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Analysis Prüfungsteil A

Aufgaben
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Aufgabengruppe 1

1
  Gegeben ist die Funktion $f:x \mapsto \sqrt{1-\text{ln}\,x}$ mit maximaler Definitionsmenge $D$.
a)
Bestimme $D$.
(2P)
b)
Bestimme den Wert $x\in D$ mit $f(x)=2$.
(2P)
#definitionsbereich
2
Zeige, dass der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g: x \mapsto x^2 \cdot \text{sin}\,x$ punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist, und gib den Wert des Integrals $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\,x^2\cdot \text{sin}\, x \; \mathrm dx$ an.
(3P)
#integral#punktsymmetrie
3
Skizziere im Bereich $-1\leq x\leq 4$ den Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit den folgenden Eigenschaften:
  • $f$ ist nur an der Stelle $x = 3$ nicht differenzierbar.
  • $f(0) =2$ und für die Ableitung $f'$ von $f$ gilt: $f'(0)=-1$.
  • Der Graph von $f$ ist im Bereich $-1<x<3$ linksgekrümmt.
(3P)
#ableitung#krümmung#differenzierbar
4
Gegeben ist eine in $\mathbb{R}$ definierte ganzrationale Funktion $f$ dritten Grades, deren Graph $G_f$ an der Stelle $x = 1$ einen Hochpunkt und an der Stelle $x = 4$ einen Tiefpunkt besitzt.
a)
Begründe, dass der Graph der Ableitungsfunktion $f'$ von $f$ eine Parabel ist, welche die $x$-Achse in den Punkten $(1\mid 0)$ und $(4\mid 0)$ schneidet und nach oben geöffnet ist.
(3P)
b)
Begründe, dass $2,5$ die $x$-Koordinate des Wendepunkts von $G_f$ ist.
(2P)
#ganzrationalefunktion#wendepunkt#extrempunkt#ableitung
5
Die Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$.
a)
Bestimme mithilfe der Abbildung 1 einen Näherungswert für $\displaystyle\int_{3}^{5}\, f(x)\,\mathrm dx$.
(2P)
Die Funktion $F$ ist die in $\mathbb{R}$ definierte Stammfunktion von $f$ mit $F(3) =0$
b)
Gib mithilfe der Abbildung 1 einen Näherungswert für die Ableitung von $F$ an der Stelle $x=2$ an.
(1P)
c)
Zeige, dass $F(b)=\displaystyle\int_{3}^{b}f(x)\;\mathrm dx$ mit $b\in\mathbb{R}$ gilt.
(2P)

(20P)
#stammfunktion#ableitung

Aufgabengruppe 2

1
Gegeben ist die Funktion $f:x \mapsto \dfrac{\mathrm{ln}x}{x^2}$ mit maximalem Definitionsbereich $D$.
a)
Gib $D$ sowie die Nullstelle von $f$ an und bestimme $\lim\limits_{x\to 0}\, f(x)$.
(3P)
b)
Ermittle die $x$-Koordinate des Punkts, in dem der Graph von $f$ eine waagerechte Tangente hat.
(4P)
#definitionsbereich#tangente#limes
2
Gib jeweils den Term und den Definitionsbereich einer Funktion an, die die angegebene(n) Eigenschaft(en) besitzt.
a)
Der Punkt $(2\mid 0)$ ist ein Wendepunkt des Graphen von $g$.
(2P)
b)
Der Graph der Funktion $h$ ist streng monoton fallend und rechtsgekrümmt.
(2P)
#krümmung#definitionsbereich#wendepunkt#monotonie
3
Abbildung 2 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$.
a)
Bestimme mithilfe von Abbildung 2 einen Näherungswert für $\displaystyle\int_{3}^{5}f(x)\;\mathrm dx$.
(2P)
Die Funktion $F$ ist die in $\mathbb{R}$ definierte Stammfunktion von $f$ mit $F(3)=0$.
b)
Gib mithilfe von Abbildung 2 einen Näherungswert für die Ableitung von $F$ an der Stelle $x=2$ an.
(1P)
c)
Zeige, dass $F(b)=\displaystyle\int_{3}^{b}f(x)\;\mathrm dx$ mit $x\in\mathbb{R}$ gilt.
(2P)
#integral#stammfunktion
4
Abbildung 3 zeigt den Graphen $G_k$ einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $k$.
Skizziere in Abbildung 3 den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion $k'$. Berücksichtige dabei insbesondere einen Näherungswert für die Steigung des Graphen $G_k$ an dessen Wendepunkt $(0 \mid -3)$ sowie die Nullstelle von $k'$.
