem Aufgabentext lassen sich folgende Wahrscheinlichkeiten direkt ablesen:
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& \frac{2\,400}{6\,000} \\[5pt] &=& \frac{2}{5}\\[10pt] P\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)&=& 0,5 \\[10pt] \end{array}$
Von den $2\,400$ Häusern mit Holzpelletheizung sind zwei Drittel mit einer solarthermischen Anlage ausgestattet:
$\frac{2}{3}\cdot 2\,400 = 1\,600$
$P(A\cap B) = \frac{1\,600}{6\,000} = \frac{4}{15}$
Die übrigen Wahrscheinlichkeiten können über die Zeilen- und Spaltensummen bestimmt werden:
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& P(A\cap B)+P(A\cap \overline{B})\\[5pt] \frac{2}{5}&=& \frac{4}{15}+ P(A\cap \overline{B}) &\quad \scriptsize \mid\; -\frac{4}{15} \\[5pt] \frac{2}{15}&=& P(A\cap \overline{B}) \\[10pt] P(\overline{A})&=& 1-P(A) \\[5pt] &=& 1-\frac{2}{5} \\[5pt] &=& \frac{3}{5} \\[10pt] P(\overline{A})&=& P(\overline{A}\cap B)+P(\overline{A}\cap \overline{B})\\[5pt] \frac{3}{5}&=& P(\overline{A}\cap B)+ 0,5 &\quad \scriptsize \mid\; -0,5 \\[5pt] \frac{1}{10}&=& P(\overline{A}\cap B) \\[10pt] P(B)&=& P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)\\[5pt] &=& \frac{4}{15}+ \frac{1}{10} \\[5pt] &=& \frac{11}{30} \\[10pt] P(\overline{B})&=& 1-P(B) \\[5pt] &=& 1-\frac{11}{30} \\[5pt] &=& \frac{19}{30} \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \frac{2}{15}&=& P(A\cap \overline{B}) \\[10pt] P(\overline{A})&=& \frac{3}{5} \\[10pt] \frac{1}{10}&=& P(\overline{A}\cap B) \\[10pt] P(B)&=& \frac{11}{30} \\[10pt] P(\overline{B})&=& \frac{19}{30} \\[10pt] \end{array}$
$A$$\overline{A}$Summe
$B$ $\frac{4}{15}$$\frac{1}{10}$$\frac{11}{30}$
$\overline{B}$ $\frac{2}{15}$$0,5$$\frac{19}{30}$
Summe $\frac{2}{5}$$\frac{3}{5}$$1$
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Mit den Bezeichnungen aus a) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_B(A)$ gesucht:
$\begin{array}[t]{rll} P_B(A)&=& \frac{P(A\cap B)}{P(B)} &\quad \scriptsize \mid\;\text{Vierfeldertafel} \\[5pt] &=& \dfrac{\frac{4}{15}}{\frac{11}{30}}\\[5pt] &=& \frac{8}{11}\\[5pt] \end{array}$
$ P_B(A)=\frac{8}{11} $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{8}{11}$ ist ein zufällig ausgewähltes Einfamilienhaus mit solarthermischer Anlage mit einer Holzpelletheizung ausgestattet.
#bedingtewahrscheinlichkeit
2
a)
$\blacktriangleright$  Parameterwert bestimmen
Mithilfe der Pfadregeln lässt sich folgende Gleichung aufstellen:
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& P(A)\cdot P_A(B) + P(\overline{A})\cdot P_{\overline{A}}(B) \\[5pt] 0,3&=& p\cdot 0,6 +(1-p)\cdot 0,2 \\[5pt] 0,3&=& 0,6p +0,2-0,2p \\[5pt] 0,3&=& 0,4p +0,2 &\quad \scriptsize \mid\; -0,2 \\[5pt] 0,1&=& 0,4p &\quad \scriptsize \mid\;:0,4 \\[5pt] \frac{1}{4}&=& p \\[5pt] 0,25&=& p \end{array}$
$ p = 0,25 $
Damit das Ereignis $B$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,3$ eintritt, muss $p=0,25$ betragen.
b)
$\blacktriangleright$  Größtmögliche Wahrscheinlichkeit bestimmen
Analog zur Gleichung in a) kann die Wahrscheinlichkeit für $B$ als Funktion in Abhängigkeit von $p$ dargestellt werden:
$\begin{array}[t]{rll} B(p) &=& p\cdot 0,6 +(1-p)\cdot 0,2 \\[5pt] &=& 0,4p +0,2 \end{array}$
$ B(p) = 0,4p +0,2$
Diese Funktion beschreibt eine Gerade mit positiver Steigung. Die Wahrscheinlichkeit von $B$ ist also größer je größer $p$ ist. Da $p$ maximal $1$ sein kann, ist also für $p=1$ die Wahrscheinlichkeit $P(B)$ am größten mit $P(B)=1\cdot 0,6 = 0,6.$
#pfadregeln
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