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Teil A

Aufgaben
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1
Ein Glücksrad besteht aus fünf gleich großen Sektoren. Einer der Sektoren ist mit „0“ beschriftet, einer mit „1“ und einer mit „2“ ; die beiden anderen Sektoren sind mit „9“ beschriftet.
a)
Das Glücksrad wird viermal gedreht. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahlen $2,$ $0,$ $1$ und $9$ in der angegebenen Reihenfolge erzielt werden.
(2 BE)
b)
Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der erzielten Zahlen mindestens $11$ beträgt.
(3 BE)
#wahrscheinlichkeit
2
Die Zufallsgröße $X$ kann ausschließlich die Werte $1,$ $4,$ $9$ und $16$ annehmen. Bekannt sind $P(X=9)=0,2$ und $P(X=16) = 0,1$ sowie der Erwartungswert $E(X)=5.$ Bestimme mithilfe eines Ansatzes für den Erwartungswert die Wahrscheinlichkeiten $P(X=1)$ und $P(X=4).$
(3 BE)
#erwartungswert
3
Gegeben ist eine Bernoullikette mit der Länge $n$ und der Trefferwahrscheinlihckeit $p.$ Erkläre, dass für alle $k\in \{0;1;2;…;n\}$ die Beziehung $B(n;p;k) = B(n;1-p;n-k)$ gilt.
(2 BE)

(10 BE)
#bernoullikette
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Lösungen
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1
a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnenTeil A
Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} p &=& \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{2}{5}\\[5pt] &=& \frac{2}{625} \\[5pt] \end{array}$
$ p=\frac{2}{625} $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{2}{625}$ werden die Zahlen $2,$ $0,$ $1$ und $9$ genau in der angegebenen Reihenfolge erzielt.
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Die Summe der beiden erzielten Zahlen kann nur dann mindestens $11$ betragen, wenn es sich bei den erzielten Zahlen um eine $9$ und eine $2$ oder um eine $9$ und eine $9$ handelt. Mit den Pfadregeln folgt:
$\begin{array}[t]{rll} p &=& \frac{2}{5}\cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{5}\cdot \frac{2}{5} + \frac{2}{5}\cdot \frac{2}{5}\\[5pt] &=& \frac{8}{25} \\[5pt] \end{array}$
$ p=\frac{8}{25} $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{8}{25}$ beträgt die Summe der beiden erzielten Zahlen mindestens $11.$
#pfadregeln
2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Es ergibt sich folgender Ansatz für den Erwartungswert:
$\begin{array}[t]{rll} E(X) &=& 1\cdot P(X=1) + 4\cdot P(X=4) + 9\cdot P(X=9) + 16\cdot P(X=16) \\[5pt] 5 &=& 1\cdot P(X=1) + 4\cdot P(X=4) + 9\cdot 0,2 + 16\cdot 0,1 \\[5pt] 5 &=& 1\cdot P(X=1) + 4\cdot P(X=4) + 3,4 &\quad \scriptsize\mid \; -3,4 \\[5pt] 1,6 &=& 1\cdot P(X=1) + 4\cdot P(X=4) \end{array}$
$ 1,6 = 1\cdot P(X=1) + 4\cdot P(X=4) $
Da $X$ ausschließlich die angegebenen vier Werte annehmen kann, muss die Summe der vier Wahrscheinlichkeiten $1$ ergeben, es folgt also:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=1) + P(X=4) + P(X=9) +P(X=16) &=& 1 \\[5pt] P(X=1) + P(X=4) + 0,2 +0,1 &=& 1 \\[5pt] P(X=1) + P(X=4) + 0,3 &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\;-0,3 \\[5pt] P(X=1) + P(X=4) &=& 0,7 &\quad \scriptsize \mid\; -P(X=1) \\[5pt] P(X=4) &=& 0,7-P(X=1) \end{array}$
$ P(X=4) = 0,7-P(X=1) $
Dies kannst du nun in das Ergebnis von oben einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} 1,6 &=& 1\cdot P(X=1) + 4\cdot P(X=4) &\quad \scriptsize \mid\;P(X=4) = 0,7-P(X=1) \\[5pt] 1,6 &=& P(X=1) + 4\cdot \left(0,7-P(X=1) \right) \\[5pt] 1,6 &=& P(X=1) +2,8 -4\cdot P(X=1) \\[5pt] 1,6 &=& -3P(X=1) +2,8 &\quad \scriptsize \mid\; -2,8 \\[5pt] -1,2 &=& -3P(X=1) &\quad \scriptsize \mid\;:(-3) \\[5pt] 0,4 &=& P(X=1) \end{array}$
$ 0,4 = P(X=1) $
Für $P(X=4)$ folgt nun:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=4) &=& 0,7-P(X=1) \\[5pt] &=& 0,7-0,4 \\[5pt] &=& 0,3 \end{array}$
Insgesamt ist also $P(X=1) = 0,4$ und $P(X=4) = 0,3.$
3
$\blacktriangleright$  Beziehung erklären
Wenn $p$ die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn bezeichnet, dann beschreibt $1-p$ die Wahrscheinlichkeit für eine Niete.
$k$ ist dann die Anzahl der gewünschten Gewinne bei $n$ Versuchen. Wenn $k$ der Versuche einen Gewinn liefern, müssen die übrigen $n-k$ Versuche eine Niete liefern, da es bei Bernoulliversuchen nur die beiden Ausgangsmöglichkeiten Gewinn oder Niete gibt.
$n-k$ beschreibt also die Anzahl der gewünschten Nieten bei $k$ gewünschten Gewinnen.
Die angegebene Wahrscheinlichkeit $B(n;p;k)$ ist dann die Wahrscheinlichkeit für genau $k$ Gewinnen bei $n$ Versuchen. Diese entspricht der Wahrscheinlichkeit für $n-k$ Nieten bei $n$ Versuchen. Diese wird wiederum durch $B(n;1-p;n-k)$ beschrieben.
Daher ist $B(n;p;k) = B(n;1-p;n-k).$
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