(4P)

(20P)
#steigung#wendepunkt#ableitung
Bildnachweise [nach oben]
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Tipps
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Aufgabengruppe 1
1)
a)
$\blacktriangleright$  Maximalen Definitonsbereich bestimmen
Du sollst den maximalen Definitionsbereich der Funktion $f:\, x\mapsto \sqrt{1-\ln x}$ bestimmen.
Hierzu betrachtest du zuerst das Argument der Wurzel: $1-\ln x$. Dieses darf nicht negativ werden bzw. muss immer größer oder gleich $0$ sein. Ein weiteres Problem stellt der natürliche Logarithmus dar. Dessen Argument darf nicht negativ oder $0$ sein.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Du sollst die Stelle $x$ im Definitionsbereich bestimmen, für welche $f(x)=2$ gilt. Du erhältst eine Gelcihung, welche du nach $x$ auflösen musst.
2)
$\blacktriangleright$  Punktsymmetrie nachweisen
Du sollst nachweisen, dass der Graph der Funktion $g:\, x\mapsto x^2\cdot\sin x$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
Für einen punktsymmetrischen Graphen gilt, für jede Stelle im Definitonsbereich, $g(-x)=-g(x)$.
$\blacktriangleright$  Integral berechnen
Du sollst den Wert eines Integrals berechnen. Da die Bestimmung einer Stammfunktion schwierig ist, nutzt du die Punktsymmetrie des Graphen. Du teilst das Integral in zwei gleich große Intervalle auf und wirfst einen genauen Blick auf diese Integrale.
3)
$\blacktriangleright$  Graph skizzieren
Du sollst den Graph einer Funktion skizzieren, welcher folgende drei Bedingungen erfüllt:
  • $f$ ist nur an der Stelle $x=3$ nicht differenzierbar
  • $f(0)=2$ und für die Ableitung $f'$ von $f$ gilt: $f'(0)=-1$
  • Der Graph von $f$ ist im Bereich $-1<x<3$ linksgekrümmt
Um dir diese Bedingungen im Graphen sichtbar zu machen, zeichnest du eine senkrechte Asymptote bei $x=3$ und eine Gerade mit Steigung $-1$ durch den Punkt $(0\vert 2)$. Danach kannst du eine Funktion skizzieren, auf welche die Bedingungen passen.
4)
a)
$\blacktriangleright$  Eigenschaften der Ableitung begründen
Du sollst begründen, dass die Ableitung von $f$ eine Parabel ist, sowie die Nullstellen $1$ und $4$ besitzt und nach oben geöffnet ist. Dazu überlegst du, was diese Bedingungen der Ableitung für den Graphen bedeuten.
  • Ist die Ableitung eine Parabel, also eine Funktion von Grad $2$, so ist die Funktion von Grad $3$.
  • Eine Nullstelle der Ableitung bedeutet für den Graphen einen Extrempunkt.
  • Nach oben geöffnet, bedeutet, dass die Ableitung für betragsmäßig große $x$ positiv ist. Die Funktion steigt für diese $x$. Daraus schließt du, dass $f(x)\overset{x\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\infty$ und $f(x)\overset{x\rightarrow -\infty}{\longrightarrow} -\infty$ gilt.
Nun überprüfst du diese Bedingungen.
b)
$\blacktriangleright$  Wendestelle begründen
Du sollst begründen, dass $x=2,5$ die Wendestelle des Graphen von $f$ ist. Dazu nutzt du aus, dass die Ableitung eine Parabel und somit symmetrisch ist. Die einzige Stelle einer Parabel, welche die Steigung $0$ besitzt, liegt genau zwischen den zwei Nullstellen. Die Wendestelle des Graphen von $f$ dementsprechend auch.
5)
a)
$\blacktriangleright$  Näherungswert des Integrals bestimmen
Du sollst anhand des Funktionsgraphen einen Näherungswert für das Integral mit den Grenzen $3$ und $5$ bestimmen. Dazu zerlegst du die Fläche in Drei- und Vierecke.
b)
$\blacktriangleright$  Wert der Ableitung bestimmen
Du sollst einen Wert für die Ableitung der Stammfunktion $F$ an der Stelle $x=2$ angeben. Da $F$ eine Stammfunktion von $f$ mit $F(3)=0$ ist, gilt: $F'(x)=f(x)$.
c)
$\blacktriangleright$  Gleichheit zeigen
Du sollst zeigen, dass $F(b)=\int\limits_3^b f(x)\; dx $ gilt. Dazu betrachtest du die zwei Intervalle links und rechts von $b=3$ und genau die Stelle $b=3$.
