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Teil A

Aufgaben
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1
Gegeben sind die drei Punkte $A(2\mid 1\mid -4)$, $B(6\mid 1\mid -12)$ und $C(0\mid 1\mid 0).$
a)
Weise nach, dass der Punkt $C$ auf der Gerade $AB$, nicht aber auf der Strecke $[AB]$ liegt.
(3 BE)
b)
Auf der Strecke $[AB]$ gibt es einen Punkt $D$, der von $B$ dreimal so weit entfernt ist wie von $A$. Bestimme die Koordinaten von $D$.
(2 BE)
2
Gegeben ist die Ebene $E:\; 2x_1+x_2-2x_3 = -18.$
a)
Der Schnittpunkt von $E$ mit der $x_1$-Achse, der Schnittpunkt von $E$ mit der $x_2$-Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreieckes. Bestimme den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
(2 BE)
b)
Ermittle die Koordinaten des Vektors, der sowohl ein Normalenvektor von $E$ als auch der Ortsvektor eines Punktes der Ebene $E$ ist.
(3 BE)

(10 BE)
#normalenvektor#ortsvektor#hilfsmittelfreieaufgaben
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Tipps
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1
a)
$\blacktriangleright$  Lage des Punktes nachweisen
Du sollst nachweisen, dass der Punkt $C$ auf der Gerade $AB$, aber nicht auf der Strecke $[AB]$ liegt. Er liegt also auf der Geraden, aber nicht zwischen den beiden Punkten $A$ und $B$. Du kannst wie folgt vorgehen:
  1. Stelle eine Gleichung der Geraden $AB$ auf.
  2. Führe eine Punktprobe mit dem Punkt $C$ auf der Geraden $AB$ durch, um zu zeigen, dass $C$ auf der Geraden liegt.
  3. Berechne die Abstände zwischen $A$ und $B$, $B$ und $C$ und $A$ und $C$. Ist $\left| [AB]\right| = \left| [AC]\right|+ \left| [BC]\right|,$ liegt der Punkt $C$ auf der Strecke $[AB]$, andernfalls nicht.
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Punkts bestimmen
Der Punkt $D$ soll auf der Strecke $[AB]$ liegen und dreimal so weit entfernt von $B$ sein wie von $A$. Es gilt also $\overrightarrow{DB} = 3\cdot \overrightarrow{AD}.$ Stelle nun eine Gleichung auf mit Hilfe dieser beiden Vektoren und dem Verbindungsvektor $\overrightarrow{AB}.$
2
a)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt bestimmen
Um den Flächeninhalt des Dreiecks zu bestimmen, bestimme zunächst die Koordinaten der Eckpunkte. Anschließend kannst du den Flächeninhalt über das Kreuzprodukt zweier Verbindungsvektoren wie folgt berechnen:
$A_{\triangle PQR} = \frac{1}{2} \cdot \left|\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{QR} \right| $
$A_{\triangle PQR} = \frac{1}{2} \cdot \left|\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{QR} \right| $
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten ermitteln
Gesucht ist ein Vektor $\overrightarrow{v}$, der sowohl ein Normalenvektor von $E$ ist, als auch der Ortsvektor eines Punkts in $E$ ist. Aus der Ebenengleichung kannst du einen Normalenvektor von $E$ ablesen. Da der gesuchte Vektor ebenfalls ein Normalenvektor von $E$ sein soll, muss dieser ein Vielfaches von $\overrightarrow{n}$ sein:
$\overrightarrow{v} = t\cdot\overrightarrow{n}$.
Um $t$ zu bestimmen, setze diesen Vektor in die Ebenengleichung von $E$ ein und löse nach $t$ auf. So erhältst du das $t$ für das $\overrightarrow{v}$ gleichzeitig der Ortsvektor eines Punkts in $E$ ist.
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1
a)
$\blacktriangleright$  Lage des Punktes nachweisen
Du sollst nachweisen, dass der Punkt $C$ auf der Gerade $AB$, aber nicht auf der Strecke $[AB]$ liegt. Er liegt also auf der Geraden, aber nicht zwischen den beiden Punkten $A$ und $B$. Du kannst wie folgt vorgehen:
  1. Stelle eine Gleichung der Geraden $AB$ auf.
  2. Führe eine Punktprobe mit dem Punkt $C$ auf der Geraden $AB$ durch, um zu zeigen, dass $C$ auf der Geraden liegt.
  3. Berechne die Abstände zwischen $A$ und $B$, $B$ und $C$ und $A$ und $C$. Ist $\left| [AB]\right| = \left| [AC]\right|+ \left| [BC]\right|,$ liegt der Punkt $C$ auf der Strecke $[AB]$, andernfalls nicht.
