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Teil B

Aufgaben
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Auf einem Spielplatz wird ein dreieckiges Sonnensegel errichtet, um einen Sandkasten zu beschatten. Hierzu werden an drei Ecken des Sandkastens Metallstangen im Boden befestigt, an deren Enden das Sonnensegel fixiert wird.
In einem kartesischen Koordinatensystem stellt die $x_1x_2$-Ebene den horizontalen Boden dar. Der Sandkasten wird durch das Rechteck mit den Eckpunkten $K_1(0\mid4\mid0),$ $K_2(0\mid0\mid0),$ $K_3(3\mid0\mid0)$ und $K_4(3\mid 4 \mid 0)$ beschrieben. Das Sonnensegel wird durch das ebene Dreieck mit den Eckpunkten $S_1(0\mid 6\mid 2,5),$ $S_2(0\mid0\mid3)$ und $S_3( 6 \mid 0 \mid 2,5)$ dargestellt (vgl. Abbildung 1). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.
Die drei Punkte $S_1,$ $S_2$ und $S_3$ legen die Ebene $E$ fest.
a)
Ermittle eine Gleichung der Ebene $E$ in Normalenform.
[Zur Kontrolle: $E:\, x_1 + x_2 + 12x_3- 36 =0$]
(3 BE)
#normalenform
b)
Berechne den Abstand des durch $K_4$ beschriebenen Eckpunkts des Sandkastens von der durch $[S_1S_3]$ beschriebenen Seite des Sonnensegels.
(3 BE)
c)
Der Hersteller des Sonnensegels empfiehlt, die verwendeten Metallstangen bei einer Sonnensegelfläche von mehr als $20\,\text{m}^2$ durch zusätzliche Sicherungsseile zu stabilisieren. Beurteile, ob eine solche Sicherung aufgrund dieser Empfehlung in der vorliegenden Situation nötig ist.
(2 BE)
Auf das Sonnensegel fallen Sonnenstrahlen, die im Modell und in der Abbildung 1 durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\overrightarrow{S_1K_1}$ dargestellt werden können. Das Sonnensegel erzeugt auf dem Boden einen dreieckigen Schatten. Die Schatten der mit $S_2$ bzw. $S_3$ bezeichneten Ecken des Sonnensegels werden mit $S_2'$ bzw. $S_3'$ bezeichnet.
d)
Begründe ohne weitere Rechnung, dass $S_2′$ auf der $x_2$-Achse liegt.
(2 BE)
e)
$S_3′$ hat die Koordinaten $( 6\mid - 2\mid 0).$ Zeichne das Dreieck, das den Schatten des Sonnensegels darstellt, in Abbildung 1 ein. Entscheide anhand der Zeichnung, ob mehr als die Hälfte des Sandkastens beschattet ist.
(3 BE)
f)
Um das Abfließen von Regenwasser sicherzustellen, muss das Sonnensegel einen Neigungswinkel von mindestens $8^{\circ}$ gegenüber dem horizontalen Boden aufweisen. Begründe, dass das Abfließen von Regenwasser im vorliegenden Fall nicht sichergestellt ist.
(3 BE)
g)
Bei starkem Regen verformt sich das Sonnensegel und hängt durch. Es bildet sich eine sogenannte Wassertasche aus Regenwasser, das nicht abfließen kann. Die Oberseite der Wassertasche verläuft horizontal und ist näherungsweise kreisförmig mit einem Durchmesser von $50\,\text{cm}.$ An ihrer tiefsten Stelle ist die Wassertasche $5\,\text{cm}$ tief. Vereinfachend wird die Wassertasche als Kugelsegment betrachtet (vgl. Abbildung 2).
Das Volumen $V$ eines Kugelsegments kann mit der Formel $V = \frac{1}{3}\pi h^2\cdot (3r-h) $ berechnet werden, wobei $r$ den Radius der Kugel und $h$ die Höhe des Kugelsegments bezeichnen. Ermittle, wie viele Liter Wasser sich in der Wassertasche befinden.
