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Teil B

Aufgaben
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Auf einem Abschnitt einer wenig befahrenen Landstraße ist eine Höchstgeschwindigkeit von $80\,\text{km/h}$ zugelassen. An einer Stelle dieses Abschnitts wird die Geschwindigkeit vorbeifahrender Pkw gemessen. Im Folgenden werden vereinfachend nur solche Fahrten betrachtet, bei denen die Fahrer die Geschwindigkeit unabhängig voneinander wählen konnten.
1
Für die ersten $200$ erfassten Fahrten ergab sich nach Einteilung in Geschwindigkeitsklassen die folgende Verteilung:
Bei $62\,\%$ der $200$ Fahrten war der Fahrer allein unterwegs, $65$ dieser Alleinfahrer fuhren zu schnell. Aus den $200$ Fahrten wird eine zufällig ausgewählt. Es werden folgende Ereignisse betrachtet:
„Der Fahrer war allein unterwegs.“
„Der Pkw war zu schnell.“
$\,$
a)
Weise nach, dass die Ereignisse $A$ und $S$ stochastisch abhängig sind, und gib hierfür einen möglichen Grund im Sachzusammenhang an.
(5 BE)
#stochastischeunabhängigkeit
$\,$
Die Geschwindigkeitsmessungen werden über einen längeren Zeitraum fortgesetzt. Dabei zeigt sich, dass die Verteilung der auf $\text{km/h}$ genau gemessenen Geschwindigkeiten näherungsweise durch eine Binomialverteilung mit den Parametern $n = 100$ und $p = 0,8$ beschrieben werden kann. Beispielsweise entspricht $B(100; 0,8; 77)$ näherungsweise dem Anteil der mit einer Geschwindigkeit von $77\,\text{km/h}$ erfassten Pkw.
b)
Bestätige exemplarisch für eine der beiden mittleren Geschwindigkeitsklassen der oben dargestellten Stichprobe, dass die ermittelte Anzahl der Fahrten mit der Beschreibung durch die Binomialverteilung im Einklang steht.
(4 BE)
#binomialverteilung
$\,$
c)
Bestimme unter Verwendung dieser Binomialverteilung die kleinste Geschwindigkeit $v^*,$ für die die folgende Aussage zutrifft:
„Bei mehr als $95\,\%$ der erfassten Fahrten wird $v^*$ nicht überschritten.“
(2 BE)
2
Die Polizei führt an der Messstelle eine Geschwindigkeitskontrolle durch. Bei einer Geschwindigkeit von mehr als $83\,\text{km/h}$ liegt ein Tempoverstoß vor. Vereinfachend soll davon ausgegangen werden, dass die Geschwindigkeit eines vorbeifahrenden Pkw mit einer Wahrscheinlichkeit von $19\,\%$ größer als $83\,\text{km/h}$ ist.
$\,$
a)
Berechne die Anzahl der Geschwindigkeitsmessungen, die mindestens durchgeführt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $99\,\%$ mindestens ein Tempoverstoß erfasst wird.
(4 BE)
$\,$
b)
Liegt in einer Stichprobe von $50$ Geschwindigkeitsmessungen die Zahl der Tempoverstöße um mehr als eine Standardabweichung unter dem Erwartungswert, geht die Polizei davon aus, dass wirksam vor der Geschwindigkeitskontrolle gewarnt wurde, und bricht die Kontrolle ab. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Geschwindigkeitskontrolle fortgeführt wird, obwohl die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Tempoverstoß begangen wird, auf $10\,\%$ gesunken ist.
(5 BE)

(20 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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1
a)
$\blacktriangleright$  Stochastische Abhängigkeit nachweisen
Die beiden Ereignisse $A$ und $S$ wären nur dann stochastisch unabhängig, wenn gilt:
$P(A\cap S) = P(A)\cdot P(S)$
Aus der Aufgabenstellung und der Abbildung lassen sich folgende Anteile ablesen:
$\begin{array}[t]{rll} P(A\cap S)&=& \dfrac{65}{200} \\[5pt] &=& 0,325 \\[10pt] P(A)&=& 0,62 \\[10pt] P(S)&=& \dfrac{76+18}{200} \\[5pt] &=& 0,47 \\[5pt] \end{array}$
Daher gilt:
$\begin{array}[t]{rll} P(A)\cdot P(S) &=& 0,62\cdot 0,47 \\[5pt] &=& 0,2914 \neq P(A\cap S)\\[5pt] \end{array}$
$ P(A)\cdot P(S)=… $
Da $P(A)\cdot P(S)\neq P(A\cap S)$ ist, sind die beiden Ereignisse $A$ und $S$ stochastisch abhängig.
Ein möglicher Grund ist im Sachzusammenhang ein steigendes Verantwortungsbewusstsein des Fahrers, sobald noch andere Personen im Fahrzeug sitzen. Ein anderer Grund kann sein, dass sich Fahrer von ihren Mitfahrern unter Zeitdruck setzen oder ablenken lassen.
