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Teil A

Aufgaben
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1
Gib für die Funktionen $f_1$ und $f_2$ jeweils die maximale Definitionsmenge und die Nullstelle an.
$f_2:\quad x \mapsto \ln\left(x+2 \right)$
(4 BE)
#nullstelle#definitionsbereich
2
Gib den Term einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion an, deren Graph im Punkt $(2\mid 1)$ eine waagerechte Tangente, aber keinen Extrempunkt hat.
(3 BE)
#tangente#extrempunkt
3
Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)= -x^3+9x^2-15x-25.$
Weise nach, dass $f$ folgende Eigenschaften besitzt:
Der Graph von $f$ besitzt an der Stelle $x=0$ die Steigung $-15.$
Der Graph von $f$ besitzt im Punkt $A\left(5\mid f(5)\right)$ die $x$-Achse als Tangente.
Die Tangente $t$ an den Graphen der Funktion $f$ im Punkt $B\left(-1\mid f(-1) \right)$ kann durch die Gleichung $y=-36x-36$ beschrieben werden.
(5 BE)
#zentraleraufgabenpool#steigung#tangente
4
(3 BE)
#ableitung
5
Für jeden Wert von $a$ mit $a\in \mathbb{R}^+$ ist eine Funktion $f_a$ durch $f_a(x)=\frac{1}{a}\cdot x^3 -x$ mit $x\in \mathbb{R}$ gegeben.
a)
Eine der beiden Abbildungen stellt einen Graphen von $f_a$ dar. Gib an, für welche Abbildung dies zutrifft. Begründe deine Antwort.
(2 BE)
b)
Für jeden Wert von $a$ besitzt der Graph von $f_a$ genau zwei Extrempunkte. Ermittle denjenigen Wert von $a,$ für den der Graph der Funktion $f_a$ an der Stelle $x=3$ einen Extrempunkt hat.
(3 BE)

(20 BE)
#extrempunkt#funktionenschar
Bildnachweise [nach oben]
[1]-[3]
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#hilfsmittelfreieaufgaben
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Lösungen
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1
$\blacktriangleright$  Definitionsmengen angebenTeil A
Bei $f_1$ handelt es sich um eine gebrochenrationale Funktion, deren Definitionsbereich lediglich durch die Nullstellen des Nenners eingeschränkt wird:
$\begin{array}[t]{rll} x^2-4&=& 0 \\[5pt] x^2&=& 4\\[5pt] x&=& \pm 2\\[5pt] \end{array}$
Für den maximalen Definitionsbereich von $f_1$ folgt: $\mathbb{D}_{f_1} = \mathbb{R}\setminus \{-2;2\}.$
Für $f_2$ muss beachtet werden, dass das Argument des Logarithmus positiv sein muss:
$\begin{array}[t]{rll} x+2&>& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] x&>& -2 \end{array}$
Für den maximalen Definitionsbereich von $f_2$ folgt: $\mathbb{D}_{f_2} = \{x\in\mathbb{R}\mid x> -2\}.$
$\blacktriangleright$  Nullstellen bestimmen
Die Nullstellen von $f_1$ sind die Nullstellen des Zählerterms:
$\begin{array}[t]{rll} 2x+3&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-3 \\[5pt] 2x&=& -3 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] x&=& -1,5 \\[5pt] \end{array}$
Die Nullstelle von $f_1$ ist $x_1=-1,5.$
Die Logarithmusfunktion $\ln(t)$ besitzt die Nullstelle $t=1.$ Überprüfe also, wann das Argument $1$ ist:
$\begin{array}[t]{rll} x+2&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] x&=& -1 \end{array}$
Die Nullstelle von $f_2$ ist $x_2 = -1.$
#gebrochenrationalefunktion
2
$\blacktriangleright$  Funktionsterm angeben
Ein Punkt mit waagerechter Tangente, der kein Extrempunkt ist, ist ein Sattelpunkt. Eine Funktion, die einen Sattelpunkt besitzt ist beispielsweise $f(x)=x^3.$ Der Sattelpunkt hat die Koordinaten $S(0\mid 0).$ Der Graph der Funktion muss nun so verschoben werden, dass der Sattelpunkt in $(2\mid 1)$ liegt, also zwei Einheiten in positive $x$-Richtung und $1$ Einheit in positive $y$-Richtung:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& f(x-2) +1 \\[5pt] &=& (x-2)^3 +1 \end{array}$
Diese Funktion ist auf ganz $\mathbb{R}$ definiert.
