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Teil B

Aufgaben
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Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k$ mit
$f_k(x)=-\dfrac{3}{512}k\cdot x^4+\dfrac{3}{32}k^2\cdot x^2$ und $k\in \mathbb{R}^+.$
1
a)
Ordne dem Likörglas und dem Cocktailglas jeweils den zugehörigen Graphen aus der Abbildung zu.
(2 BE)
b)
Bestimme den Wert von $k$, so dass die Funktion $f_k$ den Kelch des Sektglases beschreibt. Gib $k$ auf eine Dezimale genau an.
(2 BE)
c)
Begründe, dass für jedes $k\in \mathbb{R}^+$ der Graph von $f_k$ symmetrisch zur $y$-Achse ist.
(2 BE)
d)
Bestimme Lage und Art der Extrempunkte des Graphen von $f_k$ in Abhängigkeit von $k$.
[Teilergebnis: eine Extremstelle: $x=2\sqrt{2k}$]
(5 BE)
e)
Weise für den Graphen jeder Funktion $f_k$ der Schar nach, dass dessen Extrempunkte mit positiver $x$-Koordinate auf dem Graphen einer Funktion mit der Gleichung $y= \frac{3}{4.096}x^6$ liegt.
(2 BE)
f)
Ermittle das größte Intervall der Form $]a;b[$ auf der $x$-Achse, in dem der Graph von $f_k$ linksgekrümmt ist, in Abhängigkeit von $k$.
(3 BE)
#achsensymmetrie#extrempunkt#krümmung
2
Betrachtet wird nun das Cocktailglas, dessen Kelch mithilfe der Funktion $f_3$ für $-2\sqrt{6}\leq x \leq 2\sqrt{6}$ beschrieben werden kann.
a)
Um das Glas verläuft eine eingeschliffene kreisförmige Linie, die sich in vertikaler Richtung $2\,\text{cm}$ unterhalb des Glasrands befindet. Berechne die Länge dieser Linie auf Millimeter genau.
(5 BE)
Im Cocktailglas befindet sich ein $20\,\text{cm}$ langer Strohhalm, der am unteren Ende Kontakt zum Glas hat. Der Strohhalm kann als Strecke im Koordinatensystem der Abbildung dargestellt werden, deren unterer Eckpunkt auf dem Graphen der Funktion $f_3$ liegt.
b)
Außerdem berührt der Strohhalm das Glas in dem Punkt, der in der Abildung durch den Punkt $R\left(4\mid f_3(4)\right)$ dargestellt wird. Ermittle die Länge des Abschnitts des Strohhalms zwischen diesem Berührpunkt und seinem oberen Ende auf Millimeter genau.
(4 BE)
c)
Die Lage des Strohhalms wird verändert. Sein unteres Ende wird in der Abbildung nun durch $P\left(-1\mid f_3(-1)\right)$ dargestellt und der Punkt, in dem er das Glas berührt, durch $Q\left(u\mid f_3(u)\right)$ mit $u > 0.$ Berechne $u$.
(4 BE)
#berührpunkt
3
Der Kelch des Sektglases kann in guter Näherung auch mithilfe der Funktion $s$ mit $s(x)=\frac{4}{3}x^2$ und $0\leq x\leq 3$ dargestellt werden. Das Volumen der Flüssigkeit im Sektglas in $\text{cm}^3$ kann näherungsweise mithilfe der Formel $V= \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{h}\left(s^{-1}(x)\right)^2\;\mathrm dx$ berechnet werden. Dabei ist $h$ die Füllhöhe in $\text{cm}$ und $s^{-1}$ die Umkehrfunktion von $s.$ Berechne das Flüssigkeitsvolumen im Sektglas bei einer Füllhöhe von $8\,\text{cm}$ auf Kubikzentimeter genau.
(4 BE)
#umkehrfunktion
4
Betrachtet wird nun ein Likörglas, dessen Kelch mithilfe der Funktion $f_2$ für $-4\leq x\leq 4$ beschrieben werden kann. Dasmodellierende Graphenstück soll für $0\leq x\leq 4$ durch zwei aneinander angrenzende Parabelstücke angenähert werden, die folgende Eigenschaften besitzen:
  • Die Scheitelpunkte der Parabeln sollen im Tiefpunkt bzw. Hochpunkt des Graphen von $f_2$ liegen.
  • Die Parabeln sollen in einem Punkt, der die gleiche $x$-Koordinate wie der Wendepunkt des Graphen von $f_2$ hat, ohne Knick ineinander übergehen.
