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Eine Seilbahn an einem Berg führt im unteren Abschnitt von der Talstation bis zu einer Seilstütze, im anschließenden oberen Abschnitt von der Seilstütze bis zur Bergstation. Der untere Abschnitt erstreckt sich $1000\;\text{m}$ in horizontaler Richtung, der obere Abschnitt $3000\;\text{m}.$
Abbildung 1 zeigt schematisch den Verlauf des Tragseils der Seilbahn sowie den darunter liegenden Querschnitt des Bergs. Im verwendeten Koordinatensystem ist $x$ die horizontale Entfernung von der Talstation in Kilometern und $y$ die Höhe über dem Meeresspiegel in Kilometern.

Abb. 1

Im unteren Abschnitt, d.h. für $0 \leq x \leq 1,$ wird der Seilverlauf durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto 0,34 x^2+0,15 x+1,16$ beschrieben.

Bestimme den Höhenunterschied, den eine Kabine der Seilbahn auf dem unteren Abschnitt überwindet.

(2 BE)

Berechne die Größe des Winkels, unter dem das Seil im unteren Abschnitt auf die vertikal stehende Seilstütze trifft.

(3 BE)

Im oberen Abschnitt, d. h. für $1 \leq x \leq 4,$ wird der Seilverlauf durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g: x \mapsto a x^2+b x+c$ mit $a, b, c \in \mathbb{R}$ beschrieben.
Die maximale Steigung des Seilverlaufs im oberen Abschnitt beträgt $110\,\%.$ Das Seil ist in der Bergstation in einer Höhe von $3150\,\text{m}$ über dem Meeresspiegel aufgehängt.

Bestimme die Werte von $a, b$ und $c.$

(zur Kontrolle: $a=0,2;b=-0,5;c=1,95$ )

(4 BE)

Ermittle die mittlere Steigung des Seilverlaufs im oberen Abschnitt.

(2 BE)

Berechne die horizontale Entfernung von der Seilstütze bis zu derjenigen Stelle im oberen Abschnitt des Seilverlaufs, an der die Steigung des Seilverlaufs $50\,\%$ beträgt.

(3 BE)

In einer Kabine der Seilbahn befindet sich ein Höhenmesser, der die aktuelle Höhe über dem Meeresspiegel misst. Begründe rechnerisch, dass sich im unteren Abschnitt der horizontale Abstand zur Talstation anhand der Höhe eindeutig bestimmen lässt, jedoch nicht im oberen Abschnitt.

(4 BE)

Die mittlere Geschwindigkeit der Kabine während der Fahrt zwischen Tal- und Bergstation beträgt 7 Meter pro Sekunde. Bestimme unter Verwendung des folgenden Hinweises die Dauer einer Fahrt von der Tal- bis zur Bergstation in Minuten.

$\;$

Hinweis: Ist ein Kurvenstück Graph einer in $\left[x_1 ; x_2\right]$ mit $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ definierten Funktion $r$ mit erster Ableitungsfunktion $\(r$ so gilt für die Länge $L$ dieses Kurvenstücks: $L=\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\left(r^{\prime}(x)\right)^2}\;\mathrm dx.$

(5 BE)

Das Hangprofil unterhalb der Seilbahn wird im Modell für den Bereich $1 \leq x \leq 3$ durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h: x \mapsto 0,1 x+1,43$ beschrieben. Zu diesem Teil des Hangprofils weist das darüberliegende Seil an einer Stelle eine minimale Höhendifferenz auf.

Berechne diese minimale Höhendifferenz.

(3 BE)

Begründe geometrisch, dass diese minimale Höhendifferenz nicht gleich dem Abstand der betrachteten Position im Seilverlauf zum Hangprofil unterhalb der Seilbahn ist, und beschreibe, wie man diesen Abstand rechnerisch ermitteln kann.

(5 BE)

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}^+$ definierten Funktionen $s_k: x \mapsto \ln\left(\frac{k}{x}\right)$ mit $k \in \mathbb{R}^+.$

Begründe, dass jede Stammfunktion der in $\mathbb{R}^+$ definierten Funktion $v: x\mapsto -\frac{1}{x}$ eine der Funktionen $s_k$ ist.

(3 BE)

Abbildung 2 zeigt für einen bestimmten Wert von $k$ den Graphen von $s_k$ sowie den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $p: x \mapsto-\frac{1}{2} x^2+1.$ Für diesen Wert von $k$ schneiden sich der Graph von $s_k$ und der Graph von $p$ in zwei Punkten, von denen einer die $x$ -Koordinate $0,25$ hat. Die Gerade durch diese beiden Schnittpunkte zerlegt das von den beiden Graphen eingeschlossene Flächenstück in zwei Teile.

Abb. 2

Bestimme durch Rechnung näherungsweise das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teile.

(zur Kontrolle: $k=0,25 \cdot \mathrm e^{\frac{31}{32}}$ )

(6 BE)

(40 BE)