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Teil B

Aufgaben
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1.
Die Wassermenge in einem Staubecken kann gleichzeitig durch Zufluss und Abfluss von Wasser geändert werden. Der folgenden Tabelle können momentane Zufluss- und Abflussraten entnommen werden, die an einem Tag zu bestimmten Zeitpunkten für das Wasser in dem Staubecken gemessen wurden:
Uhrzeit$12:00$$13:00$$14:00$$15:00$$16:00$$17:00$$18:00$
Zuflussrate in $1000 \dfrac{m^3}{h}$$4,07$$5,56$$7,30$$5,04$$1,75$$0,38$$0,46$
Abflussrate in $1000 \dfrac{m^3}{h}$$1,02$$0,98$$3,50$$5,00$$5,50$$5,00$$3,50$
$x$$y$
$ $$ $$ $
$ $$ $$ $
$ $$ $$ $
$ $$ $$ $
$ $$ $$ $
$\,$
a)
Gib anhand der gegebenen Messwerte alle betrachteten Zeitpunkte an, zu denen das Wasservolumen zunahm. Begründe deine Angabe.
(2 BE)
$\,$
Die zeitliche Entwicklung der momentanen Änderungsrate des Wasservolumens im Staubecken kann für den Zeitraum von $12:00 $ Uhr bis $18:00$ Uhr mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x)=(3-x)\cdot e^{-\frac{1}{6}x^2+x}$ für $0\leq x \leq 6$ modellhaft beschrieben werden. Dabei ist $x$ die seit $12:00$ Uhr vergangene Zeit in Stunden und $f(x)$ die momentane Änderungsrate in $1000 \,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}.$
b)
Zeige, dass für den Zeitpunkt $16:00$ Uhr gilt: Der Wert der momentanen Änderungsrate, den die Funktion $f$ liefert, weicht um weniger als $2 \, \%$ von dem Wert ab, der sich aus den Messungen ergibt. Berechne den ungefähren Zeitpunkt, an dem die momentane Änderungsrate $2500 \, \frac{\text m^3}{\text h}$ beträgt.
(4 BE)
#änderungsrate
$\,$
c)
Gib für den Zeitraum von $12:00$ Uhr bis $18:00$ Uhr auf der Grundlage des Modells an, zu welchem Zeitpunkt sich die größte Wassermenge im Staubecken befand. Begründe deine Angabe.
(2 BE)
$\,$
d)
Das Modell, in dem $f$ die momentane Änderungsrate des Wasservolumens beschreibt, wird durch die folgenden beiden Annahmen zur momentanen Abflussrate ergänzt:
  • Für den Zeitraum zwischen $12:00$ Uhr und $13:00$ Uhr kann die momentane Abflussrate mit $1000 \, \dfrac{\text m^3}{\text h}$ als konstant angenommen werden.
  • Für den Zeitraum zwischen $13:00$ Uhr und $18:00$ Uhr lässt sich die zeitliche Entwciklung der momentane Abflussrate mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit $s(x)=-0,5x^2+4x-2,5$ beschreiben. Dabei ist $s(x)$ die momentane Abflussrate in $1000 \, \dfrac{\text m^3}{\text h}$ und $x$ die seit $12:00$ Uhr vergangene Zeit in Stunden.
Berechne für den Zeitraum zwischen $12:00$ Uhr und $18:00$ Uhr auf der Grundlage des erweiterten Modells, wie viel Wasser aus dem Staubecken abfloss und wie viel Wasser zufloss.
(5 BE)
2.
Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $g_t$ mit $g_t(x)=(x-3)\cdot (x^2-t\cdot x-\dfrac{t}{2})$ und $t\in\mathbb{R}.$ Der Graph von $g_t$ wird mit $G_t$ bezeichnet. Die Abbildung zeigt $G_1.$
#funktionenschar
$\,$
a)
Gib für den Graphen $G_6$ die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sowie die der Extrempunkte an. Skizziere $G_6$ in der Abbildung.
