Teil B

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto 2 \mathrm e^{-\frac{1}{8} x^2}.$ Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_f$ von $f,$ der die $x$ -Achse als waagrechte Asymptote besitzt.

Abb. 1

Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts von $G_f$ mit der $y$ -Achse und weise rechnerisch nach, dass $G_f$ symmetrisch bezüglich der $y$ -Achse ist.

(2 BE)

Der Punkt $W\left(-2 \mid 2 \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\right)$ ist einer der beiden Wendepunkte von $G_f.$ Die Tangente an $G_f$ im Punkt $W$ wird mit $w$ bezeichnet. Ermittle eine Gleichung von $w$ und berechne die Stelle, an der $w$ die $x$ -Achse schneidet.

(zur Kontrolle: $\(f$ )

(5 BE)

Betrachtet wird für jeden Wert $c \in \mathbb{R}^{+}$ das Rechteck mit den Eckpunkten $P(-c \mid 0), Q(c \mid 0), R(c \mid f(c))$ und $S.$

Zeichne für $c=2$ das Rechteck $PQRS$ in Abbildung 1 ein.

(1 BE)

Berechne denjenigen Wert von $c,$ für den $\overline{QR}=1$ gilt.

(3 BE)

Gib in Abhängigkeit von $c$ die Seitenlängen des Rechtecks $PQRS$ an und begründe, dass der Flächeninhalt des Rechtecks durch den Term $A(c) = 4c \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{8} c^2}$ gegeben ist.

(3 BE)

Es gibt einen Wert von $c,$ für den der Flächeninhalt $A(c)$ des Rechtecks $PQRS$ maximal ist. Berechne diesen Wert von $c.$

(4 BE)

Betrachtet werden für $k \in \mathbb{R}$ die in $]- \infty ; 0]$ definierten Funktionen $f_k: x \mapsto f(x)+k.$ Somit gilt $f_0(x)=f(x),$ wobei sich $f_0$ und $f$ im Definitionsbereich unterscheiden.

Begründe mithilfe der ersten Ableitung von $f_k,$ dass $f_k$ für jeden Wert von $k$ umkehrbar ist. Skizziere in Abbildung 1 den Graphen der Umkehrfunktion von $\mathrm{f}_0.$

(4 BE)

Gib alle Werte von $k$ an, für die der Graph von $f_k$ und der Graph der Umkehrfunktion von $f_k$ keinen gemeinsamen Punkt haben.

(2 BE)

Abbildung 2 zeigt ein Haus mit einer Dachgaube, deren Vorderseite schematisch in Abbildung 3 dargestellt ist. Die Vorderseite wird modellhaft durch das Flächenstück beschrieben, das der Graph $G_f$ der Funktion $f$ aus Aufgabe 1, die $x$ -Achse und die Geraden mit den Gleichungen $x=-4$ und $x=4$ einschließen. Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem einem Meter in der Realität.

Abb. 2

Abb. 3

Gib die Breite und die Höhe der Vorderseite der Dachgaube an.

(2 BE)

In der Vorderseite der Dachgaube befindet sich ein Fenster. Dem Fenster entspricht im Modell das Flächenstück, das der Graph der Funktion $g$ mit $g(x)=a x^4+b$ und geeigneten Werten $a, b \in \mathbb{R}$ mit der $x$ -Achse einschließt (vgl. Abbildung 3).

Begründe, dass $a$ negativ und $b$ positiv ist.

(2 BE)

Um den Flächeninhalt der Vorderseite der Dachgaube zu ermitteln, wird eine Stammfunktion $F$ von $f$ betrachtet.

Einer der Graphen $\text{I}, \text{II}$ und $\text{III}$ ist der Graph von $F.$ Begründe, dass dies Graph $\text{I}$ ist, indem du jeweils einen Grund dafür angibst, dass Graph $\text{II}$ und Graph $\text{III}$ nicht infrage kommen.

