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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Abitur (WTR)
Analysis
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Stochastik
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Geometrie
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
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Geometrie
Aufgabengruppe I
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Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Abi 2015
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
Geometrie Prüfungstei...
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Stochastik Prüfungste...
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Teil B

Aufgaben
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1
#ganzrationalefunktion
$\,$
a)
Ermittle einen Funktionsterm von $f.$
[Zur Kontrolle: $f(x)= \frac{1}{18}\cdot \left(x^3-15x^2+50x \right)$ ]
(4 BE)
$\,$
b)
Zeige, dass $G_f$ im Punkt $W(5\mid 0)$ einen Wendepunkt besitzt, und ermittle eine Gleichung der Tangente an $G_f$ im Punkt $W.$
(6 BE)
#wendepunkt#tangente
$\,$
c)
$G_f$ geht aus dem Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g:\, x\mapsto \frac{1}{18}\cdot \left(x^3 -25x \right)$ durch eine Verschiebung in positive $x$-Richtung hervor. Ermittle, um wie viel der Graph von $g$ dazu verschoben werden muss. Begründe mithilfe der Funktion $g,$ dass der Graph von $f$ symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts ist.
(4 BE)
#punktsymmetrie
$\,$
Im Folgenden wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $F_1$ mit $F_1(x)= \displaystyle\int_{1}^{x}f(t)\;\mathrm dt$ betrachtet.
d)
$F_1$ hat für $0\leq x\leq 10$ zwei ganzzahlige Nullstellen. Gib diese an und begründe deine Angabe.
(3 BE)
#nullstelle
$\,$
e)
Begründe mithilfe von Abbildung 1, dass $F_1$ mindestens eine weitere positie Nullstelle hat.
(2 BE)
$\,$
f)
Begründe, dass $F_1$ höchstens vier Nullstellen hat.
(2 BE)
$\,$
g)
Für $0\leq x\leq 5$ gilt, dass der Graph von $f$ und der Graph einer trigonometrischen Funktion $h$
  • die gleichen Schnittpunkte mit der $x$-Achse besitzen,
  • beide nicht unterhalb der $x$-Achse verlaufen,
  • jeweils mit der $x$-Achse eine Fläche des Inhalts $\frac{625}{72}$ einschließen.
Bestimme einen Term einer solchen Funktion $h.$
(6 BE)
#sinus
2
Die Kosten, die einem Unternehmen bei der Herstellung einer Flüssigkeit entstehen, können durch die Funktion $K:\quad x\mapsto x^3-12x^2+50x+20$ mit $x\in [0;9]$ beschrieben werden. Dabei gibt $K(x)$ die Kosten in $1000$ Euro an, die bei der Produktion von $x$ Kubikmetern der Flüssigkeit insgesamt entstehen. Abbildung 2 zeigt den Graphen von $K.$
$\,$
a)
Gib mithilfe von Abbildung 2
$\alpha)$
die Produktionsmenge an, bei der die Kosten $125\,000$ Euro betragen.
$\beta)$
das Monotonieverhalten von $K$ an und deute deine Angabe im Sachzusammenhang.
(3 BE)
$\,$
Die Funktion $E$ mit $E(x)=23x$ gibt für $0\leq x\leq 9$ den Erlös (in $1000$ Euro) an, den das Unternehmen beim Verkauf von $x$ Kubikmetern der Flüssigkeit erzielt. Für die sogenannte Gewinnfunktion $G$ gilt $G(x)= E(x)-K(x).$ Positive Werte von $G$ werden als Gewinn bezeichnet, negative als Verlust.
b)
Zeige, dass das Unternehmen keinen Gewinn erzielt, wenn vier Kubikmeter der Flüssigkeit verkauft werden.
(2 BE)
$\,$
c)
Zeichne den Graphen von $E$ in Abbildung 2 ein. Bestimme mithilfe der so entstehenden Darstellung den Bereich, in dem die verkaufte Menge der Flüssigkeit liegen muss, damit das Unternehmen einen Gewinn erzielt.
(3 BE)
$\,$
d)
Berechne, welche Menge der Flüssigkeit verkauft werden muss, damit das Unternehmen den größten Gewinn erzielt.