(5 BE)
#extrempunkt
$\,$
b)
Bestimme die Koordinaten der Punkte, durch die die Graphen aller Funktionen der Schar verlaufen.
(4 BE)
$\,$
c)
Ermittel alle Werte von $t$, für die die jeweils zugehörige Funktion $g_t$ genau zwei verschiedene Nullstellen hat.
(5 BE)
#nullstelle
$\,$
d)
Berechne den Wert von $t$ so, dass die Tangente an den zugehörigen Graphen $G_t$ im Berührpunkt $(1\mid g_t(1))$ parallel zur Winkelhalbierenden des $2.$ und $4.$ Quadranten verläuft, und gib die Gleichung der Tangente an.
(4 BE)
#tangente
$\,$
e)
Ermittel die Koordinaten des Wendepunkts $W_t$ von $G_t$ in Abhänigkeit von $t$. Bestimme alle Werte von $t$, für die $W_t$ auf einer Koordinatenachse liegt.
(5 BE)
#wendepunkt
$\,$
Rotiert ein Flächenstück, das vom Graphen einer in $[a;b]$ definiertem Funktion $g$, der $x-Achse$ und den Geraden mit den Gleichungen $x=a$ und $x=b$ eingeschlossen wird, um die $x-Achse$, so entsteht ein rotationssymmetrischer Körper mit dem Volumen $V= \pi \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}(g(x))^2\;\mathrm dx.$
#rotationsvolumen
$\,$
f)
Der Graph $G_6$, die $x-Achse$ sowie die Gerade mit den Gleichungen $x=0$ und $x=6$ schließen im Bereich $0\leq x\mid 6$ zwei Flächenstücke ein. Rotieren diese beiden Flächenstücke um die x-Achse, so entstehen zwei Körper. Bestimme die Volumina der beiden Körper.
(2 BE)
$\,$
g)
Zeige, dass folgende Aussage falsch ist:
Für je zwei inhaltsgleiche Flächenstücke, die um die $x-Achse$ rotieren, stimmen die Volumina der beiden entstehenden Körper überein.
(2 BE)

(40 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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1
a)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkte mit Zunahme angebenTeil B
Das Wasservolumen nimmt zu, wenn mehr Wasser in das Staubecken fließt als abfließt, wenn also die Zuflussrate größer ist als die Abflussrate. Das ist um $12:00,$ $13:00,$ $14:00$ und $15:00$ Uhr der Fall.
Um $12:00,$ $13:00,$ $14:00$ und $15:00$ Uhr nahm das Wasservolumen zu.
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Abweichung zeigen
Der Zeitpunkt $16:00$ Uhr wird durch den Wert $x=4$ beschrieben.
$\begin{array}[t]{rll} f(4)&=& (3-4)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{6}\cdot 4^2 +4} \\[5pt] &=& - \mathrm e^{\frac{4}{3}} \\[5pt] \end{array}$
Die momentane Änderungsrate laut der Messungen ergibt sich aus $\text{Zuflussrate}-\text{Abflussrate}.$ Für $16:00$ Uhr also:
$1,75 - 5,50 = -3,75$
Die Abweichung des Modellwerts zum tatsächlichen Wert ergibt sich dann zu:
$\dfrac{- \mathrm e^{\frac{4}{3}}- (-3,75) }{-3,75} \approx 0,0116 = 1,16\,\%$
$ …= 1,16\,\% $
Die momentane Änderungsrate, die sich durch die Funktion $f$ zum Zeitpunkt $16:00$ Uhr ergibt, weicht also um weniger als $2\,\%$ von dem Wert ab, der sich aus den Messwerten um $16:00$ Uhr ergibt.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt mit Änderungsrate berechnen
Gesucht ist $x$ mit $f(x)=2,5.$ Die Gleichung kannst du mit dem solve-Befehl deines CAS lösen.