1. Schritt: Geradengleichung aufstellen
Eine Geradengleichung hat allgemein folgende Form:
$g: \; \overrightarrow{OX} = \overrightarrow{p}+t\cdot \overrightarrow{r} $
$g: \; \overrightarrow{OX} = \overrightarrow{p}+t\cdot \overrightarrow{r} $
Dabei ist $\overrightarrow{p}$ ein Stützvektor und $\overrightarrow{r}$ ein Richtungsvektor. Wähle als Stützvektor den Ortsvektor eines Punkts der Geraden, also beispielsweise $\overrightarrow{OA}$. Als Richtungsvektor kannst du den Verbindungsvektor $\overrightarrow{AB}$ verwenden.
$\overrightarrow{OA} = \pmatrix{2\\1\\-4}$
$\overrightarrow{AB} = \pmatrix{6\\1\\-12}- \pmatrix{2\\1\\-4} = \pmatrix{4\\0\\-8}$
$\begin{array}[t]{rll} & \overrightarrow{AB} \\[5pt] =&\pmatrix{6\\1\\-12}- \pmatrix{2\\1\\-4} \\[5pt] =& \pmatrix{4\\0\\-8}\\[5pt] \end{array}$
Also erhältst du folgende Geradengleichung:
$AB: \; \overrightarrow{OX}= \pmatrix{2\\1\\-4} +t\cdot \pmatrix{4\\0\\-8}$
$AB: \; \overrightarrow{OX} $
$= \pmatrix{2\\1\\-4} +t\cdot \pmatrix{4\\0\\-8}$
2. Schritt: Punktprobe durchführen
Setze den Ortsvektor von $C$ in die Geradengleichung ein und überprüfe, ob es einen Wert für $t$ gibt, für den die Gleichung erfüllt wird.
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{0\\1\\0}&=& \pmatrix{2\\1\\-4} +t\cdot \pmatrix{4\\0\\-8} &\quad \scriptsize \mid\;-\pmatrix{2\\1\\-4} \\[5pt] \pmatrix{-2\\0\\4}&=& t\cdot \pmatrix{4\\0\\-8} \\[5pt] \end{array}$
$ \pmatrix{-2\\0\\4}= t\cdot \pmatrix{4\\0\\-8} $
$t= -0,5$ erfüllt die Gleichung für alle drei Zeilen. Daher liegt der Punkt $C$ auf der Geraden $AB$.
3. Schritt: Abstände berechnen
Die Abstände zwischen den Punkten, kannst du über den Betrag des jeweiligen Verbindungsvektors berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \left| \overrightarrow{AB} \right|&=&\left|\pmatrix{4\\0\\-8} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{4^2+0^2 +(-8)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{80}\\[5pt] \end{array}$
$ \left| \overrightarrow{AB} \right| = \sqrt{80} $
$\begin{array}[t]{rll} \left| \overrightarrow{AC} \right|&=&\left|\pmatrix{-2\\0\\4} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-2)^2+0^2 +4^2} \\[5pt] &=& \sqrt{20}\\[5pt] \end{array}$
$ \left| \overrightarrow{AC} \right| = \sqrt{20} $
$\begin{array}[t]{rll} \left| \overrightarrow{BC} \right|&=&\left|\pmatrix{-6\\0\\12} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-6)^2+0^2+12^2} \\[5pt] &=& \sqrt{180}\\[5pt] \end{array}$
$ \left| \overrightarrow{BC} \right| = \sqrt{180} $
Es gilt $\left| \overrightarrow{AC} \right| + \left| \overrightarrow{BC} \right| \neq \left| \overrightarrow{AB} \right|.$ Also liegt der Punkt $C$ nicht auf der Strecke $[AB].$
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Punkts bestimmen
Der Punkt $D$ soll auf der Strecke $[AB]$ liegen und dreimal so weit entfernt von $B$ sein wie von $A$. Es gilt also $\overrightarrow{DB} = 3\cdot \overrightarrow{AD}.$ Stelle nun eine Gleichung auf mit Hilfe dieser beiden Vektoren und dem Verbindungsvektor $\overrightarrow{AB}.$
Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}&=& \overrightarrow{AD}+ \overrightarrow{DB} \\[5pt] \overrightarrow{AB}&=& \overrightarrow{AD} + 3\cdot \overrightarrow{AD} \\[5pt] \overrightarrow{AB}&=&4\cdot \overrightarrow{AD} \\[5pt] \pmatrix{4\\0\\-8}&=&4\cdot \overrightarrow{AD} &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] \pmatrix{1\\0\\-2}&=&\overrightarrow{AD} \end{array}$
$ \pmatrix{1\\0\\-2}=\overrightarrow{AD} $
Damit kannst du nun den Ortsvektor von $D$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OD}&=&\overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{AD} \\[5pt] &=& \pmatrix{2\\1\\-4}+ \pmatrix{1\\0\\-2}\\[5pt] &=& \pmatrix{3\\1\\-6} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &\overrightarrow{OD} \\[5pt] =&\overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{AD} \\[5pt] =& \pmatrix{2\\1\\-4}+ \pmatrix{1\\0\\-2}\\[5pt] =& \pmatrix{3\\1\\-6} \end{array}$
