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Teil B

Aufgaben
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1
Gegeben ist die Schar der Funktionen $f_{a,b}: x\mapsto -a \cdot \mathrm {ln} (b\cdot x)$ mit $a> 0, b>0$ und maximaler Definitionsmenge $D_{a,b}$. Der Graph von $f_{a,b}$ wird mit $G_{a,b}$ bezeichnet
a)
Gib $D_{a,b}$ und das Verhalten von $f_{a,b}$ für $x \mapsto +\infty$ an.
(2 BE)
b)
Gib die Wertemenge von $f_{a,b}$ an und begründe, dass der Graph von $f_{a,b}$ streng monoton fällt.
(3 BE)
#wertebereich#funktionenschar#monotonie
$\,$
c)
Die Gerade mit der Gleichung $x=\frac{1}{2b}$, der Graph von $f_{a,b}$ und die $x$-Achse begrenzen ein Flächenstück. Die Tangente an $G_{a,b}$ durch den Schnittpunkt von $G_{a,b}$ mit der $x$-Achse teilt dieses Flächenstück in zwei Teilflächen. Weise nach, dass das Verhältnis der Flächeninhalte der beiden Teilflächen unabhängig von $a$ und $b$ ist.
(6 BE)
#tangente
$\,$
d)
Für einen bestimmten Wert von $a$ und einen bestimmten Wert von $b$ hat der zugehörigen Graph $G_{a,b}$ im Punkt $(1\mid 1)$ die Steigung $-1$. Bestimme diese Werte.
(2 BE)
#steigung
2
Die Funktion der Schar $f_{a,b}$ aus Aufgabe 1 mit $a=1$ und $b=\dfrac{1}{\mathrm e}$ wird mit $f$ bezeichnet. Der Funktionsterm von $f$ lautet somit $f(x)= \mathrm {ln} (\frac{x}{\mathrm e})$. Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_f$ von $f$.
$\,$
a)
Beschreibe, wie $G_f$ aus dem Graphen der in $\mathbb{R}^+$ definierten Funktion $x \mapsto \mathrm {ln} \, x$ hervorgeht.
(2 BE)
$\,$
b)
Begründe ausschließlich anhand des Graphen von $f$, dass der Graph jeder Stammfunktion von $f$ einen Hochpunkt hat.
(2 BE)
#extrempunkt#stammfunktion
$\,$
c)
Zeige, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Bestimme die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen $G_F$ und $F$ und zeichne $G_f$ in Abbildung 1 ein.
(6 BE)
#stammfunktion#extrempunkt
$\,$
d)
Für jedes $c\in\mathbb{R}$ ist die Funktion $H_c$ mit $H_c(x)=F(x)+c$ und $x>o$ eine Stammfunktion von $f$. Gib das Intervall maximaler Länge für den Wert des Parameters $c$ an, sodass $H_c$ genau zwei Nullstellen hat.
(3 BE)
#nullstelle
3
Die in $\mathbb{R}_0^+$ definierte Funktion $p$ mit $p(x)=1013 \cdot \mathrm e^{-\frac{x}{8,44}}$ beschreibt modellhaft die Abhängigkeit des Luftdrucks von der Höhe. Dabei bezeichnen $p(x)$ den Luftdruck in Hektopascal ($\text {hPa}$) und $x$ die Höhe über dem Meeresspiegel in Kilometern ($\text{km}$) (im Weiteren kurz als Höhe bezeichnet).
$\,$
a)
Begründe, dass die Funktion $p$ umkehrbar ist, und gib die Definitonsmenge und die Wertemenge der Umkehrfunktion von $p$ an.
(4 BE)
#umkehrfunktion#definitionsbereich#wertebereich
$\,$
Für die Umkehrfunktion $h$ von $p$ gilt $h(x)=-8,44 \cdot \mathrm {ln} (\frac{x}{1013})$.