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& 2,5 \\[5pt] (3-x)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{6}\cdot x^2 +x} &=& 2,5 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x_1 &\approx& -0,25 < 0 \\[5pt] x_2 &\approx& 2,41 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& 2,5 \\[5pt] x_1 &\approx& -0,25 < 0 \\[5pt] x_2 &\approx& 2,41 \end{array}$
Der erste Wert $x_1$ liegt außerhalb des betrachteten Bereichs $0\leq x \leq 6.$ Um den Zeitpunkt zu berechnen, rechne $0,41$ noch in Minuten um:
$60\cdot 0,41 \approx 25$
Um ca. $14:25$ Uhr betrug die momentane Änderungsrate also ca. $2.500\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}.$
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt mit der größten Menge im Staubecken angeben
Die größte Wassermenge befindet sich in dem Moment im Staubecken, in dem die momentane Änderung von einer Zunahme in eine Abnahme übergeht. Dies ist der Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate von positiv zu negativ wechselt.
Gesucht ist also ein Wert $x$ mit $0\leq x \leq 6,$ in dem die Funktion $f$ ihr Vorzeichen von positiv zu negativ wechselt. Dies kann lediglich in einer Nullstelle geschehen. Bestimme also zunächst die Nullstellen von $f:$
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& 0 \\[5pt] (3-x)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{6}x^2+x} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;: \mathrm e^{-\frac{1}{6}x^2+x} \neq 0 \\[5pt] 3-x &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+x \\[5pt] 3 &=& x \end{array}$
$ x=3 $
An der Stelle $x=3$ besitzt $f$ also eine Nullstelle. Es bleibt noch zu überprüfen, ob sich dort das Vorzeichen der Funktionswerte verändert.
Für $x< 3$ gilt:
$\underbrace{(3-x)}_{>0}\cdot \underbrace{\mathrm e^{-\frac{1}{6}x^2+x}}_{> 0} > 0$
$ … > 0 $
Für $x< 3$ ist also $f(x)$ positiv. Die momentane Änderungsrate ist positiv. Es findet eine Zunahme des Wasservolumens im Staubecken statt.
Für $x> 3$ gilt:
$\underbrace{(3-x)}_{<0}\cdot \underbrace{\mathrm e^{-\frac{1}{6}x^2+x}}_{> 0} < 0$
$ … < 0 $
Für $x> 3$ ist also $f(x)$ negativ. Die momentane Änderungsrate ist negativ. Es findet eine Abnahme des Wasservolumens im Staubecken statt.
Bis zum Zeitpunkt $x=3,$ also $15:00$ Uhr, nimmt die Wassermenge im Staubecken laut Modellierung durch die Funktion $f$ zu, danach nimmt sie immer weiter ab. Daher muss sich zu diesem Zeitpunkt die größte Wassermenge im Staubecken befunden haben.
$\,$
d)
$\blacktriangleright$  Menge des Zuflusses und des Abflusses berechnen
1. Schritt: Funktionen für den Abfluss aufstellen
Zwischen $12:00$ und $13:00$ Uhr beträgt die momentane Abflussrate konstant $1000\,\frac{\text{m}^3}{h}.$ Sie kann daher für $0\leq x \leq 1$ durch die Funktion $s_1$ mit folgender Gleichung beschrieben werden:
$s_1(x)= 1$
Anschließend wird sie für $1\leq x \leq 6$ durch die Funktion $s$ beschrieben mit:
$s(x) = -0,5x^2 + 4x -2,5$
2. Schritt: Funktion für den Zufluss aufstellen
Es gilt:
$ \underbrace{\text{Änderungsrate des Volumens}}_{f} = $ $\underbrace{\text{Änderungsrate des Zuflusses}}_{z} -$ $\underbrace{\text{Änderungsrate des Abflusses}}_{s}$
Beichne mit $z_1$ die Funktion, die die momentane Änderungsrate des Zuflusses von $12:00$ bis $13:00$ Uhr beschreibt. Diese wird dann für $0\leq x \leq 1$ durch folgende Gleichung beschrieben:
$\begin{array}[t]{rll} z_1(x)&= f(x) + s_1(x) \\[5pt] &= (3-x)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{6}x^2 +x} + 1 \\[5pt] \end{array}$
Anschließend kann die momentane Zuflussrate für $1\leq x \leq 6$ durch $z_2$ beschrieben werden:
$\begin{array}[t]{rll} z_2(x)&= f(x) + s(x) \\[5pt] &= (3-x)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{6}x^2 +x} -0,5x^2 + 4x -2,5 \\[5pt] \end{array}$
$z_2(x) = …$
3. Schritt: Gesamtabfluss berechnen
In der ersten Stunde sind konstant $1000\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ Wasser abgeflossen. Also sind innerhalb dieser einen Stunde genau $V_1= 1000\,\text{m}^3$ Wasser abgeflossen.