Die zu den beiden Parabelstücken gehörenden in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen werden mit $p_1$ und $p_2$ bezeichnet. Bestimme die Funktionsterme von $p_1$ und $p_2.$
(7 BE)

(40 BE)
#parabel#scheitelpunkt
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Tipps
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1
a)
$\blacktriangleright$  Graphen zuordnen
Du sollst den verschiedenen Sektgläsern den jeweiligen Graphen zuordnen. Du weißt, dass der Kelch des Likörglases durch ein Stück des Graphen von $f_2$ und der des Cocktailglases durch ein Stück des Graphen von $f_3$ modelliert werden kann.
Der Abbildung kannst du entnehmen, dass sich die Funktionswerte der einzelnen Graphen vor allem an der Stelle $x=4$ deutlich unterscheiden. Berechne also die Funktionswerte von $f_2$ und $f_3$ für $x=4$ und vergleiche mit den Graphen in der Abbildung.
b)
$\blacktriangleright$  Wert für $\boldsymbol{k}$ bestimmen
Gesucht ist der Wert für $k$, für den das zugehörige Graphenstück den Kelch des Sektglases beschreibt. Dem Einführungstext kannst du entnehmen, dass das Graphenstück $A$ den Kelch des Sektglases beschreibt. Bestimme $k$ also so, dass das Graphenstück $A$ zu $f_k$ gehört.
Lies dazu die Koordinaten eines Punkts auf $A$ ab, der nicht auf den anderen Graphenstücken liegt, und setze diese in die Funktionsgleichung der Schar $f_k$ ein, um diese nach $k$ zu lösen.
c)
$\blacktriangleright$  Achsensymmetrie begründen
Du sollst begründen, dass der Graph jeder Funktion der Schar symmetrisch zur $y$-Achse ist. Der Graph einer Funktion $f$ ist symmetrisch zur $y$-Achse, wenn folgende Gleichung gilt:
$f(-x)=f(x)$
$f(-x)=f(x)$
Überprüfe diese Bedingung.
d)
$\blacktriangleright$  Lage und Art der Extrempunkte bestimmen
Du hast die Funktionen $f_k$ gegeben und sollst deren Graphen auf Extrempunkte in Abhängigkeit von $k$ untersuchen. Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, f_k'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $f_k''(x_E) > 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $f_k''(x_E) < 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $f_k'$ und $f_k''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f_k'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f_k''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
  4. Berechne die Funktionswerte von $f_k$ an den Extremstellen.
e)
$\blacktriangleright$  Lage der Extrempunkte nachweisen
Du sollst nachweisen, dass für jede Funktion $f_k$ der Extrempunkt des zugehörigen Graphen mit positiver $x$-Koordinate auf dem Graphen mit der Gleichung
$y = \dfrac{3}{4.096}x^6$
liegt. Die Koordinaten dieses Extrempunkts hast du oben bereits berechnet, $H_2\left(2\sqrt{2k}\mid \dfrac{3\cdot k^3}{8}\right).$
Setze diese in die Gleichung ein und überprüfe, ob sie für jedes $k\in \mathbb{R}^+$ erfüllt ist.
f)
$\blacktriangleright$  Das größte Intervall mit Linkskrümmung ermitteln
Du sollst das größte Intervall $]a;b[$ auf der $x$-Achse nennen, in dem der Graph von $f_k$ linksgekrümmt ist. Für die Krümmung des Graphen einer Funktion $f$ auf einem Intervall $I$ gilt:
Der Graph von $f$ ist linksgekrümmt $\Leftrightarrow$ $f''(x)<0 $ für $x\in I$
Der Graph von $f$ ist rechtsgekrümmt $\Leftrightarrow$ $f''(x)>0 $ für $x\in I$
Der Graph von $f$ ist linksgekrümmt $\Leftrightarrow$ $f''(x)>0 $ für $x\in I$
Der Graph von $f$ ist rechtsgekrümmt $\Leftrightarrow$ $f''(x)<0 $ für $x\in I$
Untersuche also, für welche Intervalle $f_k''(x)<0$ in Abhängigkeit von $k$ gilt.
2
a)
$\blacktriangleright$  Länge der Linie berechnen
Die kreisförmige Linie verläuft in vertikaler Richtung zwei Zentimeter unterhalb des Glasrandes. Der Kelch des Cocktailglases wird durch die Funktion $f_3$ im Intervall $-2\sqrt{6} \leq x\leq 2\sqrt{6}$ beschrieben.
Teil B
Abb. 1: Skizze
Teil B
Abb. 1: Skizze
b)
$\blacktriangleright$  Länge des Abschnitts berechnen
Teil B
Abb. 2: Skizze
Teil B
Abb. 2: Skizze
Gehe also wie folgt vor:
  • Stelle die Gleichung der Tangente $t$ auf.
