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Lernbereich Abitur (WTR)
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Abi 2018
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Teil A

Aufgaben
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1
Die beiden Baumdiagramme gehören zum selben Zufallsexperiment mit den Ereignissen $\text{A}$ und $\text{B}$.
Berechne die Wahrscheinlichkeit $\text{P(B)}$ und ergänze anschließend an allen Ästen des rechten Baumdiagramms die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.
(Teilergebnis: $P(B) =0,5)$
(Teilergebnis: $P(B) =0,5)$
(5 BE)
#baumdiagramm
2
Bei einem Zufallsexperiment wird eine ideale Münze so lange geworfen, bis zum zweiten Mal Zahl $\text{(Z)}$ oder zum zweiten Mal Wappen $\text{(W)}$ oben liegt. Als Ergebnismenge wird festgelegt: $\text{{ZZ; WW; ZWZ; ZWW; WZZ; WZW}}$.
a)
Begründe, dass dieses Zufallsexperiment kein Laplace-Experiment ist.
(2 BE)
b)
Die Zufallsgröße $\text{X}$ ordnet jedem Ergebnis die Anzahl der entsprechenden Münzwürfe zu. Berechne den Erwartungswert von $\text{X}$.
(3 BE)

(10 BE)
#zentraleraufgabenpool#laplaceexperiment#erwartungswert
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2017 – SchulLV.
[2]
© 2017 – SchulLV.
#hilfsmittelfreieaufgaben
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Tipps
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1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Um $P(B)$ zu berechnen, betrachtest du mit den Pfadregeln alle Äste bei denen $B$ eintritt.
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm beschriften
Um das Baumdiagramm komplett auszufüllen, benötigst du die vier Wahrscheinlichkeiten $P_B(A)$, $P_B(\overline{A})$, $P_{\overline{B}}(A)$ und $P_{\overline{B}}(\overline{A})$. Diese kannst du mit dem Satz von Bayes bestimmen und die zur Berechnung benötigten Wahrscheinlichkeiten dem linken Baumdiagramm entnehmen. Der oberste Ast entspricht z.B. der Wahrscheinlichkeit $P_A(B)$, dass also $B$ unter der Vorrausetzung $A$ eintritt.
$P_B(A)=\dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
$P_B(A)=\dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
2
a)
$\blacktriangleright$  Begründen, dass das Zufallsexperiment kein Laplace-Experiment ist
Du sollst begründen, dass das Zufallsexperiment mit der Ergebnismenge $\Omega$ kein Laplace-Experiment ist. Charakteristisch für ein Laplace-Experiment ist, dass die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis direkt aus der Anzahl der günstigen Ereignisse folgt.
b)
$\blacktriangleright$  Erwartungswert berechnen
Du sollst den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ angeben. $X$ gibt die Anzahl der Würfe zum jeweiligen Ereignis an. Den Erwartungswert berechnest du mit der Multiplikation des Ergebnisses mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit. Es gibt zwei mögliche Werte von $X,$ deren Wahrscheinlichkeiten mit den Pfadregeln bestimmt werden können.
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1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Um $P(B)$ zu berechnen, betrachtest du mit der 2. Pfadregel alle Äste bei denen $B$ eintritt. So erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& \frac{4}{10}\cdot\frac{3}{4}+\frac{6}{10}\cdot\frac{1}{3} \\[5pt] &=& \frac{3}{10}+\frac{2}{10} \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit für $B$ beträgt also $50\%$.
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm beschriften
Um das Baumdiagramm komplett auszufüllen, benötigst du die vier Wahrscheinlichkeiten $P_B(A)$, $P_B(\overline{A})$, $P_{\overline{B}}(A)$ und $P_{\overline{B}}(\overline{A})$. Diese kannst du mit dem Satz von Bayes bestimmen und die zur Berechnung benötigten Wahrscheinlichkeiten dem linken Baumdiagramm entnehmen. Der oberste Ast entspricht z.B. der Wahrscheinlichkeit $P_A(B)$, dass also $B$ unter der Vorrausetzung $A$ eintritt.
$P_B(A)=\dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
$P_B(A)=\dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
$\begin{array}[t]{rll} P_{\overline{B}}(A )&=& \dfrac{P_A(\overline{B})\cdot P(A)}{P(\overline{B})} \\[5pt] &=& \dfrac{\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{5}}{\frac{1}{2}} \\[5pt] &=& \frac{1}{5} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P_{\overline{B}}(\overline{A})&=& 1-P_{ \overline{B}}(A) \\[5pt] &=& 1-\frac{1}{5} \\[5pt] &=& \frac{4}{5} \end{array}$
Diese Wahrscheinlichkeiten kannst du nun in das Baumdiagramm eintragen.
Abb. 1: Baumdiagramm zur Aufgabe 1
Abb. 1: Baumdiagramm zur Aufgabe 1
#pfadregeln#satzvonbayes
2
a)
$\blacktriangleright$  Begründen, dass das Zufallsexperiment kein Laplace-Experiment ist
Du sollst begründen, dass das Zufallsexperiment mit der Ergebnismenge $\Omega$ kein Laplace-Experiment ist. Charakteristisch für ein Laplace-Experiment ist, dass die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis direkt aus der Anzahl der günstigen Ereignisse folgt. Somit müsste für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $ZZ$ gelten:
$\begin{array}[t]{rll} P(ZZ)&=& \dfrac{1}{\vert \Omega\vert} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{6} \end{array}$
Allerdings beträgt $P(ZZ)$:
$\begin{array}[t]{rll} P(ZZ)&=& \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \\[5pt] &=& \frac{1}{4}\neq\frac{1}{6} \end{array}$
Somit kann es sich nicht um ein Laplace-Experiment handeln.
b)
$\blacktriangleright$  Erwartungswert berechnen
Du sollst den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ angeben. $X$ gibt die Anzahl der Würfe zum jeweiligen Ereignis an. Den Erwartungswert berechnest du mit der Multiplikation des Ergebnisses mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit. Es gibt zwei mögliche Werte von $X,$ deren Wahrscheinlichkeiten mit den Pfadregeln bestimmt werden können:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=2)&=& P(ZZ)+P(WW) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \\[10pt] P(X=3)&=& P(ZWW)+P(ZWZ)+P(WZZ)+P(WZW) \\[5pt] &=& 4\cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& 2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)+3\cdot\left(\frac{1}{2}\right) \\[5pt] &=& \frac{5}{2}=2,5 \end{array}$
Es wird im Schnitt $2,5$-mal geworfen.
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