Die Gesamtmenge an Wasser, das von $13:00$ bis $18:00$ Uhr abgeflossen ist, kannst du mithilfe eines Integrals über $s$ in den Grenzen $a= 1$ und $b=6$ berechnen. Dazu kannst du dein CAS verwenden:
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$
$\begin{array}[t]{rll} V_2 &=& 1000 \cdot \displaystyle\int_{1}^6 s(x) \;\mathrm dx \\[5pt] &=& 1000 \cdot \displaystyle\int_{1}^6 \left(-0,5x^2 + 4x -2,5 \right) \;\mathrm dx&\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &=& 1000 \cdot \frac{65}{3} \\[5pt] &\approx& 21.667\,\left[\text{m}^3\right] \end{array}$
$ V_2\approx 21.667\,\left[\text{m}^3\right] $
Insgesamt sind daher zwischen $12:00$ und $18:00$ Uhr ca. $22.667\,\text{m}^3$ Wasser aus dem Staubecken abgeflossen.
4. Schritt: Gesamtzufluss berechnen
Hier kannst du die beiden Zeitabschnitte ebenfalls getrennt betrachten und die Zuflussmenge jeweils mithilfe eines Integrals über $z_1$ bzw. $z_2$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} Z_1 &=& 1000 \cdot \displaystyle\int_{0}^1 z_1(x) \;\mathrm dx \\[5pt] &=& 1000 \cdot \displaystyle\int_{0}^1 \left((3-x)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{6}x^2 +x} + 1 \right) \;\mathrm dx &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &\approx& 4.903\,\left[\text{m}^3\right] \\[10pt] Z_2 &=& 1000 \cdot \displaystyle\int_{1}^6 z_2(x) \;\mathrm dx \\[5pt] &=& 1000 \cdot \displaystyle\int_{0}^1 \left((3-x)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{6}x^2 +x} -0,5x^2 + 4x -2,5\right) \;\mathrm dx &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &\approx& 17.764\,\left[\text{m}^3\right] \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} Z_1 \approx& 4.903\,\left[\text{m}^3\right] \\[10pt] Z_2 \approx& 17.764\,\left[\text{m}^3\right] \\[10pt] \end{array}$
Das Gesamtvolumen des zugeflossenen Wassers beträgt also ca.:
$Z_1 + Z_2 = 4.903\,\text{m}^3 + 17.764\,\text{m}^3 = 22.667\,\text{m}^3$
$ Z_1 + Z_2 = 22.667\,\text{m}^3$
Im Zeitraum von $12:00$ bis $18:00$ Uhr sind insgesamt also ca. $22.667\,\text{m}^3$ Wasser in das Staubecken zugeflossen.