Aufgabengruppe 2
1)
a)
$\blacktriangleright$  Definitionsbereich bestimmen
Du sollst den Definitionsbereich $D$ sowie die Nullstellen und den Grenzwert der Funktion $f:\, x\mapsto\dfrac{\ln x}{x^2}$ bestimmen. Für den Definitionsbereich betrachtest du zuerst den Nenner $x^2$. Dieser darf nie gleich Null sein. Anschließend betrachtest du den Zähler. Der Logarithmus ist nur für strikt positive Werte definiert.
$\blacktriangleright$  Nullstellen bestimmen
Für die Nullstellen der Funktion sind lediglich die Nullstellen des Zählers zu betrachten.
$\blacktriangleright$  Grenzwert bestimmen
Du sollst den Grenzwert von $f(x)$ für $x\to 0$ bestimmen. Der Funktionsterm besteht aus einem Bruch. Überlege dir für die beiden Terme im Zähler und Nenner zunächst unabhängig den Grenzwert für $x\to 0$.
b)
$\blacktriangleright$  Stelle mit waagerechter Tangente bestimmen
Du sollst die $x$-Koordinate der Stelle bestimmen, an welcher der Graph eine waagerechte Tangente besitzt. Waagerechte Tangenten besitzen die Steigung $0$. Somit suchst du eine Nullstelle der Ableitung, welche du über die Quotientenregel erhältst:
$\dfrac{d}{dx}\dfrac{u(x)}{v(x)}=\dfrac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}$
$\dfrac{d}{dx}\dfrac{u(x)}{v(x)}=\dfrac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}$
2)
a)
$\blacktriangleright$  Term und Definitionsbereich angeben
Du sollst den Term und den Definitionsbereich einer Funktion angeben, welche die Eigenschafft erfüllt, dass $(2\vert 0)$ ein Wendepunkt des Graphen von $g$ ist.
Für einen Wendepunkt muss die zweite Ableitung $0$, aber nicht konstant sein. Die einfachste Form ist deshalb die Verschiebung einer Geraden. Durch Integration erhältst du $g(x)$.
b)
$\blacktriangleright$  Term und Definitionsbereich angeben
Der Graph der Funktion $h$ soll streng monoton fallend und rechtsgekrümmt sein. Die Rechtskrümmung ergibt sich durch eine immer negative Ableitung, setzt diese deshalb auf $h''(x)=1$. Durch Integration erhältst du $h(x)$.
3)
a)
$\blacktriangleright$  Näherungswert des Integrals bestimmen
Du sollst anhand des Funktionsgraphen einen Näherungswert für das Integral mit den Grenzen $3$ und $5$ bestimmen. Dazu zerlegst du die Fläche in Drei- und Vierecke. Die Nährung entspricht somit der Summe der Flächeninhalte.
b)
$\blacktriangleright$  Wert der Ableitung bestimmen
Du sollst einen Wert für die Ableitung der Stammfunktion $F$ an der Stelle $x=2$ angeben. Da $F$ eine Stammfunktion von $f$ mit $F(3)=0$ ist, gilt: $F'(x)=f(x)$.
c)
$\blacktriangleright$  Gleichheit zeigen
Du sollst zeigen, dass $F(b)=\int\limits_3^b f(x)\; dx $ gilt. Dazu betrachtest du die zwei Intervalle links und rechts von $b=3$ und genau die Stelle $b=3$.
4)
$\blacktriangleright$  Ableitung skizzieren
Du sollst zu einem gegebenen Funktionsgraphen die Ableitung skizzieren und dabei besonders auf die Steigung am Wendepunkt $(0\vert -3)$ achten. Zeichne dir idealerweise ein paar Tangenten an den Graphen und markiere signifikante Stellen wie Wende- und Extremstellen.
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Aufgabengruppe 1
1)
a)
$\blacktriangleright$  Maximalen Definitonsbereich bestimmen
Du sollst den maximalen Definitionsbereich der Funktion $f:\, x\mapsto \sqrt{1-\ln x}$ bestimmen.
Hierzu betrachtest du zuerst das Argument der Wurzel: $1-\ln x$. Dieses darf nicht negativ werden bzw. muss immer größer oder gleich $0$ sein.
