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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Abitur (WTR)
Abi 2019
Analysis
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Stochastik
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
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Aufgabengruppe I
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Aufgabengruppe II
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LV-Abi 2
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LV-Abi 3
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Teil A

Aufgaben
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1
Gegeben ist die Funktion $f:\quad x\mapsto \sqrt{3x-5}$ mit maximalem Definitionsbereich $\mathbb{D}.$ Gib $\mathbb{D}$ an und bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(3\mid f(3)).$
(6 BE)
#definitionsbereich#tangente
2
Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)= -x^3+9x^2-15x-25.$
Weise nach, dass $f$ folgende Eigenschaften besitzt:
Der Graph von $f$ besitzt an der Stelle $x=0$ die Steigung $-15.$
Der Graph von $f$ besitzt im Punkt $A\left(5\mid f(5)\right)$ die $x$-Achse als Tangente.
Die Tangente $t$ an den Graphen der Funktion $f$ im Punkt $B\left(-1\mid f(-1) \right)$ kann durch die Gleichung $y=-36x-36$ beschrieben werden.
(5 BE)
#zentraleraufgabenpool#steigung#tangente
3
(4 BE)
#integral
4
Für jeden Wert von $a$ mit $a\in \mathbb{R}^+$ ist eine Funktion $f_a$ durch $f_a(x)=\frac{1}{a}\cdot x^3 -x$ mit $x\in \mathbb{R}$ gegeben.
a)
Eine der beiden Abbildungen stellt einen Graphen von $f_a$ dar. Gib an, für welche Abbildung dies zutrifft. Begründe deine Antwort.
(2 BE)
b)
Für jeden Wert von $a$ besitzt der Graph von $f_a$ genau zwei Extrempunkte. Ermittle denjenigen Wert von $a,$ für den der Graph der Funktion $f_a$ an der Stelle $x=3$ einen Extrempunkt hat.
(3 BE)

(20 BE)
#extrempunkt#funktionenschar
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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1
$\blacktriangleright$  Definitionsbereich angebenTeil A
Die einzige Einschränkung des Definitionsbereichs liegt darin, dass das Argument der Wurzel nicht negativ werden darf:
$\begin{array}[t]{rll} 3x-5&\geq& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +5 \\[5pt] 3x&\geq& 5 &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] x&\geq & \frac{5}{3} \end{array}$
Der maximale Definitionsbereich von $f$ ist $\mathbb{D} = \{x\in \mathbb{R} \mid x\geq \frac{5}{3}\}.$
$\blacktriangleright$  Tangentengleichung bestimmen
Für die erste Ableitungsfunktion von $f$ gilt aufgrund der Kettenregel:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& (3x-5)^{\frac{1}{2}} \\[10pt] f'(x)&=& (3x-5)^{-\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{2}\cdot 3 \\[5pt] &=& \dfrac{3}{2\sqrt{3x-5}} \\[5pt] \end{array}$
Für die benötigten Werte folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f(3)&=& \sqrt{3\cdot 3 -5} \\[5pt] &=&\sqrt{4} \\[5pt] &=& 2 \\[10pt] f'(3)&=& \dfrac{3}{2\sqrt{3\cdot 3-5}} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{2\cdot 2} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{4} \end{array}$
Die Steigung der Tangente $t:\quad y= mx+b$ ist also $m= f'(3)= \frac{3}{4}.$ Einsetzen der Koordinaten $(3\mid 2)$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} t:\quad y&=& mx+b\\[5pt] y&=& \frac{3}{4}x+b&\quad \scriptsize \mid\;(3\mid 2) \\[5pt] 2&=& \frac{3}{4}\cdot 3 + b \\[5pt] 2&=& \frac{9}{4} +b &\quad \scriptsize \mid\; -\frac{9}{4}\\[5pt] -\frac{1}{4}&=& b \end{array}$
$ b = -\frac{1}{4} $
Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(3\mid f(3))$ kann durch $y= \frac{3}{4}x -\frac{1}{4}$ beschrieben werden.
2
$\blacktriangleright$  Eigenschaften nachweisen
(1)
Steigung
Die Steigung des Graphen von $f$ wird durch $f'$ beschrieben.
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& -3x^2+18x-15\\[10pt] f'(0)&=& -3\cdot 0^2+18\cdot 0-15\\[5pt] &=& -15 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& -3x^2+18x-15\\[10pt] f'(0)&=& -15 \end{array}$
Der Graph von $f$ besitzt also an der Stelle $x=0$ die Steigung $-15.$
(2)
Tangente
Die $x$-Achse ist im Punkt $A(5\mid f(5))$ eine Tangente an den Graphen von $f,$ wenn dort sowohl der Funktionswert, als auch die Steigung übereinstimmen.
$\begin{array}[t]{rll} f(5)&=& -5^3+9\cdot 5^2 -15\cdot 5 -25 \\[5pt] &=& 0 \\[10pt] f'(5)&=& -3\cdot 5^2 +18\cdot 5 -15 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(5)&=& 0 \\[10pt] f'(5)&=& 0 \end{array}$
Die $x$-Achse mit der Gleichung $y= 0$ ist also eine Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $A.$
(3)
Tangente
Die Gerade zu $y= -36x-36$ besitzt die Steigung $-36.$ Für die Steigung des Graphen von $f$ im Punkt $B$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f'(-1)&=& -3\cdot(-1)^2+18\cdot (-1)-15 \\[5pt] &=& -36 \end{array}$
$ f'(-1) = -36 $
Die Steigung der Geraden stimmt also mit der Steigung des Graphen von $f$ im Punkt $B$ überein. Für die Funktionswerte folgt:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -36\cdot (-1) -36 \\[5pt] &=& 0 \\[10pt] f(-1)&=&-(-1)^3 +9\cdot (-1)^2 -15\cdot (-1) -25 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 0 \\[10pt] f(-1)&=&0 \end{array}$
Sowohl Steigung, als auch Funktionswert der Gerade zu $y= -36x-36$ stimmen mit den Werten für $f$ überein. Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $B$ kann also durch $y= -36x-36$ beschrieben werden.
3
$\blacktriangleright$  Anzahl der Nullstellen bestimmen
Die Integralfunktion $F$ beschreibt abgesehen vom Vorzeichen im Grunde den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ mit der $x$-Achse und den Geraden zu $x=3$ und $x=x$ einschließt. Liegt ein Teil dieser Fläche unterhalb der $x$-Achse, so geht der Flächeninhalt dieser Teilfläche negativ in den Funktionswert von $F$ ein.
Eine Nullstelle besitzt $F$ bei $x=3,$ da dann die untere mit der oberen Integrationsgrenze übereinstimmt.
Der Abbildung kann man entnehmen, dass der Graph von $f$ bei $x_1\approx 1,5$ und $x_2\approx 4,5$ die $x$-Achse schneidet. Da es sich um eine Parabel handelt, bleibt der Graph von $f$ für $x< 1,5$ und $x> 4,5$ unterhalb der $x$-Achse.
Es gibt also einen Wert $b$ für $x,$ sodass der Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ mit der $x$-Achse und den Geraden $x=4,5$ und $x=b$ einschließt genauso groß ist, wie der Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ mit der $x$-Achse und den Geraden $x=3$ und $x=4,5$ einschließt. Da die erste der beiden Flächen unterhalb der $x$-Achse liegt und die andere oberhalb, heben sich die Integralwerte gegenseitig wieder auf, sodass $F$ an der Stelle $b$ eine Nullstelle besitzt.
Gleiches gilt aufgerund der Symmetrie einer Parabel auch für die Stelle $x_1= 1,5.$
$F$ besitzt also drei Nullstellen.
4
a)
$\blacktriangleright$  Graphen zuordnen
Für $f_a$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to +\infty}f_a(x)&=& \lim\limits_{x\to +\infty}\left(\frac{1}{a}\cdot x^3-x \right) \\[5pt] &=& +\infty \end{array}$
$ \lim\limits_{x\to +\infty}f_a(x) = +\infty $
Der einzige passende Graph ist der in Abbildung 3.
b)
$\blacktriangleright$  Parameterwert ermitteln
Damit der Graph von $f_a$ an der Stelle $x=3$ einen Extrempunkt besitzt, muss $f_a'(3)=0$ gelten.
$\begin{array}[t]{rll} f_a'(x)&=& \frac{3}{a}\cdot x^2 -1 \\[10pt] 0&=& f_a'(3) \\[5pt] 0&=& \frac{3}{a}\cdot 3^2 -1 \\[5pt] 0&=& \frac{27}{a}-1 &\quad \scriptsize \mid\;+1 \\[5pt] 1&=& \frac{27}{a}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot a \\[5pt] a&=& 27 \end{array}$
$ a = 27 $
Für $a=27$ besitzt der Graph von $f_a$ an der Stelle $x=3$ einen Extrempunkt.
#grenzwert
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