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Binomialverteilung bestätigen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $V,$ die die gemessene Geschwindigkeit eines zufällig ausgewählten Pkws auf $\text{km/h}$ gerundet beschreibt.
Wird diese wie in der Aufgabe angegeben als binomialverteilt mit $n=100$ und $p=0,8$ angenommen, ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeit mithilfe einer geeigneten Tabelle zur summierten Binomialverteilung:
$\begin{array}[t]{rll} P(75< V \leq 80)&=&P(V\leq 80) -P(V\leq 75) \\[5pt] &\approx& 1-0,4602-(1-0,8686) \\[5pt] &=& 0,4084 \end{array}$
$ P(75< V \leq 80) \approx 0,4084$
Der Abbildung lässt sich entnehmen, dass $80$ der $200$ gemessenen Fahrten in der Geschwindigkeitsklasse $75< v\leq 80$ lagen, dies entspricht einem Anteil von $40\,\%$ und damit bis auf eine geringe Abweichung im Dezimalbereich der oben bestimmten Wahrscheinlichkeit. Die Stichprobe steht also in Bezug auf diese Geschwindigkeitsklasse im Einklang mit der Beschreibung durch die Binomialverteilung.
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Kleinste Geschwindigkeit bestimmen
Gesucht ist das kleinste $v^*,$ sodass folgende Ungleichung gerade noch erfüllt ist:
$P(V\leq v^*) > 0,95$
In der Tabelle zur summierten Binomialverteilung für $n=100$ lassen sich folgende Werte finden:
$\begin{array}[t]{rll} P(V\leq 86)&\approx& 1- 0,0469\\[5pt] &=& 0,9531 \\[5pt] P(V\leq 85)&\approx& 1- 0,0804\\[5pt] &=& 0,9196 \\[5pt] \end{array}$
Bei mehr als $95\,\%$ der erfassten Fahrten wird die Geschwindigkeit $86\,\text{km/h}$ nicht überschritten.
2
a)
$\blacktriangleright$  Benötigte Anzahl der Messungen bestimmen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X_n,$ die die zufällige Anzahl der Tempoverstöße in der Geschwindigkeitskontrolle beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p=0,19$ angenommen werden. Gesucht ist nun das kleinste $n,$ sodass folgende Ungleichung noch erfüllt ist:
$P(X_n \geq 1) > 0,99$
Mithilfe des Gegenereignisses und der Formel zur Binomialverteilung folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(X_n \geq 1)&>& 0,99 \\[5pt] 1- P(X_n=0)&>& 0,99 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] - P(X_n=0)&>& -0,01 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \\[5pt] P(X_n=0)&<& 0,01 \\[5pt] \binom{n}{0}\cdot 0,19^0 \cdot (1-0,19)^n &<& 0,01 \\[5pt] 0,81^n&<& 0,01 &\quad \scriptsize \mid\; \ln \\[5pt] n\cdot \ln (0,81)&<& \ln(0,01) &\quad \scriptsize \mid\; :\ln(0,81 < 0) \\[5pt] n&>& 21,85 \end{array}$
$ n> 21,85 $
Es müssen mindestens $22$ Messungen durchgeführt werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $99\,\%$ mindestens einen Tempoverstoß zu erfassen.
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Betrachtet wird nun die Zufallsgröße $X_{50},$ aus a) mit $n=50.$ Dann folgt für den Erwartungswert und die Standardabweichung mithilfe der entsprechenden Formeln zur Binomialverteilung:
$\begin{array}[t]{rll} \mu &=& n\cdot p \\[5pt] &=& 50 \cdot 0,19 \\[5pt] &=& 9,5 \\[10pt] \sigma&=&\sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)} \\[5pt] &=& \sqrt{9,5\cdot 0,81} \\[5pt] &\approx& 2,77 \\[5pt] \end{array}$
Betrachtet wird nun die Zufallsgröße $Y,$ die die Anzahl der Tempoverstöße unter den $50$ Messungen beschreibt, wenn davon ausgegangen wird, dass die Wahrscheinlichkeit auf $p = 0,1$ gesunken ist. $Y$ wird ebenfalls als binomialverteilt angenommen, mit $n=50$ und $p= 0,1.$
Dann ist folgende Wahrscheinlichkeit gesucht, die mit der Tabelle zur summierten Binomialverteilung bestimmt werden kann:
$\begin{array}[t]{rll} P(Y \geq \mu -\sigma)&=& P(Y \geq 6,73) \\[5pt] &=& P(Y \geq 7) \\[5pt] &=& 1-P(Y\leq 6) \\[5pt] &\approx& 1- 0,7702 \\[5pt] &=& 0,2298 \\[5pt] &=& 22,98\,\% \end{array}$
$ … \approx 22,98\,\% $
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Kontrolle fortgeführt wird, obwohl die Wahrscheinlichkeit für einen Tempoverstoß auf $10\,\%$ gesunken ist, beträgt ca. $22,98\,\%.$
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