  • Einer der Schnittpunkte der Tangente und dem Graphen von $f_3$ ist der Berührpunkt $R$, der zweite ist der untere Endpunkt $S$ der Strecke. Berechne die Koordinaten von $S$.
  • Berechne den Abstand der Punkte $R$ und $S$ und bilde die Differenz zur Gesamtlänge. Dies ist die gesuchte Länge.
c)
$\blacktriangleright$  Koordinate berechnen
Gesucht ist hier $u$, sodass die Gerade durch die beiden Punkte $P\left(-1\mid f_3(-1)\right)$ und $Q\left(u\mid f_3(u)\right)$ eine Tangente an den Graphen von $f_3$ im Punkt $Q$ ist. Die Steigung $m$ der Geraden durch $P$ und $Q$ muss also die gleiche wie die des Graphen von $f_3$ im Punkt $Q$ sein. Stelle mit Hilfe des Differenzenquotienten eine Gleichung in Abhängigkeit von $u$ auf uns löse diese.
Die Steigung $m$ einer Geraden durch zwei Punkte $P$ und $Q$ kannst du mit folgender Formel berechnen:
$m = \dfrac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}$
$m = \dfrac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}$
Setze die Koordinaten von $P$ und $Q$ in Abhängigkeit von $u$ ein und setze dies mit $f_3'(u)$ gleich.
3
$\blacktriangleright$  Flüssigkeitsvolumen berechnen
Gesucht ist das Flüssigkeitsvolumen $V$ im Sektglas bei einer Füllhöhe von $h=8\,\text{cm}.$ Dafür kannst du laut Aufgabenstellung folgende Formel verwenden:
$V= \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{h}\left(s^{-1}(x)\right)^2\;\mathrm dx$
$V= \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{h}\left(s^{-1}(x)\right)^2\;\mathrm dx$
Bestimme also erst die Umkehrfunktion $s^{-1}$ von $s$ mit $s(x)= \frac{4}{3}x^2.$ Forme dazu die Funktionsgleichung von $s$ nach $x$ um und vertausche anschließend die Variablen.
4
$\blacktriangleright$  Funktionsterme bestimmen
Gesucht sind die Funktionsterme zweier Parabeln $p_1$ und $p_2$, die eine Näherung von $f_2$ für $0\leq x\leq 4$ darstellen sollen. Dafür sollen sie folgende Bedingungen erfüllen:
  • Der Scheitelpunkt einer Parabel soll im Tiefpunkt des Graphen von $f_2$ liegen, der Scheitelpunkt der anderen im Hochpunkt.
  • Die Parabelstücke sollen in einem Punkt aneinander anschließen, der die gleiche $x$-Koordinate $x_W$ wie der Wendepunkt des Graphen von $f_2$ hat, also muss $p_1(x_W)=p_2(x_W)$ gelten.
  • Dieser Übergang soll knickfrei stattfinden, also sollen beide Parabeln an dieser Stelle die gleiche Steigung besitzen: $p_1'\left(x_W\right)=p_2'\left(x_W\right)$
Da du die Scheitelpunkte vorgegeben hast, kannst du die allgemeine Funktionsgleichung einer Parabel in der Scheitelpunktform verwenden um ein lineares Gleichungssystem aufzustellen:
$p(x) = a\cdot (x-x_S)^2+y_S$
$p(x) = $ $ a\cdot (x-x_S)^2+y_S$
Gehe also wie folgt vor:
  1. Die Koordinaten des Tief- bzw. Hochpunkts kennst du bereits, setze diese in die Scheitelpunktform ein. So erhältst du jeweils eine Funktionsgleichung von $p_1$ und $p_2$ in Abhängigkeit des Parameters $a_1$ und $a_2.$
  2. Bestimme die Wendestelle von $f_2.$
  3. Stelle mit den beiden übrigen Bedingungen ein lineares Gleichungssystem auf und löse es nach $a_1$ und $a_2.$
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1
a)
$\blacktriangleright$  Graphen zuordnen
Du sollst den verschiedenen Sektgläsern den jeweiligen Graphen zuordnen. Du weißt, dass der Kelch des Likörglases durch ein Stück des Graphen von $f_2$ und der des Cocktailglases durch ein Stück des Graphen von $f_3$ modelliert werden kann.
Der Abbildung kannst du entnehmen, dass sich die Funktionswerte der einzelnen Graphen vor allem an der Stelle $x=4$ deutlich unterscheiden. Berechne also die Funktionswerte von $f_2$ und $f_3$ für $x=4$ und vergleiche mit den Graphen in der Abbildung.
