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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Abitur (WTR)
Abi 2019
Analysis
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Stochastik
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
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Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
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Teil B
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Aufgabengruppe I
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Stochastik
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
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Aufgabengruppe I
Teil A
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Teil B
Abi 2015
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
Geometrie Prüfungstei...
Analysis Prüfungsteil...
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Abi 2014
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Geometrie Prüfungstei...
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Abi 2013
Analysis Aufgabengrup...
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Stochastik Aufgabengr...
Stochastik Aufgabengr...
Geometrie Aufgabengru...
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Abi 2012
Analysis Aufgabengrup...
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Stochastik Aufgabengr...
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Analysis Aufgabengrup...
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Stochastik Prüfungste...
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LV-Abi 2
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LV-Abi 3
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Teil B

Aufgaben
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Gegeben ist die Funktion $f:\, x\mapsto 2-\ln (x-1)$ mit maximalem Definitionsbereich $\text{D}_f.$ Der Graph von $f$ wird mit $G_f$ bezeichnet.
1
a)
Zeige, dass $\text{D}_f = ]1\, ; \, +\infty[$ ist, und gib das Verhalten von $f$ an den Grenzen des Definitionsbereichs an.
(3 BE)
#definitionsbereich
$\,$
b)
Berechne die Nullstelle von $f.$
(2 BE)
#nullstelle
$\,$
c)
Beschreibe, wie $G_f$ schrittweise aus dem Graphen der in $\mathbb{R}^+$ definierten Funktion $x\mapsto \ln x$ hervorgeht. Erkläre damit das Monotonieverhalten von $G_f.$
(5 BE)
#monotonie
$\,$
d)
Zeige, dass $F:\, x\mapsto 3x-(x-1)\cdot \ln (x-1)$ mit Definitionsbereich $\text{D}_F = ]1\,; \, +\infty[$ eine Stammfunktion von $f$ ist, und bestimme den Term der Stammfunktion von $f,$ die bei $x=2$ eine Nullstelle hat.
(4 BE)
#stammfunktion
2
Abbildung 1 zeigt ein Hinderniselement in einem Skate-Park.
Die Auffahrt des symmetrischen Hinderniselements geht in ein horizontal verlaufendes Plateau über, an das sich die Abfahrt anschließt. Die vordere und die hintere Seitenfläche verlaufen senkrecht zum horizontalen Untergrund. Um die vordere Seitenfläche mathematisch beschreiben zu können, wird ein kartesisches Koordinatensystem so gewählt, dass die $x$-Achse die untere Begrenzung und die $y$-Achse die Symmetrieachse der betrachteten Fläche darstellt. Das Plateau erstreckt sich im Modell im Bereich $-2\leq x \leq 2.$ Die Profillinie der Abfahrt wird für $2\leq x \leq 8$ durch den Graphen der in Aufgabe 1 untersuchten Funktion $f$ beschrieben (vgl. Abbildung 2). Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem einem Meter in der Realität.
$\,$
a)
Erläutere die Bedeutung des Funktionswerts $f(2)$ im Sachzusammenhang und gib den Term der Funktion $q$ an, deren Graph $G_q$ für $-8\leq x \leq -2$ die Profillinie der Auffahrt im Modell beschreibt.
(2 BE)
$\,$
b)
Berechne die Stelle $x_m$ im Intervall $[2\, ; \, 8],$ an der die lokale Änderungsrate von $f$ gleich der mittleren Änderungsrate in diesem Intervall ist.
(5 BE)
#änderungsrate
$\,$
c)
Der in Aufgabe 2b rechnerisch ermittelte Wert $x_m$ könnte alternativ auch ohne Rechnung näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 bestimmt werden. Erläutere, wie du dabei vorgehen würdest.
(3 BE)
$\,$
d)
Berechne auf der Grundlage des Modells die Größe des Winkels $\alpha,$ den das Plateau und die Fahrbahn an der Kante zur Abfahrt einschließen (vgl. Abbildung 2).
(2 BE)
$\,$
e)
Die vordere Seitenfläche des Hinderniselements wird in Teilbereichen der Auf- und Abfahrt als Werbefläche verwendet (vgl. Abbildung 1). Im Modell handelt es sich um zwei Flächenstücke, nämlich um eine Fläche zwischen $G_f$ und der $x$-Achse im Bereich $2\leq x \leq 6$ sowie die dazu symmetrische Fläche im $\text{II}.$ Quadranten. Berechne unter Verwendung der in Aufgabe 1d angegebenen Stammfunktion $F,$ wie viele Quadratmeter als Werbefläche zur Verfügung stehen.