Eine in $\mathbb{R}$ definierte Funktion, deren Graph im Punkt $(2\mid 1)$ eine waagerechte Tangente, aber keinen Extrempunkt besitzt, ist beispielsweise $g(x)= (x-2)^3 +1.$
3
$\blacktriangleright$  Eigenschaften nachweisen
(1)
Steigung
Die Steigung des Graphen von $f$ wird durch $f'$ beschrieben.
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& -3x^2+18x-15\\[10pt] f'(0)&=& -3\cdot 0^2+18\cdot 0-15\\[5pt] &=& -15 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& -3x^2+18x-15\\[10pt] f'(0)&=& -15 \end{array}$
Der Graph von $f$ besitzt also an der Stelle $x=0$ die Steigung $-15.$
(2)
Tangente
Die $x$-Achse ist im Punkt $A(5\mid f(5))$ eine Tangente an den Graphen von $f,$ wenn dort sowohl der Funktionswert, als auch die Steigung übereinstimmen.
$\begin{array}[t]{rll} f(5)&=& -5^3+9\cdot 5^2 -15\cdot 5 -25 \\[5pt] &=& 0 \\[10pt] f'(5)&=& -3\cdot 5^2 +18\cdot 5 -15 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(5)&=& 0 \\[10pt] f'(5)&=& 0 \end{array}$
Die $x$-Achse mit der Gleichung $y= 0$ ist also eine Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $A.$
(3)
Tangente
Die Gerade zu $y= -36x-36$ besitzt die Steigung $-36.$ Für die Steigung des Graphen von $f$ im Punkt $B$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f'(-1)&=& -3\cdot(-1)^2+18\cdot (-1)-15 \\[5pt] &=& -36 \end{array}$
$ f'(-1) = -36 $
Die Steigung der Geraden stimmt also mit der Steigung des Graphen von $f$ im Punkt $B$ überein. Für die Funktionswerte folgt:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -36\cdot (-1) -36 \\[5pt] &=& 0 \\[10pt] f(-1)&=&-(-1)^3 +9\cdot (-1)^2 -15\cdot (-1) -25 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 0 \\[10pt] f(-1)&=&0 \end{array}$
Sowohl Steigung, als auch Funktionswert der Gerade zu $y= -36x-36$ stimmen mit den Werten für $f$ überein. Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $B$ kann also durch $y= -36x-36$ beschrieben werden.
4
$\blacktriangleright$  Ableitungswert bestimmen
Teil A
Abb. 1: Steigungsdreieck
Teil A
Abb. 1: Steigungsdreieck
$\blacktriangleright$  Graphen skizzieren
Die Nullstellen von $f'$ befinden sich an den Extremstellen von $f.$
Teil A
Abb. 2: Graph von $f'$
Teil A
Abb. 2: Graph von $f'$
5
a)
$\blacktriangleright$  Graphen zuordnen
Für $f_a$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to +\infty}f_a(x)&=& \lim\limits_{x\to +\infty}\left(\frac{1}{a}\cdot x^3-x \right) \\[5pt] &=& +\infty \end{array}$
$ \lim\limits_{x\to +\infty}f_a(x) = +\infty $
Der einzige passende Graph ist der in Abbildung 3.
b)
$\blacktriangleright$  Parameterwert ermitteln
Damit der Graph von $f_a$ an der Stelle $x=3$ einen Extrempunkt besitzt, muss $f_a'(3)=0$ gelten.
$\begin{array}[t]{rll} f_a'(x)&=& \frac{3}{a}\cdot x^2 -1 \\[10pt] 0&=& f_a'(3) \\[5pt] 0&=& \frac{3}{a}\cdot 3^2 -1 \\[5pt] 0&=& \frac{27}{a}-1 &\quad \scriptsize \mid\;+1 \\[5pt] 1&=& \frac{27}{a}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot a \\[5pt] a&=& 27 \end{array}$
$ a = 27 $
Für $a=27$ besitzt der Graph von $f_a$ an der Stelle $x=3$ einen Extrempunkt.
#grenzwert
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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