Teil B
Abb. 1: Berechnen der Funktionswerte
Teil B
Abb. 1: Berechnen der Funktionswerte
Da der Punkt $(4\mid 3)$ auf dem Graphenstück $E$ liegt, nicht aber auf den anderen, gehört dieses Graphenstück zur Funktion $f_2$ und damit zum Likörglas.
Da der Punkt $(4\mid 9)$ auf dem Graphenstück $B$ liegt, nicht aber auf den anderen, gehört dieses Graphenstück zur Funktion $f_3$ und damit zum Cocktailglas.
b)
$\blacktriangleright$  Wert für $\boldsymbol{k}$ bestimmen
Gesucht ist der Wert für $k$, für den das zugehörige Graphenstück den Kelch des Sektglases beschreibt. Dem Einführungstext kannst du entnehmen, dass das Graphenstück $A$ den Kelch des Sektglases beschreibt. Bestimme $k$ also so, dass das Graphenstück $A$ zu $f_k$ gehört.
Lies dazu die Koordinaten eines Punkts auf $A$ ab, der nicht auf den anderen Graphenstücken liegt, und setze diese in die Funktionsgleichung der Schar $f_k$ ein, um diese nach $k$ zu lösen.
Teil B
Abb. 2: Gleichung lösen mit dem CAS
Teil B
Abb. 2: Gleichung lösen mit dem CAS
Für $k \approx 4,1$ beschreibt $f_k$ den Kelch des Sektglases.
c)
$\blacktriangleright$  Achsensymmetrie begründen
Du sollst begründen, dass der Graph jeder Funktion der Schar symmetrisch zur $y$-Achse ist. Der Graph einer Funktion $f$ ist symmetrisch zur $y$-Achse, wenn folgende Gleichung gilt:
$f(-x)=f(x)$
$f(-x)=f(x)$
Überprüfe diese Bedingung:
$\begin{array}[t]{rll} f_k(-x)&=& -\dfrac{3}{512}k\cdot (-x)^4+\dfrac{3}{32}k^2\cdot (-x)^2 \\[5pt] &=& -\dfrac{3}{512}k\cdot x^4+\dfrac{3}{32}k^2\cdot x^2 \\[5pt] &=& f_k(x) \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_k(-x)&=& …\\[5pt] &=& f_k(x) \end{array}$
Da $x$ immer in einer Potenz mit geradem Exponenten vorkommt, gilt $f_k(-x)=f_k(x)$ und damit sind alle Graphen der Funktionen $f_k$ symmetrisch zur $y$-Achse.
d)
$\blacktriangleright$  Lage und Art der Extrempunkte bestimmen
Du hast die Funktionen $f_k$ gegeben und sollst deren Graphen auf Extrempunkte in Abhängigkeit von $k$ untersuchen. Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, f_k'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $f_k''(x_E) > 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $f_k''(x_E) < 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $f_k'$ und $f_k''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f_k'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f_k''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
  4. Berechne die Funktionswerte von $f_k$ an den Extremstellen.
Teil B
Abb. 3: Ableitungen definieren
Teil B
Abb. 3: Ableitungen definieren
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Setze $f_k'(x)=0$. Die Gleichung kannst du wie oben mit deinem CAS lösen und erhältst folgende Lösungen:
$\begin{array}[t]{rll} f_k'(x)&=&0 \\[5pt] x_1&=& -2\sqrt{2k} \\[5pt] x_2&=& 0\\[5pt] x_3&=& 2\sqrt{2k}\\[5pt] \end{array}$
Es gibt drei mögliche Extremstellen.
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f_k''\left(-2\sqrt{2k}\right)&=& \dfrac{-3\cdot k^2}{8} < 0 \\[5pt] f_k''\left(0\right)&=& \dfrac{3\cdot k^2}{16} > 0 \\[5pt] f_k''\left(2\sqrt{2k}\right)&=&\dfrac{-3\cdot k^2}{8} < 0 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &f_k''\left(-2\sqrt{2k}\right) \\[5pt] =& \dfrac{-3\cdot k^2}{8} < 0 \\[10pt] &f_k''\left(0\right) \\[5pt] =& \dfrac{3\cdot k^2}{16} > 0 \\[10pt] &f_k''\left(2\sqrt{2k}\right) \\[5pt] =&\dfrac{-3\cdot k^2}{8} < 0 \\[5pt] \end{array}$
Die Graphen von $f_k$ besitzen also zwei Hochpunkte und einen Tiefpunkt.
4. Schritt: Funktionswerte berechnen
Berechne nun die zugehörigen $y$-Koordinaten.