(5 BE)

(40 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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Lösungen
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1
a)
$\blacktriangleright$  Funktionsterm ermittelnTeil B
$f$ ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades und kann daher in folgender Form beschrieben werden:
$f(x)=a\cdot x^3 +b\cdot x^2 +c\cdot x +d$
Aus der Aufgabenstellung lassen sich folgende Bedingungen ableiten:
  • $f(0)=0$
  • $f(5)=0$
  • $f(10)=0$
  • $f(1)=2$
Damit ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&0&=&a\cdot 0^3 +b\cdot 0^2 +c\cdot 0 +d \\ &0&=&d &\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\[5pt] \text{II}\quad&0&=& a\cdot 5^3 +b\cdot 5^2 +c\cdot 5 +d \\ &0&=& 125a +25b + 5c +d \\[5pt] \text{III}\quad&0&=& a\cdot 10^3 +b\cdot 10^2 +c\cdot 10 +d \\ &0&=& 1.000 a +100b +10c +d \\[5pt] \text{IV}\quad&2&=& a\cdot 1^3 +b\cdot 1^2 +c\cdot 1 +d\\ &2&=& a + b +c +d\\ \end{array}$
Aus der ersten Gleichung folgt direkt $d=0.$ Es bleiben also noch drei Gleichungen mit drei Unbekannten:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&0&=& 125a +25b + 5c \\[5pt] \text{II}\quad&0&=& 1.000 a +100b +10c \\[5pt] \text{III}\quad&2&=& a + b +c &\quad \scriptsize \mid\, -a; -b\\ &2-a-b&=& c \\ \end{array}$
Die dritte Gleichung kann nun in die anderen beiden eingesetzt werden:
$\begin{array}{lrll} \text{I'}\quad &0&=& 125a +25b + 5\cdot (2-a-b) \\[5pt] &0&=& 125a +25b +10-5a-5b \\[5pt] &0&=& 120a +20b +10 &\quad \scriptsize \mid \; -20b \\[5pt] &-20b&=& 120a +10 &\quad \scriptsize \mid \; :(-20)\\[5pt] &b&=& -6a -\frac{1}{2} \\[10pt] \text{II'}\quad &0&=& 1.000 a +100b +10\cdot (2-a-b) \\[5pt] &0&=& 1.000 a +100b +20-10a-10b \\[5pt] &0&=& 990 a +90b +20 \end{array}$
$ b = -6a -\frac{1}{2} $
$\text{I'}$ kann nun in $\text{II'}$ eingesetzt werden:
$\begin{array}[t]{rll} \text{II'}\quad 0 &=& 990a +90b +20 &\quad \scriptsize \mid\; b=-6a -\frac{1}{2} \\[5pt] 0 &=& 990a +90\cdot \left(-6a -\frac{1}{2} \right) +20 \\[5pt] 0 &=& 990a -540a -45 +20 \\[5pt] 0 &=& 450a -25 &\quad \scriptsize \mid\; +25 \\[5pt] 25 &=& 450a&\quad \scriptsize \mid\; :450 \\[5pt] \frac{1}{18}&=& a \end{array}$
$ a = \frac{1}{18} $
Daraus ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} b&=& -6\cdot \frac{1}{18} -\frac{1}{2}\\[5pt] &=& -\frac{5}{6} \\[10pt] c&=& 2-a-b \\[5pt] &=& 2-\frac{1}{18}-\left(-\frac{5}{6} \right) \\[5pt] &=& \frac{50}{18} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} b&=& -\frac{5}{6} \\[10pt] c&=& \frac{50}{18} \\[5pt] \end{array}$
Ein Funktionsterm von $f$ lautet:
$f(x)=$ $\frac{1}{18} x^3 -\frac{5}{6}x^2 + \frac{50}{18}x.$
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Wendepunkt nachweisen
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bilden
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& \frac{1}{18}\cdot x^3 -\frac{5}{6}\cdot x^2 +\frac{50}{18}x \\[5pt] f'(x)&=& \frac{1}{6}\cdot x^2 -\frac{5}{3}x +\frac{50}{18} \\[5pt] f''(x)&=& \frac{1}{3}\cdot x -\frac{5}{3} \\[5pt] f'''(x)&=& \frac{1}{3} \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f''(5)&=& \frac{1}{3}\cdot 5 -\frac{5}{3} \\[5pt] &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
Das notwendige Kriterium für Wendestellen ist also an der Stelle $x=5$ erfüllt.