(2 BE)

Bestimme nun mithilfe des Graphen von $F$ aus Aufgabe 2c den Flächeninhalt der gesamten Vorderseite der Dachgaube (einschließlich des Fensters).
Beschreibe unter Einbeziehung dieses Flächeninhalts die wesentlichen Schritte eines Lösungswegs, mit dem der Wert von $a$ rechnerisch so bestimmt werden könnte, dass bei einer Fensterhöhe von $1,50\;\text{m}$ der Teil der Vorderseite der Dachgaube, der in Abbildung 3 schraffiert dargestellt ist, den Flächeninhalt $6\;\text{m}^2$ hat.

(5 BE)

Um einen Näherungswert für die Länge der oberen Profillinie der Vorderseite der Dachgaube berechnen zu können, wird $G_f$ im Bereich $-4 \leq x \leq 4$ durch vier Kreisbögen angenähert, die nahtlos ineinander übergehen und zueinander kongruent sind. Einer dieser Kreisbögen erstreckt sich im Bereich $0 \leq x \leq 2$ und ist Teil des Kreises mit Mittelpunkt $M(0 \mid-1)$ und Radius $3.$ Berechne den Mittelpunktswinkel des zu diesem Kreisbogen gehörenden Kreissektors und ermittle damit den gesuchten Näherungswert.

(5 BE)

(40 BE)

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Koordinaten des Schnittpunkts berechnen

$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=&2\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot0^2} \\[5pt] &=&2\cdot 1 \\[5pt] &=&2 \end{array}$

Die Koordinaten des Schnittpunkts mit der $y$ -Achse sind somit $S_y(0\mid 2).$

Symmetrie nachweisen

$\begin{array}[t]{rll} f(-x)&=&2\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot(-x)^2} \\[5pt] &=&2\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot x^2} \\[5pt] &=&f(x) \end{array}$

Somit ist der Graph $G_f$ symmetrisch bezüglich der $y$ -Achse.

Tangentengleichung ermitteln

Für die Tangente $w$ mit $w(x)=m\cdot x+b$ gilt

$\(m= f$
$w(-2) = 2\mathrm e^{-\frac{1}{2}}$

Mit der Kettenregel folgt:

$\(f$ $= -\dfrac{1}{8}\cdot 2\cdot x\cdot 2\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{8}x^2}$ $= -\dfrac{1}{2}x\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{8}x^2}$

Damit folgt für die Steigung $m$ der Tangente:

$\(\begin{array}[t]{rll} m&=& f$

Für den $y$ -Achsenabschnitt $b$ der Tangente folgt durch Einsetzen der Koordinaten von $W:$

$\begin{array}[t]{rll} w(-2)&=& 2 \mathrm e^{-\frac{1}{2}} \\[5pt] \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\cdot(-2)+b&=& 2 \mathrm e^{-\frac{1}{2}} &\quad \scriptsize \mid\;+2 \mathrm e^{-\frac{1}{2}} \\[5pt] b&=& 4 \mathrm e^{-\frac{1}{2}} \\[5pt] \end{array}$

Die Tangentengleichung ergibt sich damit als $w(x)=\mathrm e^{-\frac{1}{2}}\cdot x + 4 \mathrm e^{-\frac{1}{2}}$ $= \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\cdot(x+4).$

Schnittstelle mit der $\boldsymbol{x}$ -Achse berechnen

Rechenweg anzeigen

$x = -4$

Die Tangente $w$ schneidet die $x$ -Achse somit an der Stelle $x=-4.$

Da $Q$ und $R$ die gleiche $x$ -Koordinate $c$ besitzen und $Q$ auf der $x$ -Achse liegt, ist $\overline{QR}=1,$ genau dann wenn die $y$ -Koordinate von $R$ $1$ ist, also wenn $f(c)=1$ ist.