Der Funktionsterm $h(x)$ entspricht somit dem der Funktion $f_{a,b}$ der Schar von Aufgabe 1 mit den Parameterwerten $a=8,44$ und $b=\dfrac{1}{1013}$.
Abbildung 2 zeigt den Graphen von $h$ für $250 \leq x \leq 1013$.
b)
Gib die Nullstellen von $h$ und deren Bedeutung im Sachzusammenhang an.
(2 BE)
#nullstelle
$\,$
c)
Berechne die mittlere Änderungsrate von $h$ im Intervall $[550;950]$ und veranschauliche diese Änderungsrate in Abbildung 2. Beschreibe die Bedeutung dieser mittleren Änderungsrate im Sachzusammenhang.
(4 BE)
#änderungsrate
$\,$
d)
Bei einer alternativen Modellierung wird die Funktion $h$ durch die in $\mathbb{R}^+$ definierte Funktion $\tilde h : x \mapsto \tilde h (x)$ ersetzt. Beschreibe schrittweise, wie man die maximale Differenz der Funktionswerte $\tilde h (x)$ und $h(x)$ im Bereich $250\leq x \leq 1013$ bestimmen kann.
(4 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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Lösungen
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1
a)
$\blacktriangleright$  Definitionsmenge angebenTeil B
Der maximale Definitionsbereich von $f_{a,b}$ mit $f_{a,b}(x)= -a\cdot \ln (b\cdot x)$ wird lediglich dadurch eingeschränkt, dass das Argument des Logarithmus nur positiv sein darf. Da $b> 0$ vorausgesetzt ist, ist dies für alle $x\in \mathbb{R}^+$ erfüllt.
$\text{D}_{a,b} = \mathbb{R}^+$
$\blacktriangleright$  Verhalten im Unendlichen angeben
Für $x\to +\infty$ gilt:
$f_{a,b}(x)= \underbrace{-a}_{<0}\cdot \underbrace{\ln (b\cdot x)}_{\to +\infty} \to -\infty$
#logarithmusfunktion
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Wertemenge angeben
Für $x\to +\infty$ gilt wie oben gezeigt $f_{a,b}(x) \to -\infty.$ Für $x \to 0$ gilt:
$\underbrace{-a}_{< 0}\cdot \underbrace{\ln (b\cdot x)}_{\to -\infty} \to +\infty $
Da $f_{a,b}$ stetig ist, werden also alle reellen Zahlen als Funktionswert angenommen. Die Wertemenge von $f_{a,b}$ ist ganz $\mathbb{R}.$
$\blacktriangleright$  Monotonie begründen
Die allgemeine Logarithmusfunktion mit dem Funktionsterm $\ln x$ ist streng monoton steigend. Durch den Faktor $b>0$ im Argument wird die Monotonie nicht beeinflusst.
Durch den Faktor $a>0$ wird die Monotonie ebenfalls nicht beeinflusst.
Durch das negative Vorzeichen wird der zugehörige Graph an der $x$-Achse gespiegelt. Dadurch kehrt sich die Monotonie sozusagen um, sodass $f_{a,b}$ also streng monoton fallend ist.
