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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Abitur (WTR)
Abi 2019
Analysis
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Stochastik
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
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Aufgabengruppe I
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Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
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Aufgabengruppe I
Teil A
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Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Stochastik
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
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Geometrie
Aufgabengruppe I
Teil A
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Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
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Analysis Prüfungsteil...
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Geometrie Prüfungstei...
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Stochastik Prüfungste...
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Abi 2013
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Geometrie Aufgabengru...
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Abi 2012
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Geometrie Prüfungstei...
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Stochastik Prüfungste...
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LV-Abi 2
Analysis Prüfungsteil...
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Geometrie Prüfungstei...
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Stochastik Prüfungste...
LV-Abi 3
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Stochastik Prüfungste...

Teil A

Aufgaben
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1
a)
Zeichne in die Abbildung die Koordinatenachsen ein und bezeichne diese. Gib die Koordinaten des Punkts $A$ an.
(2 BE)
b)
Der Punkt $P$ liegt auf der Kante $[FB]$ des Würfels und hat vom Punkt $H$ den Abstand $3$. Berechne die Koordinaten des Punkts $P$.
(3 BE)
#vektoren#zentraleraufgabenpool#würfel
2
Gegeben sind die Punkte $A(-2\mid 1\mid 4)$ und $B(-4\mid 0\mid 6)$.
a)
Bestimme die Koordinaten des Punkts $C$ so, dass gilt: $\overrightarrow{CA}= 2\cdot \overrightarrow{AB}$.
(2 BE)
b)
Durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft die Gerade $g$.
Betrachtet werden Geraden, für welche die Bedingungen $\text{I}$ und $\text{II}$ gelten:
$\text{I}$Jede dieser Geraden schneidet die Gerade $g$ orthogonal.
$\text{II}$Der Abstand jeder dieser Geraden vom Punkt $A$ beträgt $3$.
Ermittle eine Gleichung für eine dieser Geraden.
(3 BE)

(10 BE)
#zentraleraufgabenpool
Bildnachweise [nach oben]
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#hilfsmittelfreieaufgaben
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1
a)
$\blacktriangleright$  Abbildung einzeichnen und Koordinaten von $A$ bestimmen
Der Punkt $H$ hat die Koordinaten $(0 \mid 0 \mid 0)$, d.h. der Ursprung des Koordinatensystems liegt in $H$. Da der Punkt $E$ als erste Koordinate eine positive Zahl hat und die restlichen Koordinaten gleich Null sind, ist die $x$-Achse die Gerade $EH$. Die Richtung der $x$-Achse ist dabei die Richtung des Vektors $\overrightarrow{HE}$. Das Vorgehen bei der $y$-Achse ist analog. Da der Punkt $G$ als zweite Koordinate eine positive Zahl hat und die restlichen Koordinaten gleich Null sind, ist die $y$-Achse die Gerade $GH$. Die Richtung der $y$-Achse ist dabei die Richtung des Vektors $\overrightarrow{HG}$. Der Punkt $D$ hat als letzte Koordinate eine negative Zahl (die restlichen Koordinaten sind gleich Null), das bedeutet, dass die $z$-Achse die Gerade $DH$ ist. Die Richtung ist dieses Mal allerdings die Richtung des Vektors $\overrightarrow{DH}$.
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Punkts $P$ bestimmen
Sind zwei Punkte $P_1(x_1 \mid y_1 \mid z_1)$ und $P_2(x_2 \mid y_2 \mid z_2)$ gegeben, so ist der Abstand $\boldsymbol{d}$ der beiden Punkte definiert als
$\boldsymbol{d = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2}}.$
$\boldsymbol{d = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2}}.$
$\boldsymbol{d = \quad …}$
Der Punkt $P$ soll auf der Kante $\overline{FB}$ des Würfels liegen und soll zum Punkt $H$ (dem Ursprung des Koordinatensystems) den Abstand $3$ haben, d.h. $d=3$. Die Koordinaten des zweiten Punkts $H$ sind gegeben. Die Koordinaten des ersten Punkts $P$ kannst du mithilfe des Ortvektors von $F$ und dem Vektor $\overrightarrow{FB}$ umschreiben.