$\begin{array}[t]{rll} f_k\left(-2\sqrt{2k}\right)&=& \dfrac{3\cdot k^3}{8} \\[5pt] f_k\left(0\right)&=& 0 \\[5pt] f_k\left(2\sqrt{2k}\right)&=&\dfrac{3\cdot k^3}{8} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &f_k\left(-2\sqrt{2k}\right)\\[5pt] =& \dfrac{3\cdot k^3}{8} \\[10pt] &f_k\left(0\right)\\[5pt] =& 0 \\[10pt] &f_k\left(2\sqrt{2k}\right)\\[5pt] =&\dfrac{3\cdot k^3}{8} \\[5pt] \end{array}$
Der Graph von $f_k$ besitzt für jedes $k\in \mathbb{R}^+$ zwei Hochpunkte mit den Koordinaten $H_1\left(-2\sqrt{2k}\mid \dfrac{3\cdot k^3}{8} \right)$ und $H_2\left(2\sqrt{2k}\mid \dfrac{3\cdot k^3}{8}\right)$ und einen Tiefpunkt mit den Koordinaten $T(0\mid 0).$
e)
$\blacktriangleright$  Lage der Extrempunkte nachweisen
Du sollst nachweisen, dass für jede Funktion $f_k$ der Extrempunkt des zugehörigen Graphen mit positiver $x$-Koordinate auf dem Graphen mit der Gleichung
$y = \dfrac{3}{4.096}x^6$
liegt. Die Koordinaten dieses Extrempunkts hast du oben bereits berechnet, $H_2\left(2\sqrt{2k}\mid \dfrac{3\cdot k^3}{8}\right).$
Setze diese in die Gleichung ein und überprüfe, ob sie für jedes $k\in \mathbb{R}^+$ erfüllt ist.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& \dfrac{3}{4.096}x^6 \\[10pt] \dfrac{3\cdot k^3}{8}&=& \dfrac{3}{4.096}\left(2\sqrt{2k}\right)^6\\[5pt] \dfrac{3\cdot k^3}{8}&=& \dfrac{3}{4.096}\cdot 64 \cdot (2k)^3\\[5pt] \dfrac{3\cdot k^3}{8}&=& \dfrac{3}{4.096}\cdot 64 \cdot 8k^3\\[5pt] \dfrac{3\cdot k^3}{8}&=&\dfrac{3}{8}k^3 \\[5pt] \dfrac{3\cdot k^3}{8}&=&\dfrac{3\cdot k^3}{8}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& \dfrac{3}{4.096}x^6 \\[10pt] …\\[5pt] \dfrac{3\cdot k^3}{8}&=&\dfrac{3\cdot k^3}{8}\\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung ist für jedes $k\in \mathbb{R}^+$ erfüllt. Damit liegen alle Extrempunkte mit positiver $x$-Koordinate der Graphen von $f_k$ auf dem Graphen der Funktion mit der Gleichung $y = \frac{3}{4.096}x^6.$
f)
$\blacktriangleright$  Das größte Intervall mit Linkskrümmung ermitteln
Du sollst das größte Intervall $]a;b[$ auf der $x$-Achse nennen, in dem der Graph von $f_k$ linksgekrümmt ist. Für die Krümmung des Graphen einer Funktion $f$ auf einem Intervall $I$ gilt:
Der Graph von $f$ ist linksgekrümmt $\Leftrightarrow$ $f''(x)<0 $ für $x\in I$
Der Graph von $f$ ist rechtsgekrümmt $\Leftrightarrow$ $f''(x)>0 $ für $x\in I$
Der Graph von $f$ ist linksgekrümmt $\Leftrightarrow$ $f''(x)>0 $ für $x\in I$
Der Graph von $f$ ist rechtsgekrümmt $\Leftrightarrow$ $f''(x)<0 $ für $x\in I$
Untersuche also, für welche Intervalle $f_k''(x)<0$ in Abhängigkeit von $k$ gilt.
Teil B
Abb. 4: Zweite Ableitung $f_k''$
Teil B
Abb. 4: Zweite Ableitung $f_k''$
$\begin{array}[t]{rll} 0&<&\dfrac{-(9k\cdot x^2-24k^2)}{128} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-128) \\[5pt] 0&>&9k\cdot x^2-24k^2 &\quad \scriptsize \mid\; :9k >0 \\[5pt] 0&>& x^2-\frac{8}{3}k&\quad \scriptsize \mid\; + \frac{8}{3}k\\[5pt] \frac{8}{3}k&>& x^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 0&<&\frac{-(9k\cdot x^2-24k^2)}{128} \\[5pt] …\\[5pt] \frac{8}{3}k&>& x^2 \end{array}$
Diese Ungleichung ist für alle $x$ mit $-\sqrt{\frac{8}{3}k}< x < \sqrt{\frac{8}{3}k}$ erfüllt.