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f'''(5)&=& \frac{1}{3} \neq 0 \end{array}$
Das hinreichende Kriterium für Wendestellen ist also ebenfalls für $x=5$ erfüllt. In der Aufgabenstellung ist bereits angegeben, dass $f(5)=0$ ist. Der Punkt $W(5\mid 0)$ ist also ein Wendepunkt von $G_f.$
$\blacktriangleright$  Tangentengleichung ermitteln
Die Steigung $m$ der Tangente entspricht der Steigung von $G_f$ im Punkt $W,$ kann also mithilfe von $f'$ bestimmt werden:
$\begin{array}[t]{rll} f'(5)&=& \frac{1}{6}\cdot 5^2 -\frac{5}{3}\cdot 5 +\frac{50}{18}\\[5pt] &=& -\frac{25}{18} \end{array}$
$ f'(5)= -\frac{25}{18} $
Mithilfe einer Punktprobe mit den Koordinaten von $W$ lässt sich noch der $y$-Achsenabschnitt bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} t:\quad y&=& m\cdot x +b &\quad \scriptsize \mid\;m=-\frac{25}{18} \\[5pt] y&=& -\frac{25}{18}\cdot x +b &\quad \scriptsize \mid\; W(5\mid 0)\\[5pt] 0&=& -\frac{25}{18}\cdot 5 +b \\[5pt] 0&=& -\frac{125}{18}+b &\quad \scriptsize \mid\;+\frac{125}{18} \\[5pt] \frac{125}{18}&=& b \end{array}$
$ b = \frac{125}{18} $
Eine Gleichung der Tangente an $G_f$ im Punkt $W$ lautet:
$t: \quad y = -\frac{25}{18}\cdot x + \frac{125}{18} $
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Verschiebung ermitteln
Der Funktionsterm von $g$ lässt sich wie folgt umformen:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& \frac{1}{18} \cdot \left(x^3-25x\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{18} \cdot x\cdot \left(x^2-25\right) &\quad \scriptsize \text{3. binomische Formel}\\[5pt] &=& \frac{1}{18} \cdot x\cdot \left(x-5\right)\cdot \left(x+5\right) \\[5pt] \end{array}$
$ g(x)= … $
Die Nullstellen von $g$ sind also $x=0,$ $x=5$ und $x=-5.$ Die Nullstellen von $f$ sind $x=0,$ $x=5$ und $x=10.$ Der Graph von $g$ muss also um $5$ Einheiten in positive $x$-Richtung verschoben werden, damit daraus der Graph von $f$ hervorgeht.
$\blacktriangleright$  Symmetrie begründen
Da der Funktionsterm der ganzrationalen Funktion $g$ nur aus $x$ mit ungeraden Exponenten besteht, ist der Graph von $g$ punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
Da $G_f$ aus $G_g$ durch Verschiebung um $5$ Einheiten in positive $x$-Richtung hervorgeht, ist daher $G_f$ punktsymmetrisch zum Punkt $(5\mid 0),$ also bezüglich seines Wendepunkts.
$\,$
d)
$\blacktriangleright$  Nullstellen angeben
$F_1$ beschreibt die Flächenbilanz der Fläche, die der Graph von $f$ mit der $x$-Achse und den Geraden $x=1$ und $x=x$ einschließt. Ist $x=1,$ handelt es sich um eine entartete Fläche und obere und untere Integrationsgrenze stimmen überein, sodass der Flächeninhalt und der Integralwert $F_1(1)=0$ ist. Eine Nullstelle ist also $x=1.$
Der Inhalt der Teilflächen, die oberhalb der $x$-Achse liegen geht positiv in die Bilanz ein und der Inhalt der Teilflächen, die unterhalb der $x$-Achse liegen, geht negativ in diese Bilanz ein.