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Verhältnis der Teilflächen nachweisen
1. Schritt: Nullstelle berechnen und Skizze anlegen
Berechne zunächst die Nullstelle von $f_{a,b}$ in Abhängigkeit von $a$ und $b.$ Dazu kannst du den solve-Befehl deines CAS verwenden und erhältst:
$\begin{array}[t]{rll} f_{a,b}(x) &=& 0 \\[5pt] -a\cdot \ln (b\cdot x) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x &=& \frac{1}{b} \end{array}$
Es ist $\frac{1}{2b} < \frac{1}{b}.$ Du kannst dir dadurch nun eine Skizze anlegen, die für $f_{1,1}$ in etwa wie folgt aussieht:
Teil B
Abb. 2: Skizze der Teilflächen mit Tangente
Teil B
Abb. 2: Skizze der Teilflächen mit Tangente
2. Schritt: Gleichung der Tangente aufstellen
Die Tangente $t$ an den Graphen von $f_{a,b}$ im Punkt $\left(\frac{1}{b} \mid 0 \right)$ besitzt die gleiche Steigung $m$ wie der Graph von $f_{a,b}$ in diesem Punkt. Da die Steigung eines Graphen durch die zugehörige erste Ableitungsfunktion beschrieben wird, ist also $m=f_{a,b}'\left(\frac{1}{b}\right).$ Die Ableitungsfunktion von $f_{a,b}$ kannst du mit deinem CAS definieren:
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$
$\begin{array}[t]{rll} m &=& f_{a,b}'\left(\frac{1}{b}\right) &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &=& -a\cdot b \end{array}$
$ m=-a\cdot b $
Die Tangente $t$ besitzt also die Steigung $m = -a\cdot b$ und verläuft durch den Punkt $\left(\frac{1}{b} \mid 0 \right).$ Für den $y$-Achsenabschnitt $c$ der Tangente folgt mithilfe einer Punktprobe:
$\begin{array}[t]{rll} t: \, y &=& -a\cdot b \cdot x + c &\quad \scriptsize \mid\; \left(\frac{1}{b} \mid 0 \right) \\[5pt] 0 &=& -a\cdot b \cdot \frac{1}{b} +c \\[5pt] 0 &=& -a +c &\quad \scriptsize \mid\; +a \\[5pt] a &=& c \end{array}$
$ a=c $
Die Gleichung der Tangente an den Grpahen $G_{a,b}$ in dem Punkt, in dem $G_{a,b}$ die $x$-Achse schneidet, lautet also:
$t: \, y = -a\cdot b \cdot x +a$
3. Schritt: Flächeninhalt $A_1$ berechnen
Bei der Fläche mit dem Inhalt $A_1$ handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck.
Eine Kathete liegt auf der $x$-Achse und hat die Länge $\frac{1}{b}- \frac{1}{2b} = \frac{1}{2b}.$
Die zweite Kathete liegt auf der begrenzenden Geraden mit der Gleichung $x = \frac{1}{b}.$ Ihre Länge wird durch den Schnittpunkt der Tangente mit dieser Geraden bestimmt:
$\begin{array}[t]{rll} t\left(\frac{1}{2b} \right)&=& -a\cdot b \cdot \frac{1}{2b} +a \\[5pt] &=& \frac{a}{2} \\[5pt] \end{array}$
$ t\left(\frac{1}{2b} \right)= \frac{a}{2}$
Die zweite Kathete hat also die Länge $\frac{a}{2}.$
Der Flächeninhalt $A_1$ beträgt also:
$\begin{array}[t]{rll} A_1 &=& \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2b} \cdot \frac{a}{2} \\[5pt] &=& \frac{a}{8b} \\[5pt] \end{array}$
4. Schritt: Flächeninhalt $A_2$ berechnen
Die zweite Teilfläche wird vom Graphen von $f_{a,b}$ und der Tangente im Bereich $\frac{1}{2b}\leq x \leq \frac{1}{b}$ begrenzt. Der zugehörige Flächeninhalt kann daher mithilfe des folgenden Integrals berechnet werden. Für das Integral kannst du dein CAS verwenden:
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$
$\begin{array}[t]{rll} A_2 &=& \displaystyle\int_{\frac{1}{2b}}^{\frac{1}{b}}\left(f_{a,b}(x) - t(x) \right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{\frac{1}{2b}}^{\frac{1}{b}}\left(-a\cdot \ln (b\cdot x) - \left(-a\cdot b \cdot x +a \right) \right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{\frac{1}{2b}}^{\frac{1}{b}}\left(-a\cdot \ln (b\cdot x) +a\cdot b \cdot x -a \right)\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &=& \frac{3a}{8b}+\frac{a}{2b}\ln\left(\frac{1}{2} \right) \\[5pt] \end{array}$
$ A_2 = \frac{3a}{8b}+\frac{a}{2b}\ln\left(\frac{1}{2} \right)$
5. Schritt: Verhältnis der Flächeninhalte bestimmen
$\dfrac{A_2}{A_1} = \dfrac{\frac{3a}{8b}+\frac{a}{2b}\ln\left(\frac{1}{2} \right) }{\frac{a}{8b}} = 3+4\ln\left(\frac{1}{2} \right)$
$ \dfrac{A_2}{A_1} = 3+4\ln\left(\frac{1}{2} \right) $
Das Verhältnis der Flächeninhalte der beiden Teilfächen ist unabhängig von $a$ und $b.$
#integral
$\,$
d)
$\blacktriangleright$  Parameterwerte bestimmen
Aus der Aufgabenstellung ergeben sich folgende Bedingungen:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&f_{a,b}(1) &=& 1 \\[5pt] &-a \cdot \ln(b\cdot 1) &=& 1 \\[5pt] &-a \cdot \ln(b) &=& 1 \\[10pt] \text{II}\quad&f_{a,b}'(1) &=& -1 &\quad \scriptsize \mid \; CAS \\[5pt] &-a &=& -1 \\[5pt] &a &=& 1 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&f_{a,b}(1) &= 1 \\[5pt] &-a \cdot \ln(b) &= 1 \\[10pt] \text{II}\quad&f_{a,b}'(1) &= -1 \\[5pt] &a &= 1 \\[5pt] \end{array}$
$a=1$ kannst du nun in die erste Gleichung einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} -a \cdot \ln(b) &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; a=1\\[5pt] -1\cdot \ln(b) &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1) \\[5pt] \ln (b) &=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; \mathrm e\\[5pt] b &=& \mathrm e^{-1} \end{array}$
$ b=\mathrm e^{-1} $
Für $a=1$ und $b=\mathrm e^{-1}$ verläuft der Graph $G_{a,b}$ durch den Punkt $(1\mid 1)$ und hat in diesem Punkt die Steigung $-1.$
2
a)
$\blacktriangleright$  Zusammenhang der Graphen beschreiben
  1. Durch den Faktor $b=\frac{1}{\mathrm e} <1 $ im Argument wird der Graph der Ausgangsfunktion $x\mapsto \ln x $ entlang der $x$-Richtung gestreckt.
  2. Anschließend wird der Graph durch das negative Vorzeichen vor dem Logarithmus an der $x$-Achse gespiegelt.
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Hochpunkt jeder Stammfunktion begründen
Es ist $f(x)=f_{a,b}(x)$ mit $a=1$ und $b= \frac{1}{\mathrm e}.$ In Aufgabe 1 wurde bereits gezeigt, dass für jede Funktion $f_{a,b}$ gilt:
Für $x\to 0:$ $f_{a,b}(x) \to +\infty$
Für $x\to +\infty:$ $f_{a,b}(x) \to -\infty$
Zudem wurde noch festgestellt, dass die Graphen $G_{a,b}$ streng monoton fallend sind. Da die Funktionen stetig sind, müssen sie daher genau eine Nullstelle besitzen und in dieser Nullstelle müssen die Funktionswerte ihr Vorzeichen von positiv zu negativ wechseln. Da $f_{a,b}$ die erste Ableitungsfunktion ihrer Stammfunktionen ist, gibt es also genau eine Stelle, an der sowohl das notwendige Kriterium als auch das hinreichende Kriterium für einen Hochpunkt der Stammfunktionen von $f_{a,b}$ erfüllt sind. Dies gilt insbesondere auch für $f_{1, \frac{1}{\mathrm e}},$ also für $f.$
Die Graphen aller Stammfunktionen von $f$ besitzen also genau einen Hochpunkt.
