Aufgabengruppe 1
Aufgabe 1
a) $\blacktriangleright$
Zeigen, dass $\boldsymbol{f(x)}$ zu jedem der drei Terme äquivalent ist
Hier sollst du zeigen, dass $f$, mit
$f(x) = \dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{x+3}$
zu jedem der drei gegebenen Terme äquivalent ist. Da $f(x)$ zu jedem der drei Terme äquivalent sein bedeutet das, dass die drei Terme untereinander
ebenfalls äquivalent
sein müssen. Zeige dies im ersten Schritt.
Im zweite Schritt zeigst du dann, dass $f(x)$ zu
einem
der drei Terme äquivalent ist. Dies kannst du erreichen, indem du beispielsweise die Bruchterme im Funktionsterm auf den
gleichen Nenner
bringst.
b) $\blacktriangleright$
Begründen, dass die $\boldsymbol{x}$-Achse horizontale Asymptote ist
Willst du zeigen, dass die $x$-Achse horizontale Asymptote von $G_f$ ist, so musst du das
Grenzwertverhalten
von $f$ untersuchen. Zeige dabei, dass der Graph von $f$ für $x \to \pm \infty$ gegen
Null
konvergiert.
$\blacktriangleright$
Angeben der Gleichungen der vertikalen Asypmtoten
Ein Graph besitzt an den Stellen vertikale Asymptoten, an welchen er
Definitionslücken
besitzt. Ermittle also die Definitionslücken von $f$ und gebe die Gleichungen der vertikalen Asymptoten an.
c) $\blacktriangleright$
Zeigen, dass $\boldsymbol{x =-2}$ die einzige Nullstelle von $\boldsymbol{f'}$ ist
Hier hast du nun Funktion $p$ mit
$p: x \mapsto 0,5 \cdot \left(x + 2\right)^2 - 0,5$
und den Graphen von $p$ gegeben. Weiterhin weißt du, dass für alle $x \in D_f$ $f(x) = \dfrac{1}{p(x)}$ gilt. Nun ergibt sich gemäß der
Quotientenregel
für die Ableitung $f'$ und $p'$ die Beziehung
$f'(x) = - \dfrac{p'(x)}{\left(p(x)\right)^2}$
Deine Aufgabe ist es nun, zu Begründen, dass $x = -2$ die einzige Nullstelle von $f'$ ist, unter Verwendung der gegebenen Beziehung und ohne Berechnung von $f'(x)$ und $p'(x)$.
Willst du dies hier zeigen, so setze $f'(x)$
gleich Null
und vereinfache diesen soweit wie möglich. Untersuche anschließend das gegebene Schaubild des Graphen von $p$ und begründe die Nullstelle bei $x = -2$. Gehe dazu auf die Eigenschaften einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades ein.
$\blacktriangleright$
Begründen des Monotonieverhaltens und Angeben der Lage und Art des Extrempunktes
Weiterhin sollst du in dieser Aufgabe begründen, dass $G_f$ in $]-3;-2[$
streng monoton steigend
und in $]-2; -1[$
streng monoton fallend
ist. Des Weiteren sollst du
Art und Lage des Extrempunktes
von $G_f$ angeben.
Betrachtest du noch einmal die gegebene Beziehung für $f'$, so kannst du erkennen, dass alleine der Zähler über die
Vorzeichen der Ableitungswerte
entscheidet. Dieser entspricht gerade $p'(x)$. Oben hast du herausgefunden, dass $p$ eine ganzrationale Funktion zweiten Grades mit Extremstelle bei $x = -2$ ist. $p'$ entspricht also einer
Geraden
.
Beachte die Vorzeichen in der Beziehung für $f'$ und löse diese Aufgabe anhand der Eigenschaften von $p$.
d) $\blacktriangleright$
Berechnen der Funktionswerte und Skizzieren von $G_f$
Berechne zunächst die Funktionswerte $f(-5)$ und $f(-1,5)$. Fasse dann alle Informationen die du bereits für $G_f$ gesammelt hast zusammen und skizziere den Graphen.
