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Teil A

Aufgaben
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1
Gegeben ist die Funktion $f:\, x\mapsto \frac{\mathrm e^{2x}}{x}$ mit Definitionsbereich $\text{D}_f = \mathbb{R}\setminus \{0\}.$
Bestimme Lage und Art des Extrempunkts des Graphen von $f.$
(5 BE)
#extrempunkt
2
a)
Zeige, dass einer der Punkte, in denen $g$ den Graphen von $f$ schneidet, die $x$-Koordinate $\frac{1}{2}$ hat.
(1 BE)
b)
Bestimme rechnerisch den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f,$ die $x$-Achse und die Gerade $g$ einschließen.
(4 BE)
#zentraleraufgabenpool#symmetrie
3
Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion $f.$
a)
Einer der folgenden Graphen $\text{I},$ $\text{II}$ oder $\text{III}$ gehört zur ersten Ableitungsfunktion von $f.$ Gib diesen Graphen an. Begründe, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.
Teil A
Abb. 3: Graph $\text{I}$
Teil A
Abb. 3: Graph $\text{I}$
Teil A
Abb. 4: Graph $\text{II}$
Teil A
Abb. 4: Graph $\text{II}$
Teil A
Abb. 5: Graph $\text{III}$
Teil A
Abb. 5: Graph $\text{III}$
(3 BE)
b)
Die Funktion $F$ ist eine Stammfunktion von $f.$ Gib das Monotonieverhalten von $F$ im Intervall $[1;3]$ an. Begründe deine Angabe.
(2 BE)
#stammfunktion#zentraleraufgabenpool#ableitung
4
a)
Betrachtet wird eine Schar von Funktionen $h_k$ mit $k\in \mathbb{R}^+,$ die sich nur in ihren jeweiligen Definitionsbereichen $\text{D}_k$ unterscheiden.
Es gilt $h_k:\, x\mapsto \cos x$ mit $\text{D}_k = [0; k].$
Abbildung 6 zeigt den Graphen der Funktion $h_7.$ Gib den größtmöglichen Wert von $k$ an, sodass die zugehörige Funktion $h_k$ umkehrbar ist. Zeichne für diesen Wert von $k$ den Graphen der Umkehrfunktion von $h_k$ in Abbildung 6 ein und berücksichtige dabei insbesondere den Schnittpunkt der Graphen von Funktion und Umkehrfunktion.
(3 BE)
b)
Gib den Term einer in $\mathbb{R}$ definierten und umkehrbaren Funktion $j$ an, die folgende Bedingung erfüllt: Der Graph von $j$ und der Graph der Umkehrfunktion von $j$ haben keinen gemeinsamen Punkt.
(2 BE)

(20 BE)
#umkehrfunktion
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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1
$\blacktriangleright$  Lage und Art des Extrempunkts bestimmenTeil A
1. Schritt: Ableitungen bilden
Bestimme die ersten beiden Ableitungen mithilfe der Produktregel und der Kettenregel:
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& \dfrac{\mathrm e^{2x}}{x} \\[5pt] &=& \mathrm e^{2x}\cdot x^{-1} \\[10pt] f'(x) &=& \mathrm e^{2x}\cdot \left(-x^{-2}\right) +2\cdot\mathrm e^{2x} \cdot x^{-1} \\[5pt] &=& \mathrm e^{2x}\cdot \left(-x^{-2} +2\cdot x^{-1} \right) \\[10pt] f''(x) &=& \mathrm e^{2x}\cdot \left(2x^{-3} -2\cdot x^{-2} \right) + 2\cdot \mathrm e^{2x}\cdot \left(-x^{-2} +2\cdot x^{-1} \right)\\[5pt] &=& \mathrm e^{2x}\cdot \left( 2x^{-3}-4x^{-2} +4x^{-1} \right) \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& \dfrac{\mathrm e^{2x}}{x} \\[5pt] &=& \mathrm e^{2x}\cdot x^{-1} \\[10pt] f'(x) &=& … \\[10pt] f''(x) &=& … \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden
$\begin{array}[t]{rll} f'(x) &=& 0 \\[5pt] \mathrm e^{2x}\cdot \left(-x^{-2} +2\cdot x^{-1} \right) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; : \mathrm e^{2x} \neq 0 \\[5pt] -x^{-2} +2\cdot x^{-1} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot x^2 \neq 0 \\[5pt] -1+2x &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt] 2x &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] x &=& 0,5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f'(x) &=& 0 \\[5pt] … \\[5pt] x &=& 0,5 \end{array}$
Die einzige mögliche Extremstelle von $f$ ist $x_E= 0,5.$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f''(0,5)&=& \mathrm e^{2\cdot 0,5}\cdot \left( 2\cdot 0,5^{-3}-4\cdot 0,5^{-2} +4\cdot 0,5^{-1} \right) \\[5pt] &=& \mathrm e^{1}\cdot \left( 2\cdot \frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^{3}}-4\cdot \frac{1}{\left( \frac{1}{2}\right)^{2}} +4\cdot 2 \right) \\[5pt] &=& \mathrm e^{1}\cdot \left( 2\cdot 2^3 -4\cdot 2^2 + 8 \right) \\[5pt] &=& 8\mathrm e^{1} > 0 \\[5pt] \end{array}$
$ f''(0,5) = 8\mathrm e^{1} > 0 $
An der Stelle $x_E= 0,5$ besitzt der Graph von $f$ also einen Tiefpunkt.