Das gesuchte Intervall ist in Abhängigkeit von $k$: $\left]-\sqrt{\frac{8}{3}k}; \sqrt{\frac{8}{3}k}\right[$
2
a)
$\blacktriangleright$  Länge der Linie berechnen
Die kreisförmige Linie verläuft in vertikaler Richtung zwei Zentimeter unterhalb des Glasrandes. Der Kelch des Cocktailglases wird durch die Funktion $f_3$ im Intervall $-2\sqrt{6} \leq x\leq 2\sqrt{6}$ beschrieben.
Teil B
Abb. 5: Skizze
Teil B
Abb. 5: Skizze
Mit dem CAS erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} f_3\left(2\sqrt{6}\right)&=& \frac{81}{8} \\[5pt] \end{array}$
Das Glas ist also $\frac{81}{8}\,\text{cm}$ hoch. Die Linie kann daher durch ein Graphenstück der Gerade mit der Gleichung $y = \frac{65}{8}$ beschrieben werden.
Berechne die Schnittstellen dieser Gerade mit $f_3$ durch Gleichsetzen. Die Gleichung kannst du wie oben mit dem solve-Befehl deines CAS lösen.
$\begin{array}[t]{rll} f_3(x)&=& \frac{65}{8}\\[5pt] x_1&=&\dfrac{-2\cdot \sqrt{30}}{3} \\[5pt] x_2&=& \dfrac{2\cdot \sqrt{30}}{3} \\[5pt] \end{array}$
Die anderen Lösungen liegen außerhalb des betrachteten Intervalls. Der Durchmesser der Kreislinie lässt sich also durch die Strecke mit den beiden Endpunkten $S_1\left(\dfrac{-2\cdot \sqrt{30}}{3} \mid\dfrac{65}{8}\right)$ und $S_2\left(\dfrac{2\cdot \sqrt{30}}{3}\mid \dfrac{65}{8} \right)$ beschreiben.
Der Radius des Kreises beträgt also $\frac{2\cdot \sqrt{30}}{3}\,\text{cm}.$ Setze in die Formel für den Kreisumfang ein:
$\begin{array}[t]{rll} U&=& 2\cdot \pi \cdot r \\[5pt] &=& 2\cdot \pi \cdot \frac{2\cdot \sqrt{30}}{3}\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 22,9\,\text{cm} \end{array}$
Die Linie ist ca. $22,9\,\text{cm}$ lang.
b)
$\blacktriangleright$  Länge des Abschnitts berechnen
Teil B
Abb. 6: Skizze
Teil B
Abb. 6: Skizze
Gehe also wie folgt vor:
  • Stelle die Gleichung der Tangente $t$ auf.
  • Einer der Schnittpunkte der Tangente und dem Graphen von $f_3$ ist der Berührpunkt $R$, der zweite ist der untere Endpunkt $S$ der Strecke. Berechne die Koordinaten von $S$.
  • Berechne den Abstand der Punkte $R$ und $S$ und bilde die Differenz zur Gesamtlänge. Dies ist die gesuchte Länge.
1. Schritt: Tangentengleichung aufstellen
Für eine Tangente $t:\; y =mx+b$ an den Graphen von $f_3$ im Punkt $R(4\mid f_3(4))$ müssen folgende Bedingungen gelten:
  • $t$ besitzt die gleiche Steigung wie der Graph von $f_3$ im Punkt $R$: $m=f_3'(4)$
  • $t$ verläuft durch den Punkt $R$.
Die Steigung kannst du wie zuvor mit deinem CAS berechnen, indem du zuerst die Ableitung $f_3'$ definierst und anschließend den Funktionswert an der Stelle $x=4$ berechnest:
$m =f_3'(4)= \frac{9}{4}$
Berechne nun $f_3(4)$ und setze die Koordinaten von $R$ in die Tangentengleichung ein um $b$ zu berechnen. Es ist $f_3(4)=9.$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& \frac{9}{4}x +b \\[5pt] 9&=&\frac{9}{4}\cdot 4 +b &\quad \scriptsize \mid\; -9 \\[5pt] 0&=& b \end{array}$
Die Tangentengleichung lautet also $t:\; y = \frac{9}{4}x.$
2. Schritt: Koordinaten des Schnittpunkts berechnen
Aus der Tangentengleichung kannst du ablesen, dass die Tangente durch den Koordinatenursprung verläuft. Dieser Punkt liegt ebenfalls auf dem Graphen von $f_3$, da er laut Aufgabe 1 d) ein Tiefpunkt jedes Graphen der Schar $f_k$ ist.
Alternativ kannst du den Schnittpunkt auch durch Gleichsetzen der Funktionsterme bestimmen.