Das weißt du über den Graphen von $f$:
- $G_f$ besitzt den Schnittpunkt mit der $y$-Achse: $S_y\left(0 \mid \frac{2}{3}\right)$
- $G_f$ besitzt die $x$-Achse als horizontale Asymptote
- $G_f$ besitzt die $x = -1$ und $x = -3$ als senkrechte Asymptoten
- $G_f$ besitzt einen Hochpunkt, mit $H(- 2 \mid -2)$
- $G_f$ verläuft streng monoton steigend in $]-3;-2[$
- $G_f$ verläuft streng monoton fallend in $]-2;-1[$
- Du hast die Funktionswerte bei $x = -5$ und $x = -1,5$ gegeben
Aufgabe 2
a) $\blacktriangleright$
Grenzwert anhand des Funktionsterms begründen
Hier ist dir Funktion $h$ gegeben, mit:
$h: x \mapsto \dfrac{3}{\mathrm e^{x + 1} - 1}$
Deine Aufgabe ist es dazu, den Grenzwert $\lim\limits_{x\to+\infty} h(x) = 0$ anhand des Funktionsterms zu begründen. Betrachte dazu den Funktionsterm genauer und mache dir zunächst Gedanken über das
Grenzwertverhalten
der einzelnen Bestandteile.
Der Funktionsterm von $h$ setzt sich wie folgt zusammen:
- Es handelt sich hier um einer Funktion
mit Bruch
- Der Zähler des Bruchs ist
konstant
- Der Nenner besitzt einen
exponentiellen
Bestandteil
$\blacktriangleright$
Zeigen, dass die Ableitung stets Werte kleiner Null annimmt
Nun sollst du zeigen, dass die erste Ableitung $h'$ von $h$ nur Werte
echt kleiner
Null annimmt. Das heißt, du sollst zeigen, dass für$h'(x) < 0$ gilt.
Bestimme dazu zunächst $h'$ über das Ableiten von $h$ nach der
Quotientenregel
. Stelle anschließend eine Ungleichung auf und forme soweit um, bis du eine wahre Aussage erhältst.
Beachte beim Lösen der Aufgabe insbesondere die Eigenschaften der Exponentialfunktion.
b) $\blacktriangleright$
Begründen der Aussagen
Gegeben hast du nun die Integralfunktion $H_0$ mit
$H_0: x \mapsto \displaystyle\int_{0}^{x} h(t)\;\mathrm dt$
Diese Funktion entspricht einer
Stammfunktion
von $h$. Das heißt $h$ entspricht der
ersten Ableitung
von $H_0$.
Hier sollst du nun begründen, dass folgende beiden Aussagen wahr sind:
- Der Graph von $H_0$ ist
streng monoton steigend
- Der Graph von $H_0$ ist
rechtsgekrümmt
1. Der Graph von $\boldsymbol{H_0}$ ist streng monoton steigend
Willst du begründen, dass diese Aussage wahr ist, so betrachte den Funktionsterm von $h$ und begründe, dass $h$ für alle Werte $x \in D_h$ Funktionswerte echt größer Null annimmt.
2. Der Graph von $H_0$ ist rechtsgekrümmt
Der Graph einer Funktion ist dann rechtsgekrümmt, wenn die erste Ableitung der betreffenden Funktion
monoton fällt
.
c) $\blacktriangleright$
Angeben der Nullstelle von $H_0$
$H_0$ entspricht einer Integralfunktion. Willst du nun den Nullstelle von $H_0$ bestimmen, so argumentiere hier mit den
Eigenschaften des Integrals
.
$\blacktriangleright$
Näherungsweises bestimmen der Funktionswerte
Nun sollst du die Funktionswerte $H_0(-0,5)$ und $H_0(3)$ näherungsweise bestimmen. Da $H_0$ eine Integralfunktion ist, musst du hier die Fläche unterhalb des Graphen von $h$
schätzen
. Achte dabei darauf, dass $H_0$ ab $x = 0$ definiert ist. Beachte auch insbesondere beim Funktionswert $H_0(-0,5)$ das Vorzeichen.
$\blacktriangleright$
Skizzieren des Graphen H_0
Nun sollst du den Graphen von $H_0$ in Abbildung 2 im Bereich $-0,5 \leq x \leq 3$ skizzieren. Rufe dir dazu ins Gedächtnis, was du über den Graphen von $H_0$ weißt:
- $G_h$ entspricht dem Graph der
ersten Ableitung
des Graphen $H_0$
- Der Graph von $H_0$ ist
streng monoton steigend
- Der Graph von $H_0$ ist
rechtsgekrümmt
- Es gilt näherungsweise $H_0(-0,5)\approx -1,5$ und $H_0(3) \approx 1,3$
- $H_0$ besitzt eine einzige
Nullstelle
bei $H(0) = 0$
Aufgabe 3
a) $\blacktriangleright$
Zeitpunkt, bei dem momentane Schadstoffabbaurate 0,01 Gramm pro Minute beträgt
Nun soll Funktion $h$ für $x \geq 0$ die zeitliche Entwicklung des momentanen Schadstoffabbaus von kontaminierten Wasser beschreiben. $h(x)$ bezeichnet dabei die
momentane Schadstoffabbaurate
in Gramm pro Minute und $x$ die seit Beginn des Reinigungsvorgangs
vergangene Zeit in Minuten
.