4. Schritt: Zweite Koordinate berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f(0,5) &=& \dfrac{\mathrm e^{2\cdot 0,5}}{0,5} \\[5pt] &=& 2\cdot \mathrm e \end{array}$
$ f(0,5) = 2\cdot \mathrm e $
Bei dem einzigen Extrempunkt des Graphen von $f$ handelt es sich um einen Tiefpunkt mit den Koordinaten $T(0,5\mid 2\mathrm e).$
2
a)
$\blacktriangleright$  Schnittstelle zeigen
Damit sich der Graph von $f$ und $g$ an der Stelle $x$ schneiden, muss $f(x) = -3$ gelten:
$\begin{array}[t]{rll} -3 &=& f(x) \\[5pt] -3 &=& 1-\frac{1}{x^2} &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] -4 &=& -\frac{1}{x^2} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \left(-x^2\right) \\[5pt] 4x^2&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] x^2 &=& \frac{1}{4} \\[5pt] x_1 &=& -\frac{1}{2} \\[5pt] x_2 &=& \frac{1}{2} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& -\frac{1}{2} \\[5pt] x_2 &=& \frac{1}{2} \end{array}$
Der Graph von $f$ und die Gerade $g$ schneiden sich also in zwei Punkten, einer von ihnen besitzt die $x$-Koordinate $\frac{1}{2}.$
b)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt rechnerisch bestimmen
Anhand der Skizze in Abbildung 1 kannst du die betrachtete Fläche in drei Teilstücke aufteilen. Wegen der Symmetrie des Graphen von $f$ zur $y$-Achse sind die beiden grünen Flächen gleichgroß.
Teil A
Abb. 1: Skizze
Teil A
Abb. 1: Skizze
Sowohl die Nullstellen von $f$ als auch die Schnittstellen von $f$ und $g$ sind dir bekannt. Du kannst also den Inhalt $A_1$ der rechten grünen Fläche mit einem Integral über $f$ in den Grenzen $a=0,5$ und $b=1$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A_1 &=& \left|\displaystyle\int_{0,5}^{1}f(x)\;\mathrm dx \right| \\[5pt] &=& \left|\displaystyle\int_{0,5}^{1}\left(1-\frac{1}{x^2} \right)\;\mathrm dx \right| \\[5pt] &=& \left| \left[x+\frac{1}{x} \right]_{0,5}^1 \right| \\[5pt] &=& 1+\frac{1}{1} - \left(0,5+\frac{1}{0,5} \right)\\[5pt] &=& 0,5 \end{array}$
$ A_1 = 0,5 $
Bei der schraffierten Fläche handelt es sich um ein Rechteck mit den Seitenlängen $1$ und $3.$ Der zugehörige Flächeninhalt ist also:
$\begin{array}[t]{rll} A_2 &=& 1\cdot 3 \\[5pt] &=& 3 \end{array}$
Der gesamte Flächeninhalt ergibt sich zu:
$A = 2\cdot A_1 +A_2 = 2\cdot 0,5 + 3 = 4$
Die Fläche, die der Graph von $f,$ die Gerade $g$ und die $x$-Achse einschließen, besitzt einen Flächeninhalt von $4$ Flächeneinheiten.
3
a)
$\blacktriangleright$  Graphen zuordnen
Die erste Ableitungsfunktion beschreibt die Steigung des Graphen der Ausgangsfunktion $f.$
Gehe also nacheinander die Graphen $\text{I}$ bis $\text{III}$ durch und überprüfe, ob markante Funktionswerte zu der Steigung des Graphen von $f$ passen.