[Zur Kontrolle: $r = 65\,\text{cm}$ ]
(4 BE)

(20 BE)
#kugel
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung in Normalenform ermittelnTeil B
Ein Normalenvektor von $E$ kann über das Kreuzprodukt zweier Verbindungsvektoren der drei Punkte $S_1,$ $S_2$ und $S_3$ bestimmt werden. Du kannst das Kreuzprodukt auch mit dem crossP-Befehl deines CAS berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n} &=& \overrightarrow{S_2S_1}\times \overrightarrow{S_2S_3} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\6\\-0,5}\times \pmatrix{6\\0\\-0,5} \\[5pt] &=& \pmatrix{6\cdot (-0,5) - (-0,5)\cdot 0 \\ (-0,5)\cdot 6-0\cdot (-0,5) \\ 0\cdot 0 - 6\cdot 6} \\[5pt] &=& \pmatrix{-3\\-3\\-36} \\[5pt] &=& -3\cdot \pmatrix{1\\1\\12} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{n} = -3\cdot \pmatrix{1\\1\\12}$
Für die Ebenengleichung kann nun sowohl der gekürzte Normalenvektor als auch der ursprüngliche verwendet werden. Mit einer Punktprobe mithilfe der Koordinaten eines der drei Punkte folgt:
$\begin{array}[t]{rll} E:\quad 1\cdot x_1 +1\cdot x_2 +12\cdot x_3 &=& d &\quad \scriptsize \mid\; S_2(0\mid 0\mid 3)\\[5pt] 1\cdot 0 +1\cdot 0 +12 \cdot 3 &=& d \\[5pt] 36&=& d \end{array}$
$ d = 36 $
Eine Gleichung von $E$ in Normalenform lautet:
$E:\quad x_1+x_2+12x_3-36=0$
$ E: \,… $
#kreuzprodukt
b)
$\blacktriangleright$  Abstand berechnen
Der Abstand von $K_4$ zu $[S_1S_3]$ entspricht dem Abstand von $K_4$ zur Geraden $g$ durch die beiden Punkte $S_1$ und $S_3.$ Eine Gleichung der Geraden lautet:
$\begin{array}[t]{rll} g:\quad \overrightarrow{X} &=& \overrightarrow{OS_1} + t\cdot \overrightarrow{S_1S_3} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\6\\2,5} + t\cdot \pmatrix{6\\-6\\0} \end{array}$
$ g: \quad \overrightarrow{X} = … $
1. Schritt: Hilfsebene aufstellen
Zur Berechnung des Abstands wird die Gleichung einer Hilfsebene $H$ benötigt, die senkrecht zu $g$ und durch den Punkt $K_4$ verläuft. Als Normalenvektor kann der obige Richtungsvektor von $g$ verwendet werden:
$\begin{array}[t]{rll} H:\quad 6x_1 -6x_2 +0x_3 -d &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; K_4(3\mid 4\mid 0) \\[5pt] 6\cdot 3 -6\cdot 4 -d &=&0 \\[5pt] -6 -d &=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +d \\[5pt] -6&=& d \end{array}$
$ -6 = d $
Eine Gleichung der Hilfsebene lautet also:
$H:\quad 6x_1 -6x_2 +6 = 0 $
2. Schritt: Schnittpunkt bestimmen
Die Punkte auf der Geraden $g$ haben folgenden Ortsvektor:
$\overrightarrow{OG}_t= \pmatrix{6t\\6-6t\\2,5}$
Einsetzen in die Ebenengleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 6\cdot 6t -6\cdot (6-6t) +6 &=& 0 \\[5pt] 36t -36+36t +6 &=& 0 \\[5pt] 72t -30 &=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+30 \\[5pt] 72t &=& 30 &\quad \scriptsize \mid\;:72 \\[5pt] t &=& \frac{5}{12} \end{array}$
$ t = \frac{5}{12} $
Einsetzen in die Geradengleichung liefert den Ortsvektor des Schnittpunkts:
$\overrightarrow{OP}=\pmatrix{6\cdot \frac{5}{12}\\6-6\cdot \frac{5}{12}\\2,5} = \pmatrix{2,5\\ 3,5 \\ 2,5} $
3. Schritt: Abstand berechnen
Der Punkt $P$ liegt zwischen $S_1$ und $S_3$ und ist der Punkt auf der Strecke mit dem kleinsten Abstand zu $K_4.$
$\begin{array}[t]{rll} d(P,K_4)&=& \left|\overrightarrow{PK_4} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{0,5\\0,5\\-2,5} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{0,5^2 +0,5^2 +(-2,5)^2} \\[5pt] &=& 6,75 \\[5pt] \end{array}$
$ d(P,K_4) = 6,75 $
Der Eckpunkt des Sandkastens, der durch $K_4$ beschrieben wird, hat zur Seite des Sonnensegels, die durch $[S_1S_3]$ beschrieben wird, einen Abstand von $6,75\,\text{m}.$
#kreuzprodukt
c)
$\blacktriangleright$  Sicherung beurteilen
Da das Sonnensegel durch ein ebenes Dreieck beschrieben wird, kann der Flächeninhalt mithilfe des Kreuzprodukts berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \frac{1}{2}\cdot \left|\overrightarrow{S_2S_1} \times \overrightarrow{S_2S_3} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left|\pmatrix{-3\\-3\\-36} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \sqrt{(-3)^2 +(-3)^2 +(-36)^2} \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \sqrt{1.314} \\[5pt] &\approx& 18,12 \end{array}$
$ A\approx 18,12 $
Das Sonnensegel ist ca. $18,12\,\text{m}^2$ groß. Die Sicherung ist also laut Empfehlung nicht nötig.