$\begin{array}[t]{rll} f(c) &=& 1 \\[5pt] 2\mathrm e^{-\frac{1}{8}c^2} &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] \mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot c^2}&=&\dfrac{1}{2} \\[5pt] -\dfrac{1}{8}\cdot c^2&=&\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)&\quad \scriptsize \mid\;\cdot(-8) \\[5pt] c^2&=& -8\cdot\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] c&=&\pm \sqrt{-8\cdot\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)} \\[5pt] c&\approx&\pm 2,36 \end{array}$

Da $c\in \mathbb{R}^+,$ folgt $c\approx 2,36.$

Die Länge der beiden vertikalen Rechteckseiten beträgt:

$\overline{QR}=f(c)=2\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot c^2}$

Die Länge der horizontalen Rechteckseiten ergibt sich durch die Differenz der $x$ -Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$ als $c-(-c)$ $= 2c.$

Somit folgt für den Flächeninhalt:

$A(c)$ $= 2c\cdot 2\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8}\cdot c^2}$ $= 4c \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{8} c^2}$

1. Schritt: Ableitungsfunktionen bilden

Mit der Produkt- und Kettenregel folgt:

$\(A$ $= 4\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{8} c^2}+4c \cdot \left(-\dfrac{1}{4}c\right)\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8} c^2}$ $= (4-c^2)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{8} c^2}$

$\(A$ $= -2c\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{8} c^2}$ $+ (4-c^2)\cdot \left(-\dfrac{1}{4}c\right)\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{8} c^2}$ $= \left(\dfrac{1}{4}c^3-3c\right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{8} c^2}$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} A$

Da stets $\mathrm e^{-\frac{1}{8} c^2}\neq 0,$ folgt mit dem Satz des Nullprodukts, dass $4-c^2=0$ erfüllt sein muss.

$\begin{array}[t]{rll} 4-c^2&=&0&\quad \scriptsize \mid\;+c^2 \\[5pt] 4&=&c^2&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \pm2&=& c \end{array}$

Da $c\in\mathbb{R}^+,$ folgt $c=2.$

3. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen

$\(\begin{array}[t]{rll} A$

Die Funktion $A(c)$ des Flächeninhalts hat somit an der Stelle $c=2$ ein Maximum.

Umkehrbarkeit begründen

Da $\(f_k$ für beliebiges $k$ gilt und stets $\mathrm e^{-\frac{1}{8}x^2}\gt0,$ folgt, dass $\(f_k$ $= -\dfrac{1}{2}x\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{8}x^2}$ auf dem Intervall $]- \infty ; 0]$ streng monoton steigend ist. Somit ist $f_k(x)$ für jeden Wert von $k$ umkehrbar.

Graph einzeichnen

Für positive $k$ verschiebt sich der Graph von $f$ nach oben, während der Graph von $f_0^{-1}$ nach rechts verschoben wird. Da für alle $k$ stets $f_k^{-1}(x)\leq 0$ gilt, besitzen die Graphen von $f_k$ und $f_k^{-1}$ für positive $k$ somit keinen gemeinsamen Punkt.
Wenn $k$ negativ und größer als $-2$ ist, haben die Graphen $f_k$ und $f_k^{-1}$ ebenfalls keinen gemeinsamen Punkt, da aus der Abbildung aus Aufgabenteil g) deutlich wird, dass bei Verschieben der beiden Graphen nach unten bzw. links erst bei $k=-2$ ein Schnittpunkt entsteht.
Für $k\lt-2$ schneidet der Graph von $f_k$ den von $f_k^{-1}$ immer, da er weiter nach unten verschoben wird.

Da $1\;\text{LE} = 1\;\text{m},$ folgt für die Breite der Dachgaube $4-(-4)$ $= 8\;\text{m}.$ Die Höhe ergibt sich durch den $y$ -Achsenabschnitt von $f$ als $2\;\text{m}.$

Bei dem Graphen von $g$ handelt es sich um eine Parabel. Um die Form des Fensters zu erhalten, muss die Parabel nach unten geöffnet sein, was nur dann der Fall ist, wenn $a$ negativ ist.

Zudem muss der Graph von $g$ dann noch so verschoben werden, dass er einen Bereich oberhalb der $x$ -Achse einschließt, was durch einen positiven Wert von $b$ geschieht.