Du sollst nun den Zeitpunkt $x$ bestimmen, zu dem die momentane Schadstoffabbaurate auf 0,01 Gramm pro Minute zurückgegangen ist. Setze dazu den Funktionsterm von $h$ mit $0,01$ gleich und löse nach dem Zeitpunkt $x$.
b) $\blacktriangleright$
Beschreiben wie $\boldsymbol{G_k}$ aus $\boldsymbol{G_f}$ hervorgeht
Hier sollst du bestimmen, wie der Graph der Funktion $k$, mit
$k: x \mapsto 3 \cdot \left(\dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{x+3}\right)-0,2$
aus dem Graphen der Funktion $f$ hervorgeht. Betrachte dazu den Funktionsterm von $k$ genauer und untersuche, ob dieser in Richtung der Koordinatenachsen
verschoben
wurde und ob eine
Streckung
des Graphen vorliegt.
c) $\blacktriangleright$
Berechnen des Integralwertes und angeben der Bedeutung im Zusammenhang
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass ein Näherungswert für $\displaystyle\int_{0}^{1}h(x)\;\mathrm dx$ mit
$\displaystyle\int_{0}^{1}h(x)\;\mathrm dx \approx \displaystyle\int_{0}^{1}k(x)\;\mathrm dx$
vorliegt. Im Folgenden sollst du diesen Wert berechnen und dessen Bedeutung im Sachzusammenhang angeben.
Hier musst du also über $k$ integrieren. Beachte dabei, dass beim Bestimmen der Stammfunktion von $k$ folgender Zusammenhang gilt:
$\left(\ln(x)\right)' = \dfrac{1}{x}$
Willst du die Bedeutung des berechneten Wertes im Zusammenhang angeben, dann beachte, dass $h$ die momentane Schadstoffabbaurate angibt. Eine Stammfunktion von $h$ gibt also die insgesamt abgebaute Schadstoffmenge in Gramm an.
Aufgabengruppe 2
Aufgabe 1
a) $\blacktriangleright$
Bestimmen der Werte für $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass der Graph $G_f$ der Funktion $f$, mit
$f:\;x \mapsto a \cdot x^4 + b \cdot x^3$ mit $a,b \in \mathbb{R}$
im Punkt $O(0\;\mid \; 0)$ einen
Wendepunkt mit waagrechter Tangente
besitzt. Weiterhin ist dir bekannt, dass $W(1 \mid -1)$ ein
weiterer Wendepunkt
von $G_f$ ist. Deine Aufgabe ist es die Parameterwerte für $a$ und $b$ zu bestimmen.
Willst du diese hier bestimmen, so musst du mindestens
2 Bedingungen
an $f$ formulieren. Verwende dazu die Informationen über die Wendepunkte und Stelle ein entsprechendes Gleichungssystem auf.
Beachte, dass folgende zwei Bedingungen bei einer Wendestelle $x_W$ von $f$ erfüllt sein müssen:
-
Notwendige Bedingung
: $f''(x_W) = 0$
-
Hinreichende Bedingung
: $f'''(x_W) \neq 0$
b) $\blacktriangleright$
Bestimmen der Lage und Art des Extrempunktes
Hier sollst du nun die Lage und Art des Extrempunktes des Graphen von $f$ bestimmen. Beachte dabei, dass an einer Extremstelle $x_E$ von $f$ folgende zwei Bedingungen erfüllt sein müssen:
-
Notwendige Bedingung
: $f'(x_E) = 0$
-
Hinreichende Bedingung
: $f''(x_E) \neq 0$
Anhand des Funktionswerts der zweiten Ableitung bei $x_E$ kann die Art des Extremums festgestellt werden:
- $f''(x_E) > 0\;\to\;$
Minimum
- $f''(x_E) > 0\;\to\;$
Maximum
Gehe also so beim Lösen der Aufgabe vor:
- Bestimme unter Verwendung der Ergebnisse aus a) die benötigten
Ableitungsfunktionen
- Bestimme die potentiellen Extremstellen mit Hilfe von $f'$. Achtung: Bei $x = 0$ befindet sich eine Wendestelle mit waagrechter Tangente
- Stelle die
Art
der Extremstellen mit Hilfe von $f''$ fest
- Bestimme mit $f$ die
vollständigen Koordinaten
des Extrempunktes
c) $\blacktriangleright$
Zeichnen des Graphen von $\boldsymbol{f}$ und der Geraden $\boldsymbol{g}$
Gerade $g$ schneidet $G_f$ im Wendepunkt $W$ und dem Punkt $P$ mit den Koordinaten $P(2\;\mid\;0)$. Deine Aufgabe ist es nun, beide in ein
gemeinsames Schaubild
zu übertragen.