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Stammfunktion zeigen
$F$ ist eine Stammfunktion von $f,$ wenn $f$ die erste Ableitungsfunktion von $F$ ist, wenn also $F'(x)=f'(x)$ ist. Mit der Produktregel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} F(x) &=& 2x-x\cdot \ln(x) +1 \\[5pt] F'(x) &=& 2-\left(1\cdot \ln(x) + x\cdot \frac{1}{x}\right) \\[5pt] &=& 2-\ln(x) - 1 \\[5pt] &=& 1-\ln(x) \\[5pt] &=& \ln (\mathrm e)- \ln (x) \\[5pt] &=& -\left(-\ln (\mathrm e)+ \ln (x)\right) \\[5pt] &=& - \ln(\frac{x}{\mathrm e})\\[5pt] &=& f(x) \end{array}$
$ F'(x)=… $
Damit ist $F$ eine Stammfunktion von $f.$
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Hochpunkts bestimmen
In Aufgabe 2 b) wurde bereits gezeigt, dass sich der Hochpunkt des Graphen von $F$ an der Nullstelle von $f$ befindet. Es ist:
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& 0 \\[5pt] -\ln \left(\frac{x}{\mathrm e}\right)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x &=& \mathrm e \end{array}$
$ x=\mathrm e $
Der Hochpunkt von $G_F$ befindet sich also an der Stelle $x=\mathrm e.$
$\begin{array}[t]{rll} F(\mathrm e) &=& 2\cdot \mathrm e-\mathrm e\cdot \ln(\mathrm e) +1 \\[5pt] &=& \mathrm e +1 \end{array}$
Die Koordinaten des Hochpunkts von $G_F$ lauten $H(\mathrm e\mid \mathrm e +1).$
$\blacktriangleright$  Graphen zeichnen
Teil B
Abb. 3: Einzeichnen von $G_F$
Teil B
Abb. 3: Einzeichnen von $G_F$
$\,$
d)
$\blacktriangleright$  Intervall für den Parameterwert haben
Verwende dazu deine Abbildung aus dem vorherigen Aufgabenteil. Durch den Parameter $c$ wird der Graph um $c$ Einheiten entlang der $y$-Achse verschoben. Wenn der Graph so verschoben wird, dass der Schnittpunkt mit der $y$-Achse auf der $x$-Achse liegt, besitzt der Graph zwei Nullstellen. Er darf aber maximal so weit nach unten verschoben werden, dass der Hochpunkt gerade noch oberhalb der $x$-Achse liegt. Sobald der Hochpunkt auf der $x$-Achse liegt, besitzt $H_c$ nur noch eine Nullstelle. Liegt der Hochpunkt unterhalb der $x$-Achse besitzt $H_c$ keine Nullstelle.
Für $c=-1$ liegt der Schnittpunkt mit der $y$-Achse auf der $x$-Achse. Da die Koordinaten des Hochpunkts von $F$ $H(\mathrm e \mid \mathrm e +1)$ sind, kann der Graph maximal um weniger als $\mathrm e +1$ Einheiten nach unten verschoben werden. Das Intervall maximaler Länge für den Parameter $c,$ sodass $H_c$ genau zwei Nullstellen besitzt, ist also $]-\mathrm e -1\, ; \, -1].$
3
a)
$\blacktriangleright$  Umkehrbarkeit begründen
Die Funktion $p$ ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich $\mathbb{R}_0^+$ stetig und streng monoton fallend, wodurch jeder Funktionswert genau einmal angenommen wird. Damit ist $p$ umkehrbar.
$\blacktriangleright$  Definitionsmenge der Umkehrfunktion angeben
Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion entspricht dem Wertebereich der Ausgangsfunktion.