Da $f$ die Steigung seiner Stammfunktion $F$ beschreibt, muss $F$ an der Stelle $x=0$ eine Steigung von $2$ haben. Die Steigung der Tangente an den Graphen $\text{II}$ an der Stelle $x=0$ ist deutlich kleiner als $2,$ somit kommt dieser Graph nicht infrage.
Graph $\text{III}$ besitzt Extremstellen bei $x=-4$ und $x=4.$ Die Funktion $f$ hat allerdings keine Nullstellen, wie sich dem Funktionsterm ablesen lässt. Somit kann auch dieser nicht der Graph von $F$ sein.

Flächeninhalt bestimmen

Der gesuchte Flächeninhalt lässt sich über folgendes Integral berechnen:

$\displaystyle\int_{-4}^{4}f(x)\;\mathrm dx = F(4) -F(-4)$

Aus der Abbildung des Graphen von $F$ in Aufgabenteil c) kann ungefähr abgelesen werden:

$F(4)\approx 4,8$ und $F(-4)\approx-4,8$

Somit beträgt der Flächeninhalt der gesamten Vorderseite der Dachgaube ungefähr $4,8-(-4,8)$ $= 9,6\;[\text{m}^2].$

Bestimmung von $\boldsymbol{a}$ beschreiben

Für eine Fensterhöhe von $1,50\;\text{m}$ muss $b=1,5$ gelten. Also folgt:

$g(x)=ax^4+1,5$

Nullsetzen von $g$ liefert zwei von $a$ abhängige Nullstellen $x_1$ und $x_2.$
Folgendes Integral beschreibt dann den Flächeninhalt des Fensters in Abhängigkeit von $a:$

$A_a = \displaystyle\int_{x_1}^{x_2}g(x)\;\mathrm dx$

Die Differenz, des zuvor berechneten Flächeninhalts der gesamten Dachgaube mit dem des Fensters beschreibt nun den Flächeninhalt des Teils der Dachgaube, er in der Abbildung schraffiert dargestellt ist in Abhängigkeit von $a.$

Diese wird mit dem gewünschten Wert von $6\;\text{m}^2$ gleichgestzt und die Gleichung nach $a$ aufgelöst.

Mittelpunktswinkel berechnen

Da der Kreis den Radius 3 haben soll, besitzt jeder Punkt auf dem Kreisbogen den Abstand 3 zum Mittelpunkt $M.$ Der betrachtete Kreisbogen erstreckt sich im Bereich $0\leq x \leq 2$ und somit über eine Strecke von 2 Längeneinheiten entlang der $x$ -Achse.

Durch Skizzieren des Kreissektors sowie der bekannten Werte in ein entsprechendes Koordinatensystem ergibt sich ein rechtwinkliges Dreieck innerhalb des betrachteten Sektors.

Für den Winkel $\alpha$ folgt nun:

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=& \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypothenuse}} & \\[5pt] \sin(\alpha)&=& \dfrac{2}{3} &\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1}\\[5pt] \alpha&\approx & 41,8^\circ \end{array}$

Kreisbogen Fensterbogen Bayern Mathe Abi 2023

Hilfsskizze

Näherungswert ermitteln

Für die Länge $l_1$ des betrachteten Kreisbogens gilt:

$\begin{array}[t]{rll} l_1&=& 2 \pi\cdot r\cdot\dfrac{\alpha}{360^\circ} & \\[5pt] &=& 2 \pi\cdot 3\cdot\dfrac{41,8^\circ}{360^\circ} & \\[5pt] &\approx & 2,19 \;[\text{m}] \end{array}$

Da die vier Kreisbögen kongruent zueinander sind ergibt sich ein Näherungswert für die gesamte Länge $l$ der oberen Profillinie der Vorderseite der Dachgaube mit:

$\begin{array}[t]{rll} l&=& 4\cdot l_1 & \\[5pt] &=& 4\cdot 2,19 \; \text{m} & \\[5pt] &=& 8,75 \; \text{m} \end{array}$

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