#integral
2
a)
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Schnittpunkte mit den Achsen angeben
$g_6(x) = (x-3)\cdot \left(x^2-6x-3\right) $
Für die Schnittpunkte mit der $x$-Achse:
$\begin{array}[t]{rll} g_6(x) &=& 0 \\[5pt] (x-3)\cdot \left(x^2-6x-3\right) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\, CAS\\[5pt] x_1 &=& -2\cdot \sqrt{3} + 3 \\[5pt] x_2 &=& 3 \\[5pt] x_3 &=& 2\cdot \sqrt{3} + 3 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g_6(x) &=& 0 \\[5pt] x_1 &=& -2\cdot \sqrt{3} + 3 \\[5pt] x_2 &=& 3 \\[5pt] x_3 &=& 2\cdot \sqrt{3} + 3 \\[5pt] \end{array}$
Der Graph $G_6$ schneidet die $x$-Achse also in den Punkten $S_{x_1}\left(-2\cdot \sqrt{3} + 3 \mid 0 \right),$ $S_{x_2}\left(3\mid 0 \right)$ und $S_{x_3}\left(2\cdot \sqrt{3} + 3 \mid 0 \right).$
Für den Schnittpunkt mit der $y$-Achse:
$\begin{array}[t]{rll} g_6(0)&= (0-3)\cdot \left(0^2-6\cdot 0-3\right) \\[5pt] &= 9 \end{array}$
$ g_6(0) = 9 $
Der Graph $G_6$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $S_y(0\mid 9).$
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Extrempunkte angeben
1. Schritt: Ableitungen bestimmen
In deinem CAS kannst du mit folgendem Befehl die ersten beiden Ableitungen von $g_6$ definieren:
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Mit dem notwendigen Kriterium für Extrempunkte $g_6'(x)=0$ folgen mögliche Extremstellen. Die Gleichung kannst du mit dem solve-Befehl deines CAS lösen:
$\begin{array}[t]{rll} g_6'(x)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS\\[5pt] x_1&=& 1 \\[5pt] x_2&=& 5 \\[5pt] \end{array}$
Der Graph von $g_6$ besitzt mögliche Extrempunkte an den Stellen $x_1= 1 $ und $x_2 = 5.$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} g_6''(1 )&=& -12 \\[5pt] &<& 0 \\[10pt] g_6''(5 )&=& 12 \\[5pt] &>& 0 \\[10pt] \end{array}$
An der Stelle $x_1=1$ besitzt der Graph von $g_6$ also einen Hochpunkt, an der Stelle $x_2=5$ einen Tiefpunkt.
4. Schritt: Vollständige Koordinaten berechnen
$\begin{array}[t]{rll} g_6(1)&=& 16\\[5pt] g_6(5)&=& -16\\[5pt] \end{array}$
Der Graph $G_6$ besitzt zwei Extrempunkte, den Hochpunkt $H\left( 1\mid 16\right)$ und den Tiefpunkt $T\left(5 \mid -16\right).$
$\blacktriangleright$  Graphen skizzieren
Teil B
Abb. 1: Graph $G_6$
Teil B
Abb. 1: Graph $G_6$
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten der gemeinsamen Punkte bestimmen
Alle Graphen der Funktionenschar verlaufen durch einen gemeinsamen Punkt, wenn dieser auf zwei verschiedenen Graphen $G_{t_1}$ und $G_{t_2}$ für jede beliebige Kombination von $t_1$ und $t_2$ liegt.
Die Graphen zweier Funktionen $g_{t_1}$ und $g_{t_2}$ sollen also unabhängig von $t_1$ und $t_2$ gemeinsame Punkte besitzen. Es muss also $x$-Werte geben, für die $g_{t_1}(x)= g_{t_2}(x)$ ist.
Diese Gleichung kannst du mit dem solve-Befehl deines CAS lösen. Verwende dazu für $t_1$ beispielsweise die Variable $t$ und für $t_2$ die Variable $a,$ damit der Taschenrechner die Variablen unterscheiden kann. Du erhältst dann:
$\begin{array}[t]{rll} g_{t_1}(x) &=& g_{t_2}(x) \\[5pt] (x-3)\cdot \left(x^2-t_1\cdot x -\frac{t_1}{2} \right)&=& (x-3)\cdot \left(x^2-t_2\cdot x -\frac{t_2}{2} \right)&\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x_1 &=& 3 \\[5pt] x_2 &=& -\frac{1}{2} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g_{t_1}(x) &=& g_{t_2}(x) \\[5pt] x_1 &=& 3 \\[5pt] x_2 &=& -\frac{1}{2} \end{array}$
An den Stellen $x_1 = 3$ und $x_2 = -\frac{1}{2}$ besitzen also alle $g_t$ den gleichen Funktionswert.