$\begin{array}[t]{rll} 0&\leq & 1-\ln x &\quad \scriptsize \mid\; +\ln x \\[5pt] \ln x&\leq& 1 &\quad \scriptsize \mid\; e \\[5pt] x &\leq & e \end{array}$
Somit hast du $x$ zumindest auf einer Seite eingegrenzt. Ein weiteres Problem stellt der natürliche Logarithmus dar. Dessen Argument darf nicht negativ oder $0$ sein. Daraus erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} x&>& 0 \end{array}$
$x$ ist nun auf beiden Seiten durch Bedingungen eingeschränkt und du kannst den Definitionsbereich angeben:
$\begin{array}[t]{rll} D&=& ( 0,\,e ] \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Du sollst die Stelle $x$ im Definitionsbereich bestimmen, für welche $f(x)=2$ gilt. Du erhältst folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} 2&=& \sqrt{1-\ln x} &\quad \scriptsize \mid\; {}^2 \\[5pt] 4&=& 1-\ln x &\quad \scriptsize \mid\; +\ln x \; -4 \\[5pt] \ln x &=& -3 &\quad \scriptsize \mid\; e \\[5pt] x &=& e^{-3} \\[5pt] &\approx& 0,0498 \end{array}$
$x=0,0498$ ist Lösung der Gleichung und die gesuchte Stelle.
#definitionsbereich#logarithmusfunktion
2)
$\blacktriangleright$  Punktsymmetrie nachweisen
Du sollst nachweisen, dass der Graph der Funktion $g:\, x\mapsto x^2\cdot\sin x$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
Für einen punktsymmetrischen Graphen gilt, für jede Stelle im Definitonsbereich, $g(-x)=-g(x)$:
$\begin{array}[t]{rll} f(-x)&=& (-x)^2\cdot \sin (-x) &\quad \scriptsize \mid\; (-x)^2=x^2 \\[5pt] &=& x^2\cdot \sin (-x) &\quad \scriptsize \mid\; \sin(-x)=-\sin x \\[5pt] -f(x)&=& -x^2\cdot \sin x \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(-x)&=& \quad … \end{array}$
Der Graph der Funktion $f$ ist somit punktsymmetrisch.
$\blacktriangleright$  Integral berechnen
Du sollst den Wert eines Integrals berechnen. Da die Bestimmung einer Stammfunktion schwierig ist, nutzt du die Punktsymmetrie des Graphen. Du teilst das Integral auf:
$\begin{array}[t]{rll} \int\limits_{-\pi}^\pi x^2\cdot \sin x\; dx&=& \int\limits_{-\pi}^0 x^2\cdot \sin x\; dx + \int\limits_{0}^\pi x^2\cdot \sin x\; dx \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \int\limits_{-\pi}^\pi x^2\cdot \sin x\; dx&=& \quad … \end{array}$
Da der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist, heben sich die Integrale gegenseitig auf:
$\begin{array}[t]{rll} \int\limits_{-\pi}^0 x^2\cdot \sin x\; dx + \int\limits_{0}^\pi x^2\cdot \sin x\; dx&=& 0 \\[5pt] \end{array}$
Der Wert des Integrals beträgt somit $0$.
#punktsymmetrie#integral
3)
$\blacktriangleright$  Graph skizzieren
Du sollst den Graph einer Funktion skizzieren, welcher folgende Bedingungen erfüllt:
  • $f(x)$ ist auf $\mathbb{R}$ definiert.
  • $f$ ist nur an der Stelle $x=3$ nicht differenzierbar.
  • $f(0)=2$ und für die Ableitung $f'$ von $f$ gilt: $f'(0)=-1$.
  • Der Graph von $f$ ist im Bereich $-1<x<3$ linksgekrümmt.
Der erste Punkt bedeutet, dass $f$ an jeder Stelle einen Funktionswert besitzen muss. Da $f$ aber bei $x=3$ nicht differenzierbar sein soll, muss der Graph an dieser Stelle einen Knick aufweisen. Wähle also am besten eine zusammengesetzen Funktion, die aus zwei Teilen besteht.
Wegen des vierten Punkts, bietet sich für den Bereich $x < 3$ eine nach oben geöffnete Parabel an. Wegen der dritten Bedingung muss die Parabel durch den Punkt $P(0\mid2)$ verlaufen und dort die Steigung $-1$ besitzen. Letzteres bedeutet, dass es in diesem Punkt eine Tangente mit der Steigung $-1$ an die Parabel gibt. Die Tangente und den Punkt $P$ kannst du zur Orientierung in das Koordinatensystem einzeichnen.