Die Koordinaten des Punkts lauten $D(3\mid 1\mid -6).$
#vektorbetrag
2
a)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt bestimmen
Um den Flächeninhalt des Dreiecks zu bestimmen, bestimme zunächst die Koordinaten der Eckpunkte. Anschließend kannst du den Flächeninhalt über das Kreuzprodukt zweier Verbindungsvektoren wie folgt berechnen:
$A_{\triangle PQR} = \frac{1}{2} \cdot \left|\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{QR} \right| $
$A_{\triangle PQR} = \frac{1}{2} \cdot \left|\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{QR} \right| $
1. Schritt: Koordinaten der Eckpunkte bestimmen
Einer der Eckpunkte ist der Koordinatenursprung $O(0\mid 0\mid 0).$ Ein weiterer Eckpunkt ist der Schnittpunkt der Ebene $E$ mit der $x_1$-Achse. Für alle Punkte auf der $x_1$-Achse gilt $(x_1\mid 0 \mid 0).$ Setze diese in die Ebenengleichung ein und löse nach $x_1$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} -18&=& 2x_1 +x_2 -2x_3 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 = x_3 =0 \\[5pt] -18&=&2x_1 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] -9&=&x_1 \end{array}$
$ -9=x_1 $
Der zweite Eckpunkt hat also die Koordinaten $P(-9\mid 0 \mid 0).$
Für den dritten Eckpunkt kannst du genauso vorgehen. Hierbei handelt es sich um den Schnittpunkt von $E$ mit der $x_2$-Achse.
$\begin{array}[t]{rll} -18&=& 2x_1 +x_2 -2x_3 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 = x_3 =0\\[5pt] -18&=&x_2 \end{array}$
$ -18 = x_2 $
Die Koordinaten des dritten Eckpunktes lauten $Q(0 \mid -18 \mid 0).$
2. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Setze nun in die obige Formel ein, indem du das Kreuzprodukt mit folgender Formel bildest:
$\pmatrix{a_1\\a_2\\a_3} \times \pmatrix{b_1\\b_2\\b_3} = \pmatrix{a_2b_3-b_2a_3 \\ a_3b_1- b_3a_1 \\ a_1b_2- b_1a_2}$
$\begin{array}[t]{rll} &\pmatrix{a_1\\a_2\\a_3} \times \pmatrix{b_1\\b_2\\b_3} \\[5pt] =&\pmatrix{a_2b_3-b_2a_3 \\ a_3b_1- b_3a_1 \\ a_1b_2- b_1a_2} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\frac{1}{2}\cdot \left|\overrightarrow{OP}\times \overrightarrow{OQ} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left|\pmatrix{-9\\0\\0}\times \pmatrix{0\\-18\\0} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot \left|\pmatrix{0\\0\\162} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+162^2}\\[5pt] &=& 81 \end{array}$
$A = 81 $
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $81$ Flächeneinheiten.
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten ermitteln
Gesucht ist ein Vektor $\overrightarrow{v}$, der sowohl ein Normalenvektor von $E$ ist, als auch der Ortsvektor eines Punkts in $E$ ist. Aus der Ebenengleichung kannst du einen Normalenvektor von $E$ ablesen. Da der gesuchte Vektor ebenfalls ein Normalenvektor von $E$ sein soll, muss dieser ein Vielfaches von $\overrightarrow{n}$ sein:
$\overrightarrow{v} = t\cdot\overrightarrow{n}$.
Um $t$ zu bestimmen, setze diesen Vektor in die Ebenengleichung von $E$ ein und löse nach $t$ auf. So erhältst du das $t$ für das $\overrightarrow{v}$ gleichzeitig der Ortsvektor eines Punkts in $E$ ist.
$\begin{array}[t]{rll} -18&=& 2x_1 +x_2 -2x_3 &\quad \scriptsize \mid\; \overrightarrow{v} = \pmatrix{2t\\ t\\ -2t} \\[5pt] -18&=& 2\cdot 2t + t -2\cdot (-2t) \\[5pt] -18&=&9t &\quad \scriptsize \mid\; :9 \\[5pt] -2&=& t \end{array}$
$ -2 = t $
Setze ein:
$\overrightarrow{v} = -2\cdot \pmatrix{2\\1\\-2} = \pmatrix{-4\\-2\\4}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{v}&=& -2\cdot \pmatrix{2\\1\\-2} \\[5pt] &=&\pmatrix{-4\\-2\\4} \end{array}$
Der Vektor $\overrightarrow{v}= \pmatrix{-4\\-2\\4}$ ist sowohl ein Normalenvektor von $E$ als auch der Ortsvektor eines Punktes in $E.$
#kreuzprodukt
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