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Teil B

Aufgaben
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1
Gegeben ist die Funktion $f:\, x\mapsto \dfrac{80x}{4+x^2}$ mit maximaler Definitionsmenge $\mathbb{D}$ und dem Graphen $G.$
$\,$
a)
Begründe, dass $\mathbb{D} = \mathbb{R}$ gilt, und weise rechnerisch nach, dass $G$ symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.
(2 BE)
#punktsymmetrie
$\,$
b)
Begründe unter Verwendung einer geeigneten Skizze, dass
$\displaystyle\int_{-a}^{b}f(x)\;\mathrm dx =\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\;\mathrm dx $ für $a,b\in \mathbb{R}^+$ mit $a< b$ gilt.
(4 BE)
#integral
2
Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k:\quad x\mapsto \dfrac{80}{k^2+x^2}$ mit $k\in \mathbb{R}^+.$ Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.
$\,$
a)
Bestimme in Abhängigkeit von $k$ Lage und Art der Extrempunkte von $G_k.$
[Zur Kontrolle: $x$-Koordinate des Hochpunkts: $k$]
(5 BE)
#extrempunkt
$\,$
b)
Begründe anhand des Funktionsterms, dass $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f_k(x)=0$ gilt, und gib die Wertemenge von $f_k$ an.
(2 BE)
#wertebereich#grenzwert
$\,$
c)
Bestimme in Abhängigkeit von $k$ die Intervalle, in denen $G_k$ linksgekrümmt ist.
(2 BE)
#krümmung
$\,$
Im Folgenden werden nur die Werte für $k$ betrachtet, für die $G_k$ und die Gerade mit der Gleichung $y=x$ im $\text{I}.$ Quadranten ein Flächenstück einschließen.
$\,$
d)
Begründe, dass $0 < k < \sqrt{80}$ gilt.
(3 BE)
$\,$
e)
Bestimme den Wert von $k$ so, dass das Flächenstück den Inhalt $50$ besitzt; runde das Ergebnis auf zwei Dezimalen.
(4 BE)
3
Abbildung 1 zeigt modellhaft den Querschnitt eines geradlinig verlaufenden Deichs. Die Profillinie des Querschnitts wird für $0 \leq x < a$ durch den Graphen der Funktion $f_8$ und für $a \leq x \leq b$ durch eine Gerade $g$ beschrieben. Dabei ist $f_8$ die zu $k = 8$ gehörende Funktion der Schar aus Aufgabe 2. Die $x$-Achse beschreibt im Intervall $[0;b]$ den unteren Abschluss des Querschnitts. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.
$\,$
a)
Auf der Landseite am Fuß des Deichs darf der Böschungswinkel $\alpha$ (vgl. Abbildung 1) maximal $60^{\circ}$ betragen. Untersuche rechnerisch, ob das bei dem vorliegenden Profil der Fall ist.
(2 BE)
$\,$
Der Graph der Funktion $f_8$ geht an der Stelle $x=a$ ohne Knick in die Gerade $g$ über, die eine Steigung von $15\,\%$ gegenüber der Horizontalen besitzt. Dabei gilt $a> 15.$
$\,$
b)
Bestimme rechnerisch eine Gleichung der Geraden $g.$
[Zur Kontrolle: $y = − \frac{3}{20}x + \frac{32}{5}$]
(4 BE)
$\,$
c)
Berechne das Volumen eines $10\,\text{m}$ langen Teilstücks des Deichs. Gehe dabei analog zur Bestimmung des Volumens eines Prismas mit Grundfläche $G$ und Höhe $h$ vor.
(5 BE)
#prisma
$\,$
$\,$
d)
Berechne die Wandhöhe $w,$ wenn der Behelfsweg in einer Höhe von $h = 2,50\,\text{m}$ verlaufen und $1\,\text{m}$ breit sein soll.
(4 BE)
$\,$
e)
Beschreibe, wie man allgemein die Wegbreite $b$ rechnerisch bestimmen kann, wenn die Höhe $h$ und die Wandhöhe $w$ gegeben sind.
(3 BE)

(40 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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Lösungen
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1
a)
$\blacktriangleright$  Definitionsmenge begründen Teil B
Bei $f$ handelt es sich um eine gebrochenrationale Funktion. Die maximale Definitionsmenge wird nur durch Nullstellen des Nenners eingeschränkt. Im vorliegenden Fall ist der Nenner $4+x^2$ und hat damit keine Nullstellen. Der Bruch ist also für alle $x\in \mathbb{R}$ definiert. Die maximale Definitionsmenge von $f$ ist daher $\mathbb{D} = \mathbb{R}.$
$\blacktriangleright$  Symmetrie nachweisen
Für eine Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung muss $f(-x)= -f(x)$ gelten.