Für den Bereich $x \geq 3$ ist nur wichtig, dass die Funktion in diesem Bereich keine Definitionslücken aufweist. Es kann sich also beispielsweise um eine Gerade handeln.
Foglendes Schaubild erfüllt beispielsweise alle Bedingungen:
Analysis Prüfungsteil A
Abb. 1: Skizze des Funktionsgraphens
Analysis Prüfungsteil A
Abb. 1: Skizze des Funktionsgraphens
#ableitung#differenzierbar#krümmung
4)
a)
$\blacktriangleright$  Eigenschaften der Ableitung begründen
Du sollst begründen, dass die Ableitung von $f$ eine Parabel ist, sowie die Nullstellen $1$ und $4$ besitzt und nach oben geöffnet ist. Dazu überlegst du, was diese Bedingungen der Ableitung für den Graphen bedeuten.
  • Ist die Ableitung eine Parabel, also eine Funktion von Grad $2$, so ist die Funktion von Grad $3$.
  • Eine Nullstelle der Ableitung bedeutet für den Graphen einen Extrempunkt.
  • Nach oben geöffnet, bedeutet, dass die Ableitung für betragsmäßig große $x$ positiv ist. Die Funktion steigt für diese $x$. Daraus schließt du, dass $f(x)\overset{x\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\infty$ und $f(x)\overset{x\rightarrow -\infty}{\longrightarrow} -\infty$ gilt.
Betrachtest du nun den Hochpunkt an der Stelle $x=1$ und den Tiefpunkt an der Stelle $x=4$, ist die erste Bedingung erfüllt. Die zweite Bedingung folgt direkt aus dem Aufgabentext. Abschließend überlegst du, wie die Funktion verläuft. Sie besitzt für $x=1$ einen Hochpunkt, insbesondere fällt sie davor. An der Stelle $x=4$ liegt ein Hochpunkt des Graphen vor. Die Funktion steigt danach weiter. Da eine Funktion dritten Grades maximal zwei Extrempunkte besitzen kann, kann es weiter rechts und links der beiden Extremstellen keine weiteren Extremstellen geben. Damit für $x=1$ ein Hochpunkt vorliegt, muss $f'$ nach oben geöffnet sein.
b)
$\blacktriangleright$  Wendestelle begründen
Du sollst begründen, dass $x=2,5$ die Wendestelle des Graphen von $f$ ist. Dazu nutzt du aus, dass die Ableitung eine Parabel und somit symmetrisch ist. Die einzige Stelle einer Parabel, welche die Steigung $0$ besitzt, liegt genau zwischen den zwei Nullstellen. Die Wendestelle des Graphen von $f$ dementsprechend auch. Du berechnest somit das arithmetische Mittel der beiden Nullstellen für die Wendestelle $x_W$.
$\begin{array}[t]{rll} x_W&=& \frac{1+4}{2} \\[5pt] &=& \frac{5}{2}=2,5 \end{array}$
Somit liegt die Wendestelle des Graphen von $f$ bei $x=2,5$.
#parabel#wendepunkt#extrempunkt#ableitung
5)
a)
$\blacktriangleright$  Näherungswert des Integrals bestimmen
Du sollst anhand des Funktionsgraphen einen Näherungswert für das Integral mit den Grenzen $3$ und $5$ bestimmen.
Analysis Prüfungsteil A
Abb. 2: Näherung des Integrals
Analysis Prüfungsteil A
Abb. 2: Näherung des Integrals
Dazu zerlegst du die Fläche in Drei- und Vierecke. Die Näherung entspricht somit der Summe der Flächeninhalte. Für das Viereck mit den Kantenlängen $5-3=2$ und $f(3)$ ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} A_{4}&=& 2\cdot f(3) \\[5pt] &\approx& 2\cdot 0,75 \\[5pt] &=& 1,5 \end{array}$
Das auf dem Viereck sitzende rechtwinklige Dreieck hat die lange Seite mit dem Viereck gemeinsam. Die Länge der kurzen Seite ist $f(5)-f(3)$:
$\begin{array}[t]{rll} A_3&=& \frac{1}{2}\cdot 2\cdot (f(5)-f(3)) \\[5pt] &=& f(5)-f(3) \\[5pt] &\approx& 1,6-0,75 \\[5pt] &=& 0,85 \end{array}$
Für beide Flächen zusammen, beziehungsweise für die Näherung des Integrals, ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} \int\limits_3^5 f(x)\; dx&\approx& A_4+A_3 \\[5pt] &=& 2,35 \end{array}$
Du kannst einen Näherungswert für das Integral mit ungefähr $2,35$ angeben.