Es gilt $p(0)= 1.013\cdot \mathrm e^{-\frac{0}{8,44}} = 1.013$ und für $x\to +\infty:$
$1.013\cdot \underbrace{\mathrm e^{\underbrace{-\frac{x}{8,44}}_{\to -\infty}}}_{\to 0} \to 0 $
Da für alle $x \in \mathbb{R}_0^+$ gilt $p(x) = 1.013\cdot \mathrm e^{-\frac{x}{8,44}} > 0$ gilt also für den gesamten Deifnitionsbereich $0< p(x) \leq 1013.$
Die Definitionsmenge der Umkehrfunktion von $p$ ist also $\text{D}_u = \{x\in \mathbb{R} \mid 0< x \leq 1.013\}.$
$\blacktriangleright$  Wertemenge der Umkehrfunktion angeben
Analog zur Definitionsmenge entspricht auch die Wertemenge der Umkehrfunktion der Definitionsmenge der Ausgangsfunktion $p.$ Also ist die Wertemenge der Umkehrfunktion $\mathbb{R}_0^+.$
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Nullstelle und deren Bedeutung im Sachzusammenhang angeben
$\begin{array}[t]{rll} h(x) &=& 0 \\[5pt] -8,44\cdot \ln \left(\frac{x}{1.013}\right)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x &=& 1.013 \end{array}$
$ x= 1.013 $
Die Nullstelle von $h$ ist also $x = 1.013.$ Da $p(x)$ den Luftdruck in Hektopascal in einer Höhe von $x$ Kilometern über dem Meeresspiegel beschreibt, gilt für die Umkehrfunktion $h:$
$x$ beschreibt den Luftdruck in Hektopascal und $h(x)$ beschreibt die Höhe (in Kilometern) über dem Meeresspiegel, in der dieser Luftdruck $x$ herrscht. Die Nullstelle $x = 1.013$ gibt also an, dass in einer Höhe von $0$ Kilometern über dem Meerespiegel der Luftdruck $1.013$ Hektopascal beträgt.
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Mittlere Änderungsrate berechnen
Die mittlere Änderungsrate entspricht der Steigung der Geraden durch die beiden Punkte $(550\mid h(550))$ und $(950\mid h(950)).$
$\begin{array}[t]{rll} \overline{m} &=& \dfrac{h(950) - h(550)}{950-550}\\[5pt] &=& \dfrac{-8,44\cdot \ln\left(\frac{950}{1.013}\right) + 8,44\cdot \ln\left(\frac{550}{1.013}\right)}{950-550}\\[5pt] &\approx& -0,0115 \end{array}$
$ \overline{m} \approx -0,0115$
Die mittlere Änderungsrate von $h$ im Intervall $[550\, ; \, 950]$ beträgt ca. $-0,0115.$
$\blacktriangleright$  Mittlere Änderungsrate veranschaulichen
Teil B
Abb. 4: Mittlere Änderungsrate
Teil B
Abb. 4: Mittlere Änderungsrate
Die berechnete mittlere Änderungsrate entspricht der Steigung der eingezeichneten Gerade.
$\blacktriangleright$  Bedeutung der mittleren Änderungsrate beschreiben
Steigt der Luftdruck von $550$ auf $950$ Hektopascal, so nimmt die Höhe über dem Meeresspiegel im Schnitt um ca. $0,0115\,\text{km} = 11,5\,\text{m}$ pro Hektopascal ab.
$\,$
d)
$\blacktriangleright$  Vorgehen zur Bestimmung der maximalen Differenz beschreiben
  1. Aufstellen der Differenzfunktion $d(x)= \left| h(x) - \tilde h(x)\right| :$ Diese Funktion gibt die Differenz der Funktionswerte an. Dabei ist es durch den Betrag egal, ob $h(x)$ größer als $\tilde h(x)$ ist oder umgekehrt.
  2. Bestimmen der Koordinaten der Hochpunkte des Grapen von $d.$ Die zugehörigen Funktionswerte geben lokale Maxima von $d$ an.
  3. Bestimmen des globalen Maximums im Bereich $250 \leq x \leq 1013:$ Die Funktionswerte in den Hochpunkten müssen nun noch mit den Funktionswerten in den Intervallrändern $x_1 = 250$ und $x_2 = 1.013$ verglichen werden.
    Der größte Funktionswert darunter ist die größte Differenz von $h(x)$ und $\tilde h(x)$ im Bereich $250\leq x \leq 1.013.$
Bildnachweise [nach oben]
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