$\begin{array}[t]{rll} g_{t}(3)&=& (3-3)\cdot \left(3^2-t\cdot 3 -\frac{t}{2}\right) \\[5pt] &=& 0 \\[10pt] g_{t}\left(-\frac{1}{2}\right)&=& \left(-\frac{1}{2}-3\right)\cdot \left(\left(-\frac{1}{2} \right)^2+t\cdot \frac{1}{2}-\frac{t}{2}\right) \\[5pt] &=& -\frac{7}{8}\\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g_{t}(3)&= 0 \\[10pt] g_{t}\left(-\frac{1}{2}\right)&= -\frac{7}{8}\\[10pt] \end{array}$
Alle Funktionen der Schar verlaufen durch die Punkte mit den Koordinaten $P_1\left(3\mid 0\right)$ und $P_2\left(-\frac{1}{2}\mid -\frac{7}{8}\right).$
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Parameterwerte ermitteln
Gesucht sind alle Werte von $t,$ für die die Gleichung $g_t(x)=0$ genau zwei Lösungen besitzt.
$\begin{array}[t]{rll} g_t(x) &=& 0 \\[5pt] (x-3)\cdot \left(x^2-t\cdot x -\frac{t}{2}\right)&=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$ g_t(x) = 0 … $
Aufgrund des Satzes vom Nullprodukt ist wie in Aufgabe 2 a) eine Lösung der Gleichung bereits $x_1 =3.$ Der zweite Faktor darf nun nur noch eine Nullstelle besitzen.
Für den zweiten Faktor folgt mit der $pq$-Formel:
$\begin{array}[t]{rll} x^2-t\cdot x -\frac{t}{2} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;pq-\text{Formel} \\[5pt] x_{2/3} &=& -\frac{-t}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-t}{2} \right)^2 +\frac{t}{2} } \\[5pt] &=& \frac{t}{2}\pm\sqrt{\frac{t^2}{4} +\frac{t}{2}} \\[5pt] \end{array}$
$ x_{2/3} = \frac{t}{2}\pm\sqrt{\frac{t^2}{4} +\frac{t}{2}} $
Damit es nur eine weitere Lösung gibt, müssen beide Lösungen der $pq$-Formel übereinstimmen. Dies ist der Fall, wenn der Radikand unter der Wurzel Null ist:
$\begin{array}[t]{rll} \frac{t^2}{4} +\frac{t}{2} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 4 \\[5pt] t^2 +2t &=& 0 \\[5pt] t \cdot (t+2) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; t_1 = 0 \\[5pt] t_2+2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] t_2 &=& -2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \frac{t^2}{4} +\frac{t}{2} &= 0 \\[5pt] t_1 &= 0 \\[5pt] t_2 &= -2 \end{array}$
Für $t_1=0$ und $t_2=-2$ besitzen die zugehörigen Funktionen $g_{t_1}$ und $g_{t_2}$ genau zwei Nullstellen.
$\,$
d)
$\blacktriangleright$  Parameterwert berechnen
Die Winkelhalbierende des $\text{II}.$ und $\text{IV}.$ Quadranten hat die Gleichung $y = -x.$ Damit die gesuchte Tangente $g$ die gleiche Steigung wie die Winkelhalbierende hat, muss sie also die Steigung $-1$ besitzen. Da die Steigung einer Tangente an einen Graphen im Punkt $(x\mid y)$ die gleiche Steigung hat, wie der Graph in diesem Punkt, sind also die Werte von $t$ gesucht, für die der Graph $G_t$ an der Stelle $x=1$ die Steigung $-1$ hat.
Die Steigung eines Graphen wird durch die erste Ableitungsfunktion beschrieben. Also ist $t$ mit $g_t'(1)=-1$ gesucht.