b)
$\blacktriangleright$  Wert der Ableitung bestimmen
Du sollst einen Wert für die Ableitung der Stammfunktion $F$ an der Stelle $x=2$ angeben. Da $F$ eine Stammfunktion von $f$ mit $F(3)=0$ ist, gilt:
$\begin{array}[t]{rll} F(x)&=&\int f(x)\, dx +c \\[5pt] F'(x)&=& \frac{d}{dx}\left(\int f(x)\, dx \right)+c \\[5pt] &=& f(x) \end{array}$
Du kannst somit die Ableitung am Funktionsgraphen ablesen und erhältst:
$\begin{array}[t]{rll} F'(2)&=& f(2) \\[5pt] &=& 0,5 \end{array}$
Die Ableitung der Funktion $F$ an der Stelle $x=2$ beträgt $0,5$.
c)
$\blacktriangleright$  Gleichheit zeigen
Du sollst zeigen, dass $F(b)=\int\limits_3^b f(x)\; dx $ gilt. Dazu betrachtest du die zwei Intervalle links und rechts von $b=3$ und genau die Stelle $b=3$.
1. Schritt: Integral an der Stelle $b=3$
Für $x=3$ kennst du den Funkitonswert aus der Aufgabenstellung und prüfst diesen nach, dazu verwendest du den Hauptsatz der Integralrechnung:
$\begin{array}[t]{rll} F(3)&=& \int\limits_3^3 f(x) \; dx \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
Dies entspricht der Definition von $F$ und ist somit korrekt.
2. Schritt: Integral für $b>3$
Als nächstes betrachtest du das Intervall $(3,\infty)$. In diesem Bereich entspricht das Integral, und somit der Funktionswert, der Fläche unter $f$. Die Gleichheit ist per Definition gezeigt.
3. Schritt: Integral für $b<3$
Im Intervall $(-\infty,3)$ ist das Integral, wie es gegeben ist, nicht berechenbar und du verwendest erst den Hauptsatz der Integralrechnung:
$\begin{array}[t]{rll} F(b)&=& \int\limits_3^b f(x)\; dx &\quad \scriptsize \mid\; b<3 \\[5pt] &=& -\int\limits_b^3 f(x)\; dx \end{array}$
Für $b<3$ wird der Funktionswert durch Subtraktion des Flächeninhaltes berechnet, was der Aussage entspricht.
#ableitung#stammfunktion
Aufgabengruppe 2
1)
a)
$\blacktriangleright$  Definitionsbereich bestimmen
Du sollst den Definitionsbereich $D$ sowie die Nullstellen und den Grenzwert der Funktion $f:\, x\mapsto\dfrac{\ln x}{x^2}$ bestimmen. Für den Definitionsbereich betrachtest du zuerst den Nenner $x^2$.
$\dfrac{1}{x^2}$ ist für alle $x$ außer $0$ definiert. Du erhältst einen ersten Definitionsbereich von $D_1=\mathbb{R}\setminus \{0\}$.
Im Zähler $\ln x$ dürfen nur strickt positive Argumente verwendet werden, der Definitionsbereich des $\ln$ ist $D_2=\mathbb{R}^+=(0,\infty)$.
Zusammenfassend ergibt sich für den gesuchten Definitionsbereich $D$:
$\begin{array}[t]{rll} D&=& D_1\cup D_2 \\[5pt] &=& \mathbb{R}^+=(0,\infty) \end{array}$
$\blacktriangleright$  Nullstellen bestimmen
Für die Nullstellen der Funktion sind lediglich die Nullstellen des Zählers zu betrachten:
$\begin{array}[t]{rll} \ln x&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; e \\[5pt] x&=& e^0=1 \end{array}$
$x=1$ ist die einzige Nullstelle des $\ln$ und liegt im Definitionsbereich $D$, somit ist es auch Nullstelle von $f$.
$\blacktriangleright$  Grenzwert bestimmen
Du sollst den Grenzwert von $f(x)$ für $x\to 0$ bestimmen. Der Funktionsterm besteht aus einem Bruch. Überlege dir für die beiden Terme im Zähler und Nenner zunächst unabhängig den Grenzwert für $x\to 0$.