Die Koordinaten von $S$ lauten also $S(0\mid 0).$
3. Schritt: Abstände berechnen
Den Abstand zwischen zwei Punkten $P$ und $Q$ kannst du mit folgender Formel berechnen:
$d(P,Q) = \sqrt{\left(x_Q-x_P\right)^2+\left(y_Q-y_P \right)^2}$
$ d(P,Q) = … $
Berechne also den Abstand von $S$ und $R$:
$\begin{array}[t]{rll} P(S,R)&=& \sqrt{\left(4-0\right)^2+\left(9-0\right)^2}\\[5pt] &=& \sqrt{97} \\[5pt] \end{array}$
$ P(S,R) = \sqrt{97} $
Die gesamte Strecke $[SQ]$ ist $20$ Längeneinheiten lang. Berechne also die Länge der Strecke $[RQ]$ über die Differenz:
$\begin{array}[t]{rll} d(R,Q)&=& 20 - d(S,R) \\[5pt] &=& 20- \sqrt{97} \\[5pt] &\approx& 10,2 \end{array}$
Der Abschnitt des Strohhalms zwischen dem Berührpunkt und dem oberen Ende ist ca. $10,2\,\text{cm}$ lang.
c)
$\blacktriangleright$  Koordinate berechnen
Gesucht ist hier $u$, sodass die Gerade durch die beiden Punkte $P\left(-1\mid f_3(-1)\right)$ und $Q\left(u\mid f_3(u)\right)$ eine Tangente an den Graphen von $f_3$ im Punkt $Q$ ist. Die Steigung $m$ der Geraden durch $P$ und $Q$ muss also die gleiche wie die des Graphen von $f_3$ im Punkt $Q$ sein. Stelle mit Hilfe des Differenzenquotienten eine Gleichung in Abhängigkeit von $u$ auf uns löse diese.
Die Steigung $m$ einer Geraden durch zwei Punkte $P$ und $Q$ kannst du mit folgender Formel berechnen:
$m = \dfrac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}$
$m = \dfrac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}$
Setze die Koordinaten von $P$ und $Q$ in Abhängigkeit von $u$ ein und setze dies mit $f_3'(u)$ gleich. Die Gleichung kannst du dann mit deinem CAS lösen.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{f_3(u)-f_3(-1)}{u-(-1)}&=&f_3'(u) \\[5pt] u&=& \dfrac{\sqrt{142}+1}{3} \end{array}$
$ u = \dfrac{\sqrt{142}+1}{3}$
Die zweite Lösung ist nicht gültig, da dort $u < 0$ wäre.
Für $u= \dfrac{\sqrt{142}+1}{3}$ berührt der Strohhalm das Glas an dem Punkt, der im Modell durch $Q\left(u\mid f_3(u)\right)$ dargestellt wird, wenn sein unteres Ende durch den Punkt $P\left(-1\mid f_3(-1)\right)$ modelliert wird.
3
$\blacktriangleright$  Flüssigkeitsvolumen berechnen
Gesucht ist das Flüssigkeitsvolumen $V$ im Sektglas bei einer Füllhöhe von $h=8\,\text{cm}.$ Dafür kannst du laut Aufgabenstellung folgende Formel verwenden:
$V= \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{h}\left(s^{-1}(x)\right)^2\;\mathrm dx$
$V= \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{h}\left(s^{-1}(x)\right)^2\;\mathrm dx$
Bestimme also erst die Umkehrfunktion $s^{-1}$ von $s$ mit $s(x)= \frac{4}{3}x^2.$ Forme dazu die Funktionsgleichung von $s$ nach $x$ um und vertausche anschließend die Variablen.
$\begin{array}[t]{rrll} s:\;& y&=& \frac{4}{3}x^2 &\quad \scriptsize \mid\; : \frac{4}{3} \\[5pt] &\frac{3}{4}y&=&x^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] &\sqrt{\frac{3}{4}y}&=& x\\[10pt] s^{-1}: \;& y&=& \sqrt{\frac{3}{4}x} \end{array}$
$ s^{-1}: \; y= \sqrt{\frac{3}{4}x} $
Setze also in die Formel ein. Das Integral kannst du mit deinem CAS berechnen. Den Befehl dafür findest du unter:
keyboard $\to$ Math2
keyboard $\to$ Math2
Teil B
Abb. 7: Integralberechnung mit dem CAS
Teil B
Abb. 7: Integralberechnung mit dem CAS
Bei einer Füllhöhe von $8\,\text{cm}$ befinden sich ca. $75\,\text{cm}^3$ im Sektglas.