Die Fläche, die $G_f$ mit der $x$-Achse und der Gerade $x=1$ bis zum Wendepunkt $W(5\mid 0)$ einschließt, liegt oberhalb der $x$-Achse. Aufgrund der Punktsymmetrie von $G_f$ zu $W$ und da $W$ auf der $x$-Achse liegt, besitzt die Fläche, die $G_f$ mit der $x$-Achse vom Wendepunkt aus mit der Gerade zu $x=9$ einschließt, denselben Flächeninhalt, geht aber negativ in die Flächenbilanz ein, da sie unterhalb der $x$-Achse liegt.
Diese beiden Werte heben sich demnach in der Summe gegenseitig auf, sodass $F_1$ für $x=9$ eine zweite Nullstelle besitzt.
#integral
$\,$
e)
$\blacktriangleright$  Weitere positive Nullstelle begründen
Teil B
Abb. 1: Skizze zur Flächenbilanz
Teil B
Abb. 1: Skizze zur Flächenbilanz
$\,$
f)
$\blacktriangleright$  Maximale Anzahl der Nullstellen begründen
Da $f$ eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist, ist die Integralfunktion $F_1$ eine ganzrationale Funktion vierten Grades. Eine solche Funktion kann höchstens vier Nullstellen besitzen. Daher hat $F_1$ höchstens vier Nullstellen.
$\,$
g)
$\blacktriangleright$  Funktionsterm bestimmen
Aus der Aufgabenstellung lassen sich folgende Bedingungen ableiten:
  1. $h(0)=0$
  2. $h(5)=0$
  3. $h(x)\geq 0$ für $0\leq x \leq 5$
  4. $\displaystyle\int_{0}^{5}h(x)\;\mathrm dx = \frac{625}{72}$
Aufgrund von 1. und 3. eignet sich für $h$ am besten eine Sinusfunktion:
$h(x)= a\cdot \sin(b\cdot x-c)+d$
Dabei sollte $d=0$ sein, damit die Nullstelle bei $x=0$ erhalten bleibt, gleiches gilt für $c,$ also die Verschiebung entlang der $x$-Achse:
$h(x)= a\cdot \sin(b\cdot x)$
Da die nächste Nullstelle nach $x=0$ erst $x=5$ sein soll, beträgt die Periode $p=10.$ $b$ kann daraus wie folgt berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} b&=& \dfrac{2\pi}{p}\\[5pt] &=& \dfrac{2\pi}{10}\\[5pt] &=& \dfrac{\pi}{5} \\[5pt] \end{array}$
Mithilfe der 4. Bedingung lässt sich eine Gleichung aufstellen, mit der $a$ bestimmt werden kann:
$\begin{array}[t]{rll} \frac{625}{72}&=& \displaystyle\int_{0}^{5}h(x)\;\mathrm dx \\[5pt] \frac{625}{72}&=& \displaystyle\int_{0}^{5}a\cdot \sin\left(\dfrac{\pi}{5}\cdot x\right)\;\mathrm dx \\[5pt] \frac{625}{72}&=& \left[-a\cdot \cos\left(\dfrac{\pi}{5}\cdot x\right)\cdot \dfrac{5}{\pi}\right]_0^5 \\[5pt] \frac{625}{72}&=& -a\cdot \cos\left(\dfrac{\pi}{5}\cdot 5\right)\cdot \dfrac{5}{\pi}+a\cdot \cos\left(\dfrac{\pi}{5}\cdot 0\right)\cdot \dfrac{5}{\pi} \\[5pt] \frac{625}{72}&=& a \cdot \dfrac{5}{\pi}+a\cdot \dfrac{5}{\pi} \\[5pt] \frac{625}{72}&=&a \cdot \dfrac{10}{\pi}&\quad \scriptsize \mid\; : \dfrac{10}{\pi} \\[5pt] \frac{625\pi}{720}&=&a \\[5pt] \end{array}$
$ \frac{625\pi}{720}=a $
Eine mögliche Funktionsgleichung für $h$ lautet:
$h(x)=\frac{625\pi}{720} \sin\left(\frac{\pi}{5}\cdot x \right) $
2
a)
$\alpha)$
$\blacktriangleright$  Produktionsmenge angeben
In der Abbildung ist die Schnittstelle des Graphen mit der Gerade $y= 125$ gesucht. Diese lässt sich zu $x\approx 7$ ablesen.
Bei einer Produktionsmenge von ca. $7$ Kubikmetern der Flüssigkeit fallen $125\,000$ Euro Kosten an.
$\beta)$
$\blacktriangleright$  Monotonieverhalten angeben
Der Abbildung lässt sich entnehmen, dass $K$ für $0\leq x \leq 9$ monoton steigt.
Die Kosten steigen also mit der Menge der produzierten Flüssigkeit.
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Ausbleibenden Gewinn zeigen
Für die Gewinnfunktion gilt:
$\begin{array}[t]{rll} G(4)&=& E(4)-K(4) \\[5pt] &=& 23\cdot 4 - \left(4^3-12\cdot 4^2 +50\cdot 4 +20 \right) \\[5pt] &=& 92-92 \\[5pt] &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$ G(4)=0 $
Bei einem Verkauf von $4$ Kubikmetern der Flüssigkeit beträgt der Gewinn $0\,€.$ Das Unternehmen erzielt also keinen Gewinn.
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Erlös einzeichnen und den Bereich für Gewinn bestimmen
Teil B
Abb. 2: Graph von $E$
Teil B
Abb. 2: Graph von $E$
$\,$
d)
$\blacktriangleright$  Menge für den maximalen Gewinn berechnen
Gesucht ist die Maximalstelle $x_M$ von $G$ im Bereich $0\leq x\leq 9.$
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bilden
$\begin{array}[t]{rll} G(x)&=& 23x -\left(x^3-12x^2 +50x +20\right) \\[5pt] &=& -x^3 + 12x^2 - 27x - 20 \\[10pt] G'(x)&=& -3x^2+24x-27 \\[10pt] G''(x)&=& -6x+24\\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& G'(x) \\[5pt] 0&=& -3x^2+24x-27 &\quad \scriptsize \mid\; abc-\text{Formel} \\[5pt] x_{1/2}&=& \dfrac{-24\pm \sqrt{24^2-4\cdot (-3) \cdot(-27) }}{2\cdot (-3)} \\[5pt] &=& \dfrac{-24\pm \sqrt{252}}{-6} \\[5pt] x_1&=& 4-\sqrt{7} \\[5pt] x_2&=& 4+\sqrt{7} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& G'(x) \\[5pt] … \\[5pt] x_1&=& 4-\sqrt{7} \\[5pt] x_2&=& 4+\sqrt{7} \end{array}$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} G''\left(4-\sqrt{7}\right)&=& -6\cdot \left( 4-\sqrt{7}\right)+24 \\[5pt] &=& +6\sqrt{7} > 0 \\[10pt] G''\left(4+\sqrt{7}\right)&=& -6 \cdot \left( 4 + \sqrt{7}\right) + 24 \\[5pt] &=& -6\sqrt{7} <0 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} G''\left(4-\sqrt{7}\right) > 0 \\[10pt] G''\left(4+\sqrt{7}\right)<0 \\[5pt] \end{array}$
An der Stelle $x= 4+\sqrt{7} $ besitzt der Graph von $G$ einen Hochpunkt.
4. Schritt: Funktionswerte vergleichen
Vergleiche die Funktionswerte an den Intervallrändern mit dem im Hochpunkt:
$\begin{array}[t]{rll} G(0)&=& -0^3 + 12\cdot 0^2 - 27\cdot 0 - 20 \\[5pt] &=& -20 \\[10pt] G(9)&=& -9^3 + 12\cdot 9^2 - 27\cdot 9 - 20 \\[5pt] &=& -20 \\[5pt] G\left(4+\sqrt{7}\right)&=& -\left(4+\sqrt{7}\right)^3 + 12\cdot \left(4+\sqrt{7}\right)^2 - 27\cdot \left(4+\sqrt{7}\right) - 20 \\[5pt] &\approx& 37,04 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} G(0)&=& -20 \\[10pt] G(9)&=& -20 \\[5pt] G\left(4+\sqrt{7}\right)&\approx& 37,04 \end{array}$
Es müssen $4+\sqrt{7}\approx 6,6$ Kubikmeter der Flüssigkeit verkauft werden, damit das Unternehmen den größten Gewinn erzielt.
#extrempunkt
Bildnachweise [nach oben]
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