Im Zähler steht $\ln(x)$. Für $x=0$ ist dies nicht definiert. Du kennst aber den groben Verlauf der Logarithmusfunktion und weißt daher, dass $\ln(x)$ für $x < 1$ negativ ist und für immer kleinere $x$ auch immer kleiner wird, und zwar unbegrenzt. Daher gilt
$\lim\limits_{x\to0} \ln(x) = -\infty$
Im Nenner des Bruchs steht $x^2$. Dies ist definiert, es ist $ 0^2 = 0$. Es wird also sozusagen $-\infty$ durch $0$ geteilt. Es kann aber nicht durch $0$ geteilt werden. Betrachtest du also den Grenzwert, wird $-\infty$ durch einen sehr kleinen aber positiven Wert geteilt. Und daher ist:
$\lim\limits_{x\to0} \dfrac{\ln(x)}{x^2} = -\infty$.
b)
$\blacktriangleright$  Stelle mit waagerechter Tangente bestimmen
Du sollst die $x$-Koordinate der Stelle bestimmen, an welcher der Graph eine waagerechte Tangente besitzt. Waagerechte Tangenten besitzen die Steigung $0$. Somit suchst du eine Nullstelle der Ableitung, welche du über die Quotientenregel erhältst:
$\dfrac{d}{dx}\dfrac{u(x)}{v(x)}=\dfrac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}$
$\dfrac{d}{dx}\dfrac{u(x)}{v(x)}=\dfrac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}$
Mit $u(x)=\ln x$ und $v(x)=x^2$ ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& \dfrac{\dfrac{1}{x}\cdot x^2-\ln x \cdot 2\cdot x}{x^4} \\[5pt] &=& \dfrac{1-2\cdot \ln x}{x^3} \end{array}$
Für die Nullstelle betrachtest du lediglich den Zähler:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& 1-2\cdot \ln x &\quad \scriptsize \mid\; +2\cdot \ln x \\[5pt] 1&=& 2\cdot \ln x &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] \frac{1}{2}&=&\ln x &\quad \scriptsize \mid\; e \\[5pt] x&=&\sqrt{e} \end{array}$
Für $x=\sqrt{e}$ besitzt der Graph von $f$ eine waagerechte Tangente.
#definitionsbereich#quotientenregel#quader#tangente#nullstelle
2)
a)
$\blacktriangleright$  Term und Definitionsbereich angeben
Du sollst den Term und den Definitionsbereich einer Funktion angeben, welche die Eigenschafft erfüllt, dass $(2\vert 0)$ ein Wendepunkt des Graphen von $g$ ist.
Für einen Wendepunkt muss die zweite Ableitung $0$, aber nicht konstant sein. Die einfachste Form ist deshalb die Verschiebung einer Geraden. Du erhältst durch Integration, wobei $c=0$ ist:
$\begin{array}[t]{rll} g''(x)&=& x-2 \\[5pt] g'(x)&=& \frac{1}{2}\cdot x^2-2\cdot x \\[5pt] g(x)&=& \frac{1}{6}\cdot x^3 -x^2 \end{array}$
Der Graph von $g$ besitzt an der Stelle $x=2$ einen Wendepunkt. Dieser hat aber noch nicht die $y$-Koordinate null:
$g(2)= \frac{1}{6}\cdot 2^3-2^2 =-\frac{8}{3} $
Der Graph muss also noch um $\frac{8}{3}$ Einheiten entlang der positiven $y$-Achse verschoben werden.
Die Funktion $g_1(x)=\frac{1}{6}\cdot x^3 -x^2+\frac{8}{3}$ erfüllt die Bedingung, wobei für den Definitionsbereich $D=\mathbb{R}$ gilt.
b)
$\blacktriangleright$  Term und Definitionsbereich angeben
Der Graph der Funktion $h$ soll streng monoton fallend und rechtsgekrümmt sein. Die Rechtskrümmung ergibt sich durch eine immer negative Ableitung, setzt diese deshalb auf $h''(x)=1$. Durch Integration erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} h'(x)&=& -x \\[5pt] h(x)&=& -\frac{1}{2}\cdot x^2 \end{array}$
Da allerdings $h(x)=-\frac{1}{2}\cdot x^2$ nur für positive $x$ streng monoton fällt, ergibt sich eine Definitionsbereich von $D=\mathbb{R}^+$.
#definitionsbereich#krümmung#wendepunkt#ableitung
3)
a)
$\blacktriangleright$  Näherungswert des Integrals bestimmen
Du sollst anhand des Funktionsgraphen einen Näherungswert für das Integral mit den Grenzen $3$ und $5$ bestimmen.