4
$\blacktriangleright$  Funktionsterme bestimmen
Gesucht sind die Funktionsterme zweier Parabeln $p_1$ und $p_2$, die eine Näherung von $f_2$ für $0\leq x\leq 4$ darstellen sollen. Dafür sollen sie folgende Bedingungen erfüllen:
  • Der Scheitelpunkt einer Parabel soll im Tiefpunkt des Graphen von $f_2$ liegen, der Scheitelpunkt der anderen im Hochpunkt.
  • Die Parabelstücke sollen in einem Punkt aneinander anschließen, der die gleiche $x$-Koordinate $x_W$ wie der Wendepunkt des Graphen von $f_2$ hat, also muss $p_1(x_W)=p_2(x_W)$ gelten.
  • Dieser Übergang soll knickfrei stattfinden, also sollen beide Parabeln an dieser Stelle die gleiche Steigung besitzen: $p_1'\left(x_W\right)=p_2'\left(x_W\right)$
Da du die Scheitelpunkte vorgegeben hast, kannst du die allgemeine Funktionsgleichung einer Parabel in der Scheitelpunktform verwenden um ein lineares Gleichungssystem aufzustellen:
$p(x) = a\cdot (x-x_S)^2+y_S$
$p(x) = $ $ a\cdot (x-x_S)^2+y_S$
Gehe also wie folgt vor:
  1. Die Koordinaten des Tief- bzw. Hochpunkts kennst du bereits, setze diese in die Scheitelpunktform ein. So erhältst du jeweils eine Funktionsgleichung von $p_1$ und $p_2$ in Abhängigkeit des Parameters $a_1$ und $a_2.$
  2. Bestimme die Wendestelle von $f_2.$
  3. Stelle mit den beiden übrigen Bedingungen ein lineares Gleichungssystem auf und löse es nach $a_1$ und $a_2.$
1. Schritt: Scheitelpunktformen aufstellen
Die Koordinaten des Tiefpunkts der Graphen von $f_k$ sind $T(0\mid 0).$ Dies muss also der Scheitelpunkt einer der Parabeln sein, also zB. von $p_1$:
$\begin{array}[t]{rll} p_1:\; y &=& a_1\cdot (x-0)^2 +0 \\[5pt] &=&a\cdot x^2 \end{array}$
Die Koordinaten der Hochpunkte der Graphen von $f_k$ im betrachteten Intervall $(0\leq x \leq 4)$ lauten $H_2\left(2\sqrt{2k}\mid \dfrac{3\cdot k^3}{8}\right),$ für $k =2$ also:
$H_2\left(4\mid 3\right)$
$p_2:\; y = a_2\cdot \left(x-4\right)^2 +3$
2. Schritt: Wendestelle berechnen
Berechne die Wendestelle von $f_2$. Dafür müssen zwei Bedingungen gelten:
  • Notwendiges Kriterium: $f_2''\left(x_W\right) = 0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f_2'''\left(x_W\right)\neq 0$
Die Gleichung $f_2''\left( x_W\right) = 0$ kannst du mit dem solve-Befehl deines CAS wie zuvor lösen und erhältst:
$\begin{array}[t]{rll} f_2''\left(x_W\right)&=& 0 \\[5pt] x_W&=& \frac{2\sqrt{3}}{3} \end{array}$
Die zweite Lösung liegt außerhalb des Intervalls. Überprüfe noch das hinreichende Kriterium. Dazu kannst du ebenfalls dein CAS verwenden:
$f_2'''\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{-3\sqrt{3}}{8}$
Die $x$-Koordinate des Wendepunkts des Graphen von $f_2$ lautet also $x_W=\frac{2\sqrt{3}}{3}.$
3. Schritt: Lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen
Wendest du die obigen Bedingungen auf $p_1$ und $p_2$ an, erhältst du folgendes Gleichungssystem:
Teil B
Abb. 8: Lösung des Gleichungssystems mit dem CAS
Teil B
Abb. 8: Lösung des Gleichungssystems mit dem CAS
Die Funktionsterme der beiden Parabeln lauten:
$p_1: \; y = \dfrac{-3\sqrt{3}+9}{16\cdot \left(\sqrt{3}-1\right)}\cdot x^2$
$p_2:\; y = \dfrac{-3\sqrt{3}}{16\cdot \left(\sqrt{3}-1\right)} \cdot \left(x-4\right)^2 +3$
$p_1: \; y = \frac{-3\sqrt{3}+9}{16\cdot \left(\sqrt{3}-1\right)}\cdot x^2$
$p_2:\; y = $ $\frac{-3\sqrt{3}}{16\cdot \left(\sqrt{3}-1\right)} \cdot \left(x-4\right)^2 +3$
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