(3 BE)
3
Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $g_k: \, x\mapsto kx^3 +3\cdot (k+1)x^2+9x$ mit $k\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ und den zugehörigen Graphen $G_k.$ Für jedes $k$ besitzt der Graph $G_k$ genau einen Wendepunkt $W_k.$
#funktionenschar
$\,$
a)
Gib das Verhalten von $g_k$ an den Grenzen des Definitionsbereichs in Abhängigkeit von $k$ an.
(2 BE)
#definitionsbereich
$\,$
b)
Bestimme die $x$-Koordinate von $W_k$ in Abhängigkeit von $k.$
[Zur Kontrolle: $x=-\frac{1}{k}-1$]
(3 BE)
#wendepunkt
$\,$
c)
Bestimme den Wert von $k$ so, dass der zugehörige Wendepunkt $W_k$ auf der $y$-Achse liegt. Zeige, dass in diesem Fall der Punkt $W_k$ im Koordinatenursprung liegt und die Wendetangente, d.h. die Tangente an $G_k$ im Punkt $W_k,$ die Steigung $9$ hat.
(4 BE)
#wendepunkt#tangente
$\,$
d)
Für den in Aufgabe 3c bestimmten Wert von $k$ zeigt Abbildung 3 den zugehörigen Graphen mit seiner Wendetangente. In diesem Koordinatensystem sind die beiden Achsen unterschiedlich skaliert.
Bestimme die fehlenden Zahlenwerte an den Markierungsstrichen der $y$-Achse mithilfe eines geeigneten Steigungsdreiecks an der Wendetangente und trage die Zahlenwerte in Abbildung 3 ein.
(2 BE)
#steigung
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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1
a)
$\blacktriangleright$  Definitionsbereich zeigenTeil B
Der Definitionsbereich wird dadurch eingeschränkt, dass das Argument des Logarithmus positiv sein muss. Es muss also gelten $(x-1) >0.$ Das ist für alle $x\in\mathbb{R}$ der Fall, für die $x>1$ ist. Weitere Einschränkungen des Definitionsbereichs gibt es nicht, daher folgt: $\text{D}_f = ]1\,;\,+\infty[.$
$\blacktriangleright$  Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs angeben
Für $x\to 1$ gilt:
$2-\underbrace{\ln (\underbrace{x-1}_{\to 0})}_{\to -\infty} \to \infty$
Für $x\to + \infty$ gilt:
$2-\underbrace{\ln (\underbrace{x-1}_{\to \infty})}_{\to \infty} \to -\infty$
#logarithmusfunktion
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Nullstelle berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& 0 \\[5pt] 2- \ln (x-1) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] - \ln (x-1)&=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1)\\[5pt] \ln (x-1) &=& 2 &\quad \scriptsize \mid\; \mathrm e^{(\,)}\\[5pt] x-1 &=& \mathrm e^2 &\quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt] x &=& \mathrm e^2 +1 \end{array}$
$ x=\mathrm e^2 +1 $
Die Nullstelle von $f$ ist $x = \mathrm e^2 +1.$
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Zusammenhang der Graphen beschreiben
Der Graph von $f$ geht aus dem Graphen der Logarithmusfunktion $x\mapsto \ln x$ hervor. Betrachte den Funktionsterm von $f$ von innen nach außen: $f(x)= 2\boldsymbol{\color{#db2416}{-}}\ln(x\boldsymbol{\color{#87c800}{-1}}) $
  • Der Summand $\boldsymbol{\color{#87c800}{-1}}$ im Argument führt gegenüber dem Graphen von $\ln x$ zu einer Verschiebung um eine Einheit in positive $x$-Richtung.
  • Anschließend wird der Graph durch das negative Vorzeichen vor dem Logarithmus an der $x$-Achse gespiegelt.
  • Durch den Summanden $+2$ wird der Graph dann um zwei Einheiten in positive $y$-Richtung verschoben, wodurch letztendlich dann der Graph von $f$ entsteht.