Analysis Prüfungsteil A
Abb. 2: Näherung des Integrals
Analysis Prüfungsteil A
Abb. 2: Näherung des Integrals
Dazu zerlegst du die Fläche in Drei- und Vierecke. Die Näherung entspricht somit der Summe der Flächeninhalte. Für das Viereck mit den Kantenlängen $5-3=2$ und $f(3)$ ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} A_{4}&=& 2\cdot f(3) \\[5pt] &\approx& 2\cdot 0,75 \\[5pt] &=& 1,5 \end{array}$
Das auf dem Viereck sitzende rechtwinklige Dreieck hat die lange Seite mit dem Viereck gemeinsam. Die Länge der kurzen Seite ist $f(5)-f(3)$:
$\begin{array}[t]{rll} A_3&=& \frac{1}{2}\cdot 2\cdot (f(5)-f(3)) \\[5pt] &=& f(5)-f(3) \\[5pt] &\approx& 1,6-0,75 \\[5pt] &=& 0,85 \end{array}$
Für beide Flächen zusammen, beziehungsweise für die Näherung des Integrals, ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} \int\limits_3^5 f(x)\; dx&\approx& A_4+A_3 \\[5pt] &=& 2,35 \end{array}$
Du kannst einen Näherungswert für das Integral mit ungefähr $2,35$ angeben.
b)
$\blacktriangleright$  Wert der Ableitung bestimmen
Du sollst einen Wert für die Ableitung der Stammfunktion $F$ an der Stelle $x=2$ angeben. Da $F$ eine Stammfunktion von $f$ mit $F(3)=0$ ist, gilt:
$\begin{array}[t]{rll} F(x)&=&\int f(x)\, dx +c \\[5pt] F'(x)&=& \frac{d}{dx}\left(\int f(x)\, dx \right)+c \\[5pt] &=& f(x) \end{array}$
Du kannst somit die Ableitung am Funktionsgraphen ablesen und erhältst:
$\begin{array}[t]{rll} F'(2)&=& f(2) \\[5pt] &=& 0,5 \end{array}$
Die Ableitung der Funktion $F$ an der Stelle $x=2$ beträgt $0,5$.
c)
$\blacktriangleright$  Gleichheit zeigen
Du sollst zeigen, dass $F(b)=\int\limits_3^b f(x)\; dx $ gilt. Dazu betrachtest du die zwei Intervalle links und rechts von $b=3$ und genau die Stelle $b=3$.
1. Schritt: Integral an der Stelle $b=3$
Für $x=3$ kennst du den Funkitonswert aus der Aufgabenstellung und prüfst diesen nach, dazu verwendest du den Hauptsatz der Integralrechnung:
$\begin{array}[t]{rll} F(3)&=& \int\limits_3^3 f(x) \; dx \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
Dies entspricht der Definition von $F$ und ist somit korrekt.
2. Schritt: Integral für $b>3$
Als nächstes betrachtest du das Intervall $(3,\infty)$. In diesem Bereich entspricht das Integral, und somit der Funktionswert, der Fläche unter $f$. Die Gleichheit ist per Definition gezeigt.
3. Schritt: Integral für $b<3$
Im Intervall $(-\infty,3)$ ist das Integral, wie es gegeben ist, nicht berechenbar und du verwendest erst den Hauptsatz der Integralrechnung:
$\begin{array}[t]{rll} F(b)&=& \int\limits_3^b f(x)\; dx &\quad \scriptsize \mid\; b<3 \\[5pt] &=& -\int\limits_b^3 f(x)\; dx \end{array}$
Für $b<3$ wird der Funktionswert durch Subtraktion des Flächeninhaltes berechnet, was der Aussage entspricht.
#ableitung#integral
4)
$\blacktriangleright$  Ableitung skizzieren
Du sollst zu einem gegebenen Funktionsgraphen die Ableitung skizzieren und dabei besonders auf die Steigung am Wendepunkt $(0\vert -3)$ achten. Zeichne dir idealerweise ein paar Tangenten an den Graphen und markiere signifikante Stellen wie Wende- und Extremalstellen.
Da der Graph gegen eine waagerechte Asymptote bei $y=1$ strebt, konvergiert die Ableitung gegen $0$. Für die Wendestelle bei $x=0$ ergibt sich in der Ableitung ein Tiefpunkt, wobei dieser bei ungefähr $y=2$ liegt. Danach steigt die Ableitung, wie die Funktion, stetig weiter. Skizziert ergibt sich in grün die Ableitung:
Analysis Prüfungsteil A
Abb. 3: Ableitung skizzieren
Analysis Prüfungsteil A
Abb. 3: Ableitung skizzieren
#wendepunkt#tangente#asymptote
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