$\begin{array}[t]{rll} f(-x)&=& \dfrac{80\cdot (-x)}{4+(-x)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{-80x}{4+x^2} \\[5pt] &=& -\dfrac{80x}{ 4+x^2} \\[5pt] &=& -f(x) \\[5pt] \end{array}$
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung begründen
Aufgrund der Punktsymmetrie des Graphen von $f$ gilt:
  • $A_1$ und $A_2$ besitzen denselben Flächeninhalt.
  • Eine der beiden Flächen $A_1$ und $A_2$ liegt oberhalb der $x$-Achse, die andere unterhalb. Die zugehörigen Integralwerte sind betragsmäßig gleich, jedoch hat einer ein negatives und der andere ein positives Vorzeichen.
Die beiden Integralwerte von $A_1$ und $A_2$ heben sich also gegenseitig auf, sodass es für die Flächenbilanz keine Rolle spielt, ob die untere Integrationsgrenze $-a$ oder $a$ ist:
$\displaystyle\int_{-a}^{b}f(x)\;\mathrm dx = \underbrace{\displaystyle\int_{-a}^{0}f(x)\;\mathrm dx + \displaystyle\int_{0}^{a}f(x)\;\mathrm dx}_{=0} +\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\;\mathrm dx = \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\;\mathrm dx $
$ \displaystyle\int_{-a}^{b}f(x)\;\mathrm dx = … $
2
a)
$\blacktriangleright$  Lage und Art der Extrempunkte bestimmen
Mit dem solve-Befehl des CAS folgt unter Anwendung des notwendigen Kriteriums für Extremstellen:
$\begin{array}[t]{rll} f_k'(x)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x_1&=& -k \\[5pt] x_2&=& k \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& -k \\[5pt] x_2&=& k \end{array}$
Für das hinreichende Kriterium folgt ebenfalls mit dem CAS:
$\begin{array}[t]{rll} f_k''(-k)&=& \dfrac{40}{k^3} > 0 &\quad \scriptsize \mid\; k\in \mathbb{R}^+ \\[10pt] f_k''(k)&=& \frac{-40}{k^3} < 0 &\quad \scriptsize \mid\; k\in \mathbb{R}^+ \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_k''(-k) > 0 \\[10pt] f_k''(k) < 0 \\[10pt] \end{array}$
An der Stelle $x=k$ besitzt der Graph von $f_k$ also einen Hochpunkt, an der Stelle $x=-k$ einen Tiefpunkt.
$\begin{array}[t]{rll} f_k(-k)&=& \frac{-40}{k} \\[5pt] f_k(k)&=& \frac{40}{k} \end{array}$
$G_k$ besitzt den Tiefpunkt $T\left(-k\mid \frac{-40}{k}\right)$ und den Hochpunkt $H\left(k\mid \frac{40}{k^3} \right).$
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Grenzwert begründen
Der Funktionsterm von $f_k$ ist $\dfrac{80x}{k^2+x^2}.$ Für $x\to +\infty$ gilt sowohl $80x \to \infty$ als auch $k^2 +x^2 \to \infty.$ Allerdings ist die Potenz im Zähler $1,$ im Nenner ist sie $2,$ wodurch das Wachstum im Nenner größer ist als im Zähler, sodass insgesamt $\dfrac{80x}{k^2+x^2}\to 0$ gilt. Aufgrund der Punktsymmetrie des Graphen gilt dies auch für $x\to -\infty.$
$\blacktriangleright$  Wertemenge angeben
Da der Graph von $f_k$ genau zwei Extrempunkte besitzt und für $x\to \pm\infty$ gilt $f_k(x)\to 0,$ ist der kleinste Funktionswert von $f_k$ der Funktionswert an der Stelle des Tiefpunkts und der größte Funktionswert der an der Stelle des Hochpunkts:
Die Wertemenge von $f_k$ ist daher das Intervall $\left[-\frac{40}{k}; \frac{40}{k}\right].$
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Intervalle mit Linkskümmung bestimmen
$G_k$ ist linksgekrümmt, wenn $f_k''(x) >0$ ist. Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f_k''(x)&=& 0 \\[5pt] x_1&=& -\sqrt{3}k \\[5pt] x_2&=& 0 \\[5pt] x_3&=& \sqrt{3}k \end{array}$
Es gibt also folgende Krümmungsintervalle:
$I_1= ]-\infty\,;\, -\sqrt{3}k[$, $I_2 = ] -\sqrt{3}k\,;\, 0[,$ $I_3= ]0\,;\, \sqrt{3}k[,$ $I_4= ]\sqrt{3}k\,;\, \infty[$
In $I_2$ liegt der Tiefpunkt von $G_k$ hier ist der Graