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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Abitur (WTR)
Abi 2019
Analysis
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Stochastik
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
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Aufgabengruppe I
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Abi 2013
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LV-Abi 2
Analysis Prüfungsteil...
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LV-Abi 3
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Stochastik Prüfungste...
Stochastik Prüfungste...

Teil A

Aufgaben
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1
Gegeben ist ein Rechteck $ABCD$ mit den Eckpunkten $A(5\mid -4\mid -3),$ $B(5\mid 4\mid 3),$ $C(0\mid 4\mid 3)$ und $D.$
a)
Ermittle die Koordinaten von $D$ und gib die Koordinaten des Mittelpunkts $M$ der Strecke $[AC]$ an.
(3 BE)
b)
Begründe, dass die Dreiecke $BCM$ und $ABM$ den gleichen Flächeninhalt besitzen, ohne diesen zu berechnen.
(2 BE)
#vektoren#rechteck
2
a)
Die Ebene $E:\, 3x_1 +2x_2 +2x_3 = 6$ enthält einen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Bestimme diese Koordinaten.
(2 BE)
b)
Begründe, dass die folgende Aussage richtig ist:
Es gibt unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.
(3 BE)

(10 BE)
#ebenengleichung
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Lösungen
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1
a)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des vierten Eckpunkts angebenTeil A
Teil A
Abb. 1: Skizze
Teil A
Abb. 1: Skizze
Damit erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OD} &=& \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AD}\\[5pt] &=& \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{BC} \\[5pt] &=& \pmatrix{5\\-4\\-3} + \pmatrix{-5\\0\\0}\\[5pt] &=& \pmatrix{0\\-4\\-3} \\[5pt] \end{array}$
Die Koordinaten des vierten Eckpunkts lauten $D(0\mid -4\mid -3).$
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Mittelpunkts angeben
Mit der zugehörigen Formel erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}_{AC} &=& \frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC} \right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(\pmatrix{5\\-4\\-3}+\pmatrix{0\\4\\3} \right) \\[5pt] &=& \pmatrix{2,5\\0\\0} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{OM}_{AC} = \pmatrix{2,5\\0\\0} $
Der Mittelpunkt der Strecke $[AC]$ hat die Koordinaten $M_{AC}(2,5\mid 0\mid 0).$
b)
$\blacktriangleright$  Gleichen Flächeninhalt begründen
Teil A
Abb. 2: Skizze der Dreiecke
Teil A
Abb. 2: Skizze der Dreiecke
$\begin{array}[t]{rll} A_{ABM}&=& \frac{1}{2} \cdot \overline{AB} \cdot h_{ABM} \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot \overline{AB} \cdot \frac{1}{2}\cdot \overline{BC} \\[5pt] &=& \frac{1}{4} \cdot \overline{AB}\cdot \overline{BC} \\[10pt] A_{BCM}&=& \frac{1}{2} \cdot \overline{BC} \cdot h_{BCM} \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot \overline{BC} \cdot \frac{1}{2}\cdot \overline{AB} \\[5pt] &=& \frac{1}{4} \cdot \overline{AB}\cdot \overline{BC} \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_{ABM}&=& \frac{1}{4} \cdot \overline{AB}\cdot \overline{BC} \\[10pt] A_{BCM}&=& \frac{1}{4} \cdot \overline{AB}\cdot \overline{BC} \\[10pt] \end{array}$
Es ist also $A_{BCM} = A_{ABM}.$
#dreieck
2
a)
$\blacktriangleright$  Koordinaten bestimmen
Der gesuchte Punkt besitzt Koordinaten der Form $(t\mid t\mid t).$ Setzt du dies in die Ebenengleichung ein, so erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} 3x_1 +2x_2 +2x_3 &=& 6 \\[5pt] 3t+2t+2t &=& 6 \\[5pt] 7t &=& 6 &\quad \scriptsize \mid\; :7 \\[5pt] t &=& \frac{6}{7} \end{array}$
$ t = \frac{6}{7} $
Die Koordinaten des gesuchten Punkts der Ebene $E$ mit drei übereinstimmenden Koordinaten lauten $\left(\frac{6}{7}\mid \frac{6}{7}\mid \frac{6}{7}\right).$
b)
$\blacktriangleright$  Aussage begründen
Alle Punkte, deren drei Koordinaten übereinstimmen, liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $\overrightarrow{x} = t\cdot \pmatrix{1\\1\\1}.$
Alle Ebenen, die zu dieser Geraden parallel verlaufen, diese aber nicht enthalten, haben keine gemeinsamen Punkte mit ihr und daher keinen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Zu jeder Geraden gibt es unendlich viele Ebenen, die zu dieser parallel verlaufen und diese nicht enthalten. Auch zu $g$ gibt es daher unendlich viele parallele Ebenen, die $g$ nicht enthalten, die also keinen Punkt mit drei identischen Koordinaten besitzen.
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
© – SchulLV.
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