2
a)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Punkts $C$ bestimmen
Gesucht ist ein Punkt $C$, der die Bedingung $\overrightarrow{CA} = 2 \cdot \overrightarrow{AB}$ erfüllt. Du berechnest also zuerst den Vektor, um ihn anschließend in die Gleichung einzusetzen.
b)
$\blacktriangleright$  Geradengleichung bestimmen
Gesucht ist eine Gerade $h$, die die zwei Bedingungen $I$ und $II$ erfüllt. Bestimme also zuerst einen Vektor $\vec{t}$, der die Bedingung $I$ erfüllt, um anschließend einen Aufpunkt $P$ für die Gerade $h$ auf der Geraden $g$ zu finden, der den Abstand $3$ zum Punkt $A$ hat.
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1
a)
$\blacktriangleright$  Abbildung einzeichnen und Koordinaten von $A$ bestimmen
Der Punkt $H$ hat die Koordinaten $(0 \mid 0 \mid 0)$, d.h. der Ursprung des Koordinatensystems liegt in $H$. Da der Punkt $E$ als erste Koordinate eine positive Zahl hat und die restlichen Koordinaten gleich Null sind, ist die $x$-Achse die Gerade $EH$. Die Richtung der $x$-Achse ist dabei die Richtung des Vektors $\overrightarrow{HE}$. Das Vorgehen bei der $y$-Achse ist analog. Da der Punkt $G$ als zweite Koordinate eine positive Zahl hat und die restlichen Koordinaten gleich Null sind, ist die $y$-Achse die Gerade $GH$. Die Richtung der $y$-Achse ist dabei die Richtung des Vektors $\overrightarrow{HG}$. Der Punkt $D$ hat als letzte Koordinate eine negative Zahl (die restlichen Koordinaten sind gleich Null), das bedeutet, dass die $z$-Achse die Gerade $DH$ ist. Die Richtung ist dieses Mal allerdings die Richtung des Vektors $\overrightarrow{DH}$.
Somit ergibt sich folgendes Koordinatensystem:
Teil A
Abb. 1: Würfel im Koordinatensystem
Teil A
Abb. 1: Würfel im Koordinatensystem
Der Punkt $A$ hat demnach die Koordinaten $(2 \mid 0 \mid -2).$
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Punkts $P$ bestimmen
Sind zwei Punkte $P_1(x_1 \mid y_1 \mid z_1)$ und $P_2(x_2 \mid y_2 \mid z_2)$ gegeben, so ist der Abstand $\boldsymbol{d}$ der beiden Punkte definiert als
$\boldsymbol{d = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2}}.$
$\boldsymbol{d = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2}}.$
$\boldsymbol{d = \quad …}$
Der Punkt $P$ soll auf der Kante $\overline{FB}$ des Würfels liegen und soll zum Punkt $H$ (dem Ursprung des Koordinatensystems) den Abstand $3$ haben, d.h. $d=3$. Die Koordinaten des zweiten Punkts $H$ sind gegeben. Die Koordinaten des ersten Punkts $P$ kannst du mithilfe des Ortvektors von $F$ und dem Vektor $\overrightarrow{FB}$ umschreiben.
$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OF} + \lambda \cdot \overrightarrow{FB} = \pmatrix{2 \\ 2 \\ 0} + \lambda \cdot \pmatrix{0 \\ 0 \\ -2}$ mit $0 \leq \lambda \leq 1.$
Setze nun die Koordinaten der Punkte in die Formel für den Abstand mit $d=3$ ein und löse die Gleichung nach $\lambda$ auf
$\begin{array}[t]{rll} 3 &=& \sqrt{(2 + 0 \cdot \lambda - 0)^2 + (2 + 0 \cdot \lambda - 0)^2 + (0 - 2 \lambda - 0)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{4 + 4 + 4 \lambda^2} &\quad \scriptsize \mid\ ^2 \\[5pt] 9 &=& 4 + 4 + 4 \lambda^2 &\quad \scriptsize \mid\ -8 \\[5pt] 1 &=& 4 \lambda^2 &\quad \scriptsize \mid\ :4 \\[5pt] \lambda^2 &=& \dfrac{1}{4} \\[5pt] \lambda &=& \pm \dfrac{1}{2} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 3 &=& \quad … \end{array}$
Da für $\lambda = -\dfrac{1}{2}$ der Punkt $P$ nicht auf der Kante $\overline{FB}$ liegen würde, muss $\lambda = \dfrac{1}{2}$ sein. Für $\overrightarrow{OP}$ gilt somit
$\overrightarrow{OP} = \pmatrix{2 \\ 2 \\ 0} + \dfrac{1}{2} \cdot \pmatrix{0 \\ 0 \\ -2} = \pmatrix{2 \\ 2 \\ -1}.$
Somit sind die Koordinaten von $P(2 \mid 2 \mid -1).$
2
a)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Punkts $C$ bestimmen
Gesucht ist ein Punkt $C$, der die Bedingung $\overrightarrow{CA} = 2 \cdot \overrightarrow{AB}$ erfüllt. Du berechnest also zuerst den Vektor
$\overrightarrow{AB} = \pmatrix{-4 \\ 0 \\ 6} - \pmatrix{-2 \\ 1 \\ 4} = \pmatrix{-2 \\ -1 \\ 2}$,
um ihn anschließend in die Gleichung einzusetzen.