Das weißt du bereits über die zu zeichnenden Graphen:
- Gerade $g$ verläuft durch $W(1\;\mid\;-1)$ und $P(2\;\mid\;0)$
- $G_f$ besitzt einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente in $O(0 \; \mid \; 0)$
- $G_f$ besitzt einen weiteren Wendepunkt bei $W(1 \; \mid \; -1)$
- $G_f$ besitzt einen Tiefpunkt bei $T\left(\frac{3}{2}\;\mid\; -\frac{27}{16}\right)$
$\blacktriangleright$
Angeben der Gleichung der Geraden $\boldsymbol{g}$
Des weiteren sollst du hier die Gleichung der Geraden $g$ angeben. Die Grundform einer Geradengleichung lautet dabei:
$g(x) = m \cdot x + b$
Die Steigung $m$ der Geraden kannst du dabei über diesen Zusammenhang bestimmen:
$m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ mit $A(x_A\;\mid\;y_A)$ und $B(x_B\;\mid\;y_B)$
Den $y$-Achsenabschnitt $b$ bestimmst du anschließend über eine
Punktprobe
mit $P$ oder $W$.
d) $\blacktriangleright$
Berechnen des Verhältnis der Flächeninhalte der Teilflächen
Der Aufgabenstellung kannst du nun entnehmen, dass $G_f$ und die $x$-Achse im IV-Quadranten ein Flächenstück einschließen, das durch die Gerade $g$ in
zwei
Teilflächen zerlegt wird. Deine Aufgabe ist es nun, das
Verhältnis
der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen zu berechnen.
Fertige dir dazu eine Skizze zum Sachverhalt an. Ergänze dazu das Schaubild aus c.
Im Schaubild kannst du erkennen, dass sich Flächenstück $A_1$ über das
Integral
über $f$
vom Ursprung bis zum Schnittpunkt $\boldsymbol{W}$
und das Integral über $g$ von der
Schnittstelle bis zur Nullstelle bei $\boldsymbol{P}$
ergibt. Letztere Fläche bildet ein
rechtwinkliges Dreieck
.
Fläche $A_2$ ergibt sich über ein Integral über $f$. Integriere dazu
zwischen $\boldsymbol{W}$ und $\boldsymbol{P}$
. Vergiss nicht hiervon noch die Fläche zwischen $g$ und der $x$-Achse zu subtrahieren.
Aufgabe 2
a) $\blacktriangleright$
Zuordnen der Graphen und Begründen
Hier hast du die Funktion $f_0$ mit $f_0: x \mapsto x^4 - 2$ sowie die Funktionenschar $f_n: x \mapsto x^4 - 2 \cdot x^n$ mit $n \in \mathbb{N}$ gegeben. Weiterhin sind die die Graphen in den Abbildungen 1 bis 4 gegeben.
Hier ist es deine Aufgabe diese Graphen den Funktionen $f_0$, $f_1$, $f_2$ und $f_4$ zuzuordnen, wobei du bei drei Zuordnungen diese mittels Aussagen zur
Symmetrie, den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen
oder dem
Verhalten
der Funktion an den
Grenzen des Definitionsbereichs
begründen.
Bestimme dazu zunächst die fehlenden Funktionsterme:
- $f_1(x) = x^4 - 2 \cdot x$
- $f_2(x) = x^4 - 2 \cdot x^2$
- $f_4(x) = x^4 - 2 \cdot x^4= - x^4$
b) $\blacktriangleright$
Angeben des Verhaltens für $\boldsymbol{\pm \infty}$
Betrachtet werden nun die Funktionen $f_n$ für $n > 4$. Deine Aufgabe ist es nun, dass Verhalten dieser Funktionen für $x \to \pm \infty$ in Abhängigkeit von $n$ zu bestimmen.