$\begin{array}[t]{rll} g_t(x) &=& (x-3)\cdot (x^2 -t\cdot x -\frac{t}{2}) \\[5pt] &=& x^3 -t\cdot x^2 -\frac{t}{2}\cdot x - 3x^2 +3t\cdot x +\frac{3t}{2} \\[5pt] &=& x^3 -(t+3)\cdot x^2-\left(\frac{t}{2}-3t \right)\cdot x +\frac{3t}{2} \\[10pt] g_t'(x) &=& 3x^2 -2(t+3)\cdot x-\left(\frac{t}{2}-3t \right) \\[5pt] &=& 3x^2 -2(t+3)\cdot x-\frac{t}{2}+3t \\[5pt] \end{array}$
$ g_t'(x)= 3x^2 -2(t+3)\cdot x-\frac{t}{2}+3t $
Einsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} g_t'(1) &=& -1 \\[5pt] 3\cdot 1^2 -2(t+3)\cdot 1-\frac{t}{2}+3t &=& -1 \\[5pt] -3+\frac{t}{2} &=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; +3\\[5pt] \frac{t}{2} &=& 2 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 2 \\[5pt] t&=& 4 \end{array}$
$ t=4 $
Für $t=4$ verläuft die Tangente an den Graphen $G_t$ im Berührpunkt $(1\mid g_t(1))$ parallel zur Winkelhalbierenden des $\text{II}.$ und $\text{IV}.$ Quadranten.
$\blacktriangleright$  Gleichung der Tangente angeben
Die Tangente $g$ hat die Steigung $-1.$ Sie verläuft durch den Punkt $(1\mid g_4(1)).$
$\begin{array}[t]{rll} g_4(1)&=& (1-3)\cdot \left(1^2 -4\cdot 1 -\frac{4}{2} \right) \\[5pt] &=& 10 \end{array}$
$ g_4(1) = 10 $
Sie muss also an der Stelle $x=1$ den Funktionswert $10$ annehmen:
$\begin{array}[t]{rll} g:\, y &=& -x + b &\quad \scriptsize \mid\; (1\mid 10) \\[5pt] 10 &=& -1+b &\quad \scriptsize \mid\;+1 \\[5pt] 11 &=& b \end{array}$
$ b=11 $
Die Gleichung der Tangente an den Grpahen von $g_4$ im Punkt $(1\mid 10)$ lautet $g:\, y = -x+11.$
$\,$
e)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Wendepunkts ermitteln
1. Schritt: Ableitungen bestimmen
Wie in Aufgabe 2 a) kannst du die ersten drei Ableitungsfunktionen von $g_t$ im CAS mithilfe des entsprechenden Ableitungsbefehls definieren.
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Mit dem notwendigen Kriterium für Wendepunkte $g_t'(x)=0$ folgen mögliche Wendestellen:
$\begin{array}[t]{rll} g_t''(x)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x&=& \frac{t}{3}+1 \\[5pt] \end{array}$
Der Graph von $g_t$ besitzt eine mögliche Wendestelle an der Stelle $x =\frac{t}{3}+1:$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} g_t'''\left(\frac{t}{3}+1\right)&=& 6 \\[5pt] &\neq& 0 \\[10pt] \end{array}$
An der Stelle $x=\frac{t}{3}+1$ besitzt der Graph von $g_t$ also einen Wendepunkt.