  • Graph $\text{I}$ schneidet die $x$-Achse an den Stellen $x_1 = -2$ und $x_2 = 2.$ Der Graph von $f$ muss an diesen Stellen also die Steigung $0$ haben. Dies trifft zu, da der Graph von $f$ an diesen Stellen offensichtlich Extrempunkte besitzt.
    Weiterhin kannst du ablesen, dass Graph $\text{I}$ die $y$-Achse ca. im Punkt $(0\mid -0,8)$ schneidet. An der Stelle $x=0$ muss der Graph von $f$ also die Steigung $-0,8$ besitzen. Zeichnest du eine Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x=0$ in Abbildung 2 ein, so kannst du abschätzen, dass diese in etwa die Steigung $-0,8$ besitzt.
    Du kannst also davon ausgehen, dass diese beiden Bedingungen dafür sprechen, dass Graph $\text{I}$ zur Ableitungsfunktion von $f$ gehört.
  • Graph $\text{II}$ schneidet die $x$-Achse an den Stellen $x_1 \approx -3,5$ und $x_2\approx 3,5.$ An diesen Stellen müsste der Graph von $f$ also die Steigung $0$ haben. Dies ist aber nicht der Fall. Graph $\text{II}$ kann also nicht zur Ableitungsfunktion $f'$ von $f$ gehören.
  • Graph $\text{III}$ besitzt zwar die gleichen Schnittpunkte mit der $x$-Achse wie Graph $\text{I}$ und passt in diesem Kriterium daher zur gesuchten Ableitungsfunktion, schneidet die $y$-Achse aber im Punkt $(0\mid -2).$ Der Graph von $f$ müsste daher an der Stelle $x=0$ die Steigung $-2$ besitzen. Oben haben wir aber bereits abgelesen, dass die Steigung an dieser Stelle ca. $-0,8$ beträgt. Graph $\text{III}$ kann daher nicht zur gesuchten Ableitungsfunktion von $f$ gehören.
Graph $\text{I}$ gehört zur ersten Ableitungsfunktion von $f.$
b)
$\blacktriangleright$  Monotonieverhalten angeben
Im Intervall $[1;3]$ liegt der Graph von $f$ unterhalb der $x$-Achse. $f$ besitzt daher negative Funktionswerte auf dem gesamten Intervall. Da $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, ist $f$ die erste Ableitungsfunktion von $F$ und beschreibt demnach die Steigung des Graphen von $F.$
Da die Funktionswerte von $f$ auf dem Intervall $[1;3]$ negativ sind, ist die Steigung des Graphen von $F$ auf diesem Intervlal negativ. Die Funktion $F$ fällt also streng monoton auf dem Intervall $[1;3].$
4
a)
$\blacktriangleright$  Größtmöglichen Wert angeben
Damit eine Funktion umkehrbar ist, darf sie jeden Funktionswert nur einmal annehmen. Da nur der Definitionsbereich von $k$ abhängt, musst du den Definitionsbereich $\text{D}_k = [0;k]$ also so wählen, dass jeder Funktionswert nur einmal angenommen wird.
Dazu kannst du Abbildung 6 und dein eigenes Wissen über den Cosinus verwenden. Der Graph der Cosinusfunktion nimmt an der Stelle $x= \pi$ ihren Tiefpunkt an. Danach steigt der Graph wieder und nimmt somit einen Funktionswert an, den er vorher bereits hatte.
$k$ darf also nicht größer als $k=\pi$ sein. $k=\pi$ ist damit der größtmögliche Wert von $k,$ für den die Funktion $h_k$ noch umkehrbar ist.
$\blacktriangleright$  Graphen der Umkehrfunktion zeichnen
Der Graph einer Umkehrfunktion geht aus dem Graphen der Ausgangsfunktion durch Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden mit der Gleichung $y=x$ hervor. Diese kannst du zur Orientierung einzeichnen.
Teil A
Abb. 2: Graph der Umkehrfunktion von $h_{\pi}$
Teil A
Abb. 2: Graph der Umkehrfunktion von $h_{\pi}$
b)
$\blacktriangleright$  Funktionsterm angeben
Ein mögliches Beispiel ist die $\mathrm e$-Funktion. Diese ist auf $\mathbb{R}$ definiert und umkehrbar. Die zugehörige Umkehrfunktion ist die natürliche Logarithmusfunktion. Die beiden Graphen schneiden sich nicht.
$j(x)=\mathrm e^x$ ist ein mögliches Beispiel.
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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