Hier musst du also eine
Grenzwertbetrachtung
durchführen. Beachte dabei, dass jenes $x$ mit dem
größeren Exponenten
auch ein
stärkeres Wachstum
für $x \to \pm\infty$ besitzt. Denke des weiteren daran zwischen geraden und ungeraden $n$
zu unterscheiden
.
Aufgabe 3
a) $\blacktriangleright$
Berechnen von $\boldsymbol{g(1,5)}$ und Interpretieren im Zusammenhang
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass $g$, mit
$g:\; t \mapsto - \dfrac{\pi}{8} \cdot \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$
die Atemstromstärke einer ruhenden Testperson in Abhängigkeit von $t$ in Sekunden wiedergibt. Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass der Wert der Atemstromstärke beim Einatmen
positiv
ist. Beachte dies beim Interpretieren des Vorzeichens des berechneten Funktionswertes.
b) $\blacktriangleright$
Angeben eines Zeitpunkts, zudem das Luftvolumen in der Lunge minimal ist
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass der Graph von $g$ die
momentane Änderungsrate
des Luftvolumens in der Lunge angibt.
Für eine Stammfunktion von $g$ bedeutet dies, dass diese zwangsläufig das
Luftvolumen
zu jedem Zeitpunkt $t$ in $s$ angeben muss. Weiterhin kannst du folgern, dass das Luftvolumen bei den Nullstellen von $g$ Extremstellen besitzen muss.
Führe dir also nochmal vor Augen, was für eine
Minimalstelle
gelten muss und begründe mit Hilfe der gegebenen Abbildung.
c) $\blacktriangleright$
Berechnen des Integrals und begründen im Zusammenhang
Hier sollst du nun das Integral $\displaystyle\int_{2}^{4}g(t)\;\mathrm dt$ berechnen und den Wert dieses Integrals im Sachzusammenhang deuten. Beachte dabei, dass $g$ die
momentane Änderungsrate
des Luftvolumens in der Lunge der Testperson angibt.
Für eine Stammfunktion $G$ bedeutet das, dass diese das momentane Volumen der Luft in Litern in der Lunge der Testperson angibt. Betrachte beim Interpretieren des Wertes im Zusammenhang auch die gegebene Abbildung von $G_g$.
Beachte beim Bestimmen der Stammfunktion $G$ von $g$ das folgender Zusammenhang gilt:
$\left(\cos(x)\right)' = -\sin(x)$
d) $\blacktriangleright$
Skizzieren des Graphens der Stammfunktion
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass sich zu Beginn eines Ausatemvorgangs insgesamt 3,5$\,\ell$ Luft in der Lunge der Testperson befindet. Auf dieser Grundlage sollst du nun den Verlauf des Luftvolumens für $0 \leq t \leq 8$ zeichnen.
Oben hast du bereits eine Stammfunktion $G$ von $g$ bestimmt. Diese gilt es in ein Schaubild für $0 \leq t \leq 8$ zu zeichnen. Beachte dabei, dass $G(0) = 3,5$ gelten muss und das es sich um eine
gestauchte Kosinusfunktion
mit einer
Periode von $4$
handelt.
e) $\blacktriangleright$
Angeben der Atemfrequenz der Testperson
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die Testperson für einen vollständigen Atemzyklus insgesamt 4 Sekunden benötigt. Deine Aufgabe ist es zunächst, die Atemfrequenz der Testperson anzugeben.
Der Aufgabenstellung kannst du dazu entnehmen, dass die Atemfrequenz der
Anzahl der Atemzyklen pro Minute
entspricht.
$\blacktriangleright$
Ermitteln des Wertes für $\boldsymbol{b}$
Nun soll die Atemstromstärke eines jüngeren Menschen, dessen Atemfrequenz um 20$\,\%$ höher ist, durch eine Sinusfunktion der Form
$h: t \mapsto a \cdot \sin(b \cdot t)$
beschrieben werden. Deine Aufgabe ist es dabei, denn Wert des Parameters $b$ zu bestimmen.
Bevor du damit beginnen kannst $b$ zu bestimmen, solltest du dir ins Gedächtnis rufen, was dieser Parameter definiert. $b$ bestimmt die
Periode
der Funktion und ist wie folgt definiert:
$b = \dfrac{2\pi}{\text{Periode}}$
Leite also aus der Atemfrequenz des jüngeren Menschen die Periode ab und berechne mit dieser den Parameter $b$.