4. Schritt: Vollständige Koordinaten berechnen
$g_t\left(\frac{t}{3}+1 \right) = -\frac{2}{27}t^3 + \frac{1}{6}t^2 +2t -2 $
$ g_t\left(\frac{t}{3}+1 \right) = … $
Der Graph von $g_t$ besitzt den Wendepunkt
$W_t\left(\frac{t}{3}+1 \mid -\frac{2}{27}t^3 + \frac{1}{6}t^2 +2t -2 \right).$
$ W_t… $
$\blacktriangleright$  Parameterwert bestimmen
Der Wendepunkt $W_t$ liegt auf einer der Koordinatenachsen, wenn eine der beiden Koordinaten Null ist. Für die $x$-Koordinate gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \frac{t}{3}+1 &=& 0&\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] \frac{t}{3} &=& -1 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (3) \\[5pt] t &=& -3 \end{array}$
$ t=-3 $
Für die $y$-Koordinate gilt:
$\begin{array}[t]{rll} -\frac{2}{27}t^3 + \frac{1}{6}t^2 +2t -2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] t_1 &=& 6 \\[5pt] t_2 &=& \frac{-3\cdot \sqrt{57}-15}{8} \\[5pt] t_3 &=& \frac{3\cdot \sqrt{57}-15}{8} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t_1 &=& 6 \\[5pt] t_2 &=& \frac{-3\cdot \sqrt{57}-15}{8} \\[5pt] t_3 &=& \frac{3\cdot \sqrt{57}-15}{8} \end{array}$
Für $t=-3$ liegt $W_t$ auf der $y$-Achse, für $t_1 = 6,$ $t_2=\frac{-3\cdot \sqrt{57}-15}{8}$ und $t_3 =\frac{3\cdot \sqrt{57}-15}{8} $ liegt $W_t$ auf der $x$-Achse.
$\,$
f)
$\blacktriangleright$  Volumina bestimmen
Da $x=3$ eine Nullstelle von $g_6$ ist, ist dies die Begrenzung der beiden Flächenstücke. Mithilfe der in der Aufgabenstellung angegebenen Formel und dem folgenden Befehl deines CAS kannst du die Volumina berechnen:
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$ π*∫((g6(x))^2,x,0,3)
$\begin{array}[t]{rll} V_1 &=& \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{3}\left(g_6(x)\right)^2\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &=& \frac{15.471}{35}\pi \\[10pt] V_2 &=& \pi \cdot \displaystyle\int_{3}^{6}\left(g_6(x)\right)^2\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &=& \frac{15.471}{35}\pi \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} V_1 &= \frac{15.471}{35}\pi \\[10pt] V_2 &= \frac{15.471}{35}\pi \\[10pt] \end{array}$
Beide Rotationskörper haben jeweils ein Volumen von $\frac{15.471}{35}\pi \approx 1.388,67\,\text{VE}.$
#integral
$\,$
g)
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass die Aussage falsch ist
Betrachtet man beispielsweise das Flächenstück, das von der Gerade mit der Gleichung $y=1,$ der $x$-Achse und den Geraden zu $x=0$ und $x=1$ eingeschlossen wird, dann handelt es sich dabei um ein Quadrat mit der Seitenlänge $1.$ Dann ist das Volumen des Körpers, der durch Rotation um die $x$-Achse entsteht:
$\begin{array}[t]{rll} V_3 &=& \pi\cdot \displaystyle\int_{0}^{1}(1)^2\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \pi \\[5pt] \end{array}$
$ V_3 = \pi $
Eine Fläche, die inhaltsgleich zu dieser ist, ist die Fläche, die von den Geraden zu $y=4$ und $y=3$ sowie $x=0$ und $x=1$ begrenzt wird. Dabei handelt es sich ebenfalls um ein Quadrat mit der Seitenlänge $1.$
Rotiert diese Fläche um die $x$-Achse, so kann ihr Volumen aus der Differenz der beiden Teilvolumina berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} V_4&=& \pi\cdot \displaystyle\int_{0}^{1}(4)^2\;\mathrm dx - \pi\cdot \displaystyle\int_{0}^{1}(3)^2\;\mathrm dx \\[5pt] &=& 16\pi - 9\pi \\[5pt] &=& 7\pi \neq \pi\\[5pt] \end{array}$
$ V_4 = 7\pi \neq \pi $
Die beiden Flächenstücke sind also inhaltsgleich, die Volumina, die bei deren Rotation um die $x$-Achse entstehen, sind allerdings verschieden. Die in der Aufgabe angegebene Aussage ist also falsch.
#integral
Bildnachweise [nach oben]
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