$\blacktriangleright$  Monotonieverhalten erklären
Der Graph der Funktion $ x\mapsto \ln x$ ist streng monoton steigend auf ihrem gesamten Definitionsbereich. Da der Graph $G_f$ daraus durch Verschiebung und Spiegelung an der $x$-Achse hervorgeht, wird das Monotonieverhalten genau umgekehrt. Der Graph $G_f$ ist also streng monoton fallend, auf dem gesamten Definitionsbereich.
$\,$
d)
$\blacktriangleright$  Stammfunktion zeigen
$F$ ist eine Stammfunktion von $f,$ wenn $f$ die erste Ableitung von $F$ ist. Es muss also $F'(x)= f(x)$ sein. Mit der Produktregel und der Kettenregel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} F(x) &=& 3x-(x-1)\cdot \ln (x-1) \\[10pt] F'(x) &=& 3- \left(1\cdot \ln (x-1) + (x-1)\cdot \frac{1}{x-1}\cdot 1 \right) \\[5pt] &=& 3- \left( \ln (x-1) + 1 \right) \\[5pt] &=& 2-\ln(x-1) \\[5pt] &=& f(x) \\[5pt] \end{array}$
$ F'(x) = … $
Da also $F'(x)= f(x)$ gilt, ist $F$ eine Stammfunktion von $f.$
$\blacktriangleright$  Term der Stammfunktion bestimmen
Da $F(x)= 3x-(x-1)\cdot \ln (x-1) $ der Term einer Stammfunktion von $f$ ist, sind alle Funktionen der Form
$F_c(x)=3x-(x-1)\cdot \ln (x-1) +c$
$F_c(x)=3x-(x-1)\cdot \ln (x-1) +c$
Stammfunktionen von $f.$ $c$ soll nun so gewählt werden, dass $F_c(2) = 0$ ist.
$\begin{array}[t]{rll} F_c(2) &=& 0 \\[5pt] 3\cdot 2-(2-1)\cdot \ln (2-1) +c &=& 0 \\[5pt] 6 - \ln (1) + c &=& 0 \\[5pt] 6+c &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-6 \\[5pt] c &=& -6 \end{array}$
$ c=-6 $
Die Stammfunktion von $f$ mit dem Term
$F_2(x) = 3x-(x-1)\cdot \ln (x-1) -6$
$F_2(x) = 3x-(x-1)\cdot \ln (x-1) -6$
hat bei $x=2$ eine Nullstelle.
2
a)
$\blacktriangleright$  Bedeutung des Funktionswerts im Sachzusammenhang erläutern
Die Funktion $f$ beschreibt für $2\leq x \leq 8$ die Profillinie des Hinderniselements. An der Stelle $x=2$ befindet sich im Modell der Übergang zwischen dem Plateau und der Abfahrt. Hier ist das Hinderniselement also am höchsten. Der Funktionswert $f(2)$ gibt daher die Gesamthöhe des Hinderniselements in Metern an.
$\blacktriangleright$  Term der Funktion $q$ angeben
Da das Hinderniselement symmetrisch ist und die Symmetrieachse im Modell entlang der $y$-Achse verläuft, entsteht der Graph von $q$ durch Spiegelung des Graphen von $f$ an der $y$-Achse. Es folgt:
$q(x) = f(-x) = 2-\ln(-x-1)$
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Stelle mit mittlerer Änderungsrate berechnen
1. Schritt: Mittlere Änderungsrate berechnen
Betrachtet wird das Intervall $[2\,;\,8].$ Mit dem Differenzenquotienten erhältst du die mittlere Änderungsrate $\overline{m}$ auf diesem Intervall:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{m} &=& \dfrac{f(8) - f(2) }{8-2} \\[5pt] &=& \dfrac{2-\ln(8-1) - \left(2-\ln(2-1) \right)}{8-2} \\[5pt] &=& \dfrac{2-\ln(7) - 2+\ln(1)}{6} \\[5pt] &=& \dfrac{-\ln(7) }{6} \\[5pt] \end{array}$
$ \overline{m} = \dfrac{-\ln(7) }{6} $
2. Schritt: Stelle berechnen
Gesucht ist nun die Stelle $x_m,$ für die $f'(x_m)= \overline{m}$ gilt. Die erste Ableitung $f'$ von $f$ lautet:
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& 2-\ln(x-1) \\[5pt] f'(x) &=& -\frac{1}{x-1}\cdot 1 \\[5pt] &=& -\frac{1}{x-1} \\[5pt] \end{array}$
Gleichsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x_m) &=& \overline{m} \\[5pt] -\frac{1}{x_m-1}&=& - \frac{\ln(7) }{6} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (x_m-1) \\[5pt] -1 &=& -\frac{\ln(7) }{6}\cdot (x_m-1) &\quad \scriptsize \mid\; :\left(-\frac{\ln(7) }{6} \right)\\[5pt] \frac{6}{\ln(7)} &=& x_m -1 &\quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt] \frac{6}{\ln(7)} +1 &=& x_m \end{array}$
$ x_m=\frac{6}{\ln(7)} +1 $
An der Stelle $x_m = \frac{6}{\ln(7)} +1$ entspricht die lokale Änderungsrate von $f$ der mittleren Änderungsrate von $f$ im Intervall $[2\, ; \, 8].$
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Vorgehen erläutern
Die mittlere Änderungsrate von $f$ im Intervall $[2\, ; \, 8]$ entspricht der Steigung der Geraden $g$ durch die beiden Punkte $(2\mid f(2))$ und $(8\mid f(8)).$ Diese Gerade $g$ lässt sich in Abbildung 2 des Aufgabenblattes einzeichnen.
Die lokale Änderungsrate von $f$ an einer Stelle $x$ entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen von $f$ an dieser Stelle. Diese Steigung soll der Steigung von $g$ entsprechen. Gesucht ist also eine zu $g$ parallele Tangente an den Graphen von $f.$ Diese kannst du durch Verschiebung des Geodreiecks zeichnerisch ermitteln.
Der Punkt, an dem diese Tangente den Graphen von $f$ berührt markiert dann die Stelle $x_m.$
Teil B
Abb. 1: Skizze
Teil B
Abb. 1: Skizze
#tangente
$\,$
d)
$\blacktriangleright$  Winkelgröße berechnen
Da das Plateau parallel zum horizontalen Untergrund verläuft, der im Querschnittsmodell durch die $x$-Achse beschrieben wird, entspricht $\alpha$ dem Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(2\mid f(2)).$
Zur Berechnung des Steigungswinkels benötigst du zunächst den Steigungswert von $f$ an der Stelle $x=2:$
$\begin{array}[t]{rll} f'(2) &=& -\frac{1}{2-1} \\[5pt] &=& -1 \end{array}$
Mit der Formel für den Steigungswinkel $\alpha$ ergibt sich dann:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha &=& f'(2) \\[5pt] \tan \alpha &=& -1 &\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \alpha &\approx& -45^{\circ} \end{array}$
Dies entspricht einem positiven Winkelmaß von $180^{\circ} -45^{\circ} = 135^{\circ}.$ Der Winkel $\alpha$ ist also $135^{\circ}$ groß.
Das Plateau und die Fahrbahn schließen an der Kante zur Abfahrt also einen Winkel der Größe $45^{\circ}$ ein.
#steigungswinkel
$\,$
e)
$\blacktriangleright$  Größe der Werbefläche berechnen
Betrachte zunächst nur eines der beiden Flächenstücke, und zwar die Fläche zwischen dem Graphen $G_f$ und der $x$-Achse im Bereich $2\leq x \leq 6.$ Deren Größe kannst du mithilfe eines Integrals und der angegebenen Stammfunktion $F$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A_f&=& \displaystyle\int_{2}^{6}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& F(6) - F(2) \\[5pt] &=& 3\cdot 6 -(6-1)\cdot \ln(6-1) - \left( 3\cdot 2 -(2-1)\cdot \ln(2-1)\right) \\[5pt] &=& 18 - 5\cdot \ln (5) - 6 +0\\[5pt] &=& 12-5\cdot \ln (5) \\[5pt] &\approx& 3,95 \,[\text{m}^2] \\[5pt] \end{array}$
$ A_f\approx 3,95 \,[\text{m}^2] $
Die Gesamtgröße der zur Verfügung stehenden Werbefläche beträgt also ca. $7,90\,\text{m}^2.$
#integral
3
a)
$\blacktriangleright$  Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs angeben
Bei den Funktionen $g_k$ handelt es sich um ganzrationale Funktionen dritten Grades. Deren Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs wird vor allem durch den Summanden mit dem größten Exponenten bestimmt, also $k\cdot x^3.$
Für $k < 0$ gilt:
  • Für $x\to -\infty$ gilt $k\cdot x^3 \to +\infty,$ also auch $g_k(x) \to +\infty.$
  • Für $x\to +\infty$ gilt $k\cdot x^3 \to -\infty,$ also auch $g_k(x) \to -\infty.$
Für $k > 0$ gilt:
  • Für $x\to -\infty$ gilt $k\cdot x^3 \to -\infty,$ also auch $g_k(x) \to -\infty.$
  • Für $x\to +\infty$ gilt $k\cdot x^3 \to +\infty,$ also auch $g_k(x) \to +\infty.$
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Wendestelle bestimmen
Zur Berechnung der $x$-Koordinate des Wendepunkts benötigst du die zweite Ableitungsfunktion.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} g_k(x) &=& kx^3 +3\cdot (k+1)x^2 +9x \\[5pt] g_k'(x) &=& 3kx^2 +6\cdot (k+1)x +9 \\[5pt] g_k''(x) &=& 6kx + 6\cdot (k+1) \\[5pt] \end{array}$
$ g_k''(x) = 6kx + 6\cdot (k+1) $
2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Wendestellen anwenden
$\begin{array}[t]{rll} g_k''(x) &=& 0 \\[5pt] 6kx + 6\cdot (k+1) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -6\cdot (k+1) \\[5pt] 6kx &=& -6\cdot(k+1) &\quad \scriptsize \mid\; :6k\neq 0 \\[5pt] x &=& -\frac{k+1}{k} \\[5pt] &=& - \frac{1}{k}-1 \end{array}$
$ x=- \frac{1}{k}-1 $
Da in der Aufgabenstellung angegeben ist, dass jeder Graph $G_k$ genau einen Wendepunk $W_k$ besitzt und das notwendige Kriterium für Wendestellen jeweils nur für $x_W = - \frac{1}{k}-1 $ erfüllt ist, muss es sich dabei um die $x$-Koordinate von $W_k$ handeln.
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Parameterwert bestimmen
Die $x$-Koordinate von $W_k$ ist $x_W= -\frac{1}{k}-1.$ Damit $W_k$ auf der $y$-Achse liegt, muss $x_W=0$ sein:
$\begin{array}[t]{rll} x_W &=& 0 \\[5pt] -\frac{1}{k}-1 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] -\frac{1}{k} &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot k \\[5pt] -1 &=& k \end{array}$
Für $k=-1$ liegt $W_k$ auf der $y$-Achse.
$\blacktriangleright$  Lage im Koordinatenursprung zeigen
Für $k=-1$ liegt $W_k$ auf der $y$-Achse, dann ist also $x_W = 0.$ Damit $W_k$ im Koordinatenursprung liegt, muss auch die $y$-Koordinate Null sein. Berechne also den zu $k=-1$ und $x_W=0$ gehörenden Funktionswert:
$\begin{array}[t]{rll} g_{-1}(x_W) &=& g_{-1}\left(0\right) \\[5pt] &=& -1\cdot 0^3 +3\cdot (-1+1)\cdot 0^2 +9\cdot 0 \\[5pt] &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$ g_{-1}(x_W) = 0 $
Für $k=-1$ lauten die Koordinaten des Wendepunkts $W_k$ von $G_k$ also $W_{-1}(0\mid 0),$ womit er also im Koordinatenursprung liegt.
$\blacktriangleright$  Steigung der Tangente zeigen
Die Steigung der Tangenten an den Graphen von $g_k$ wird durch die erste Ableitungsfunktion von $g_k$ beschrieben:
$\begin{array}[t]{rll} g_{-1}(x) &=& -x^3 +9x \\[5pt] g_{-1}'(x) &=& -3x^2 + 9 \\[5pt] g_{-1}'(0) &=& -3\cdot 0^2 +9 \\[5pt] &=& 9 \\[5pt] \end{array}$
Im Fall $k=-1$ beträgt die Steigung der Tangente an den Graphen von $G_k$ im Punkt $W_k$ also $9.$
$\,$
d)
$\blacktriangleright$  Fehlende Zahlenwerte bestimmen und eintragen
Teil B
Abb. 2: Skalierung
Teil B
Abb. 2: Skalierung
Bildnachweise [nach oben]
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