#kreuzprodukt
d)
$\blacktriangleright$  Lage des Schattenpunkts begründen
Die beiden Punkte $S_1$ und $K_1$ liegen in der $x_2x_3$-Ebene. Der Richtungsvektor der Sonnenstrahlen verläuft also parallel zu dieser Ebene. Da der Punkt $S_2$ ebenfalls in der $x_2x_3$-Ebene liegt, liegt auch die gesamte Gerade, entlang derer die Sonnenstrahlen durch den Punkt $S_2$ verlaufen, in dieser Ebene. Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der $x_1x_2$-Ebene ist der Schattenpunkt $S_2',$ welcher demnach sowohl in der $x_2x_3$-Ebene als auch in der $x_1x_2$-Ebene liegen muss. Alle Punkte mit dieser Eigenschaft liegen auf der $x_2$-Achse. Aus diesem Grund muss $S_2'$ auf der $x_2$-Achse liegen.
e)
$\blacktriangleright$  Dreieck einzeichnen
Teil B
Abb. 1: Schattendreieck
Teil B
Abb. 1: Schattendreieck
$\blacktriangleright$  Anteil des beschatteten Sandkastens einschätzen
Die Diagonale $\overline{K_1K_3}$ teilt das Rechteck, das den Sandkasten beschreibt, in zwei gleichgroße Dreiecke. Eines davon wird vollständig, das andere teilweise vom Schattendreieck $S_1'S_2'S_3'$ überdeckt. Der Schatten des Sonnensegels überdeckt also mehr als die Hälfte des Sandkastens.
f)
$\blacktriangleright$  Nicht ausreichende Neigung begründen
Der Boden wird durch die $x_1x_2$-Ebene beschrieben. Der Neigungswinkel des Sonnensegels gegenüber dem Boden entspricht also dem Schnittwinkel der Ebene $E$ und der $x_1x_2$-Ebene.
Ein Normalenvektor der $x_1x_2$-Ebene ist $\overrightarrow{n}_1 = \pmatrix{0\\0\\1}.$ Verwende die entsprechende Formel für den Schnittwinkel. Das Skalarprodukt kannst du auch mit dem dotP-Befehl und den Vektorbetrag mit dem norm-Befehl deines CAS berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha&=& \dfrac{\left| \overrightarrow{n}_E \circ \overrightarrow{n}_1\right|}{\left| \overrightarrow{n}_E \right|\cdot \left|\overrightarrow{n}_1\right|} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{\left| \pmatrix{1\\1\\12} \circ \pmatrix{0\\0\\1}\right|}{\left|\pmatrix{1\\1\\12} \right|\cdot \left|\pmatrix{0\\0\\1}\right|} \\[5pt] \cos \alpha &=& \dfrac{12}{\sqrt{1^2+1^2+12^2}\cdot 1} \\[5pt] \cos \alpha &=& \dfrac{12}{\sqrt{146}} &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \alpha&\approx& 6,7^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx 6,7^{\circ} $
Das Sonnensegel ist nur um ca. $6,7^{\circ}$ gegenüber dem Boden geneigt. Das Abfließen von Regenwasser ist also nicht sichergestellt.
#schnittwinkel
g)
$\blacktriangleright$  Volumen der Wassertasche ermitteln
1. Schritt: Radius der Kugel bestimmen
Betrachte das in der Skizze eingezeichnete rechtwinklige Dreieck. Mit dem Satz des Pythagoras und dem solve-Befehl deines CAS ergibt sich für den Radius der Kugel:
$\begin{array}[t]{rll} (r-h)^2 + 25^2&=& r^2 \\[5pt] (r-5)^2 + 25^2&=& r^2 &\quad \scriptsize \mid\; CAS\\[5pt] r&=& 65 \end{array}$
$ r = 65 $
2. Schritt: Volumen berechnen
$\begin{array}[t]{rll} V &=& \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (5\,\text{cm})^2 \cdot (3\cdot 65\,\text{cm}-5\,\text{cm}) \\[5pt] &=& \frac{4.750}{3}\pi\,\text{cm}^3 \\[5pt] &\approx& 4.974\,\text{cm}^3\\[5pt] &\approx& 5\,l \end{array}$
$ V \approx 5\,l $
In der Wassertasche befinden sich ca. $5\,l$ Wasser.
#satzdespythagoras
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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