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{-2 - c_1 \\ 1 - c_2 \\ 4 - c_3} &=& 2 \cdot \pmatrix{-2 \\ -1 \\ 2} \\[5pt] &=& \pmatrix{-4 \\ -2 \\ 4} \end{array}$
Somit folgt $c_1 = 2$, $c_2 = 3$ und $c_3 = 0$. Der gesuchte Punkt $C$ hat also die Koordinaten $(2 \mid 3 \mid 0).$
b)
$\blacktriangleright$  Geradengleichung bestimmen
Gesucht ist eine Gerade $h$, die die zwei Bedingungen $I$ und $II$ erfüllt. Bestimme also zuerst einen Vektor $\vec{t}$, der die Bedingung $I$ erfüllt, um anschließend einen Aufpunkt $P$ für die Gerade $h$ auf der Geraden $g$ zu finden, der den Abstand $3$ zum Punkt $A$ hat.
1.Schritt: Vektor $\boldsymbol{\vec{t}}$ bestimmen
Der Vektor $\vec{t}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{AB}$ liegen, d.h. das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren muss null sein.
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& \overrightarrow{AB} \circ \vec{t} \\[5pt] &=& -2t_1 - t_2 + 2t_3 \end{array}$
Wähle $t_1 = 1$ und $t_2=0$, sodass für $t_3$ automatisch $t_3 = 1$ folgt.
Somit ist $\vec{t} = \pmatrix{1 \\ 0 \\ 1}$ und orthogonal zu $\overrightarrow{AB}$.
2.Schritt: Aufpunkt für die Gerade $\boldsymbol{h}$ finden
Um zu garantieren, dass die Gerade $h$ die Gerade $g$ auf jeden Fall schneidet und vom Punkt $A$ einen Abstand von $2$ hat, kannst du den Aufpunkt $P$ der gesuchten Gerade $h$ so w#hlen, dass er auf der Geraden $g$ liegt und den Abstand $3$ zum Punkt $A$ hat. Somit gibt es zwei mögliche Kandidaten für den Punkt $P,$ da es auf der Geraden $g$ genau zwei Punkte mit dem Abstand $3$ zu $A$ gibt.
$P$ muss also $3$ Einheiten entlang des Richtungsvektors $\pmatrix{-2 \\ -1 \\ 2}$ vom Punkt $A$ aus liegen.
$\begin{array}[t]{rll} 3 &=& \left| \lambda \cdot \pmatrix{-2 \\ -1 \\ 2} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-2\lambda)^2 + (-\lambda)^2 + (2\lambda)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{9 \lambda^2} \\[5pt] &=& \pm 3 \lambda \end{array}$
Somit kann $\lambda$ entweder $1$ oder $-1$ sein.
Wähle beispielsweise $\lambda = 1$ und bestimme die Koordinaten von $P$.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OP}&=& \overrightarrow{OA} + 1 \cdot \pmatrix{-2 \\ -1 \\ 2} \\[5pt] &=& \pmatrix{-2 \\ 1 \\ 4} + 1 \cdot \pmatrix{-2 \\ -1 \\ 2} \\[5pt] &=& \pmatrix{-4 \\ 0 \\ 6}. \end{array}$
Demnach hat $P$ die gleichen Koordinaten wie der Punkt $B$.
3.Schritt: Geradengleichung aufstellen
Nun hast du alle notwendigen Informationen berechnet, um die Geradengleichung von $h$ aufzustellen. Du benutzt als Aufpunkt den Punkt $P$ und als Richtungsvektor $\overrightarrow{t}$.
$h:$ $ \pmatrix{-4 \\ 0 \\ 6}+ \lambda \cdot \pmatrix{1 \\ 0 \\ 1}$
Bemerkung: Beachte, dass es hier unendlich viele Lösungen gibt. Du kannst den Richtungsvektor der Gerade $h$ auch anders wählen und für den Aufpunkt $P$ gibt es zwei Möglichkeiten.
#skalarprodukt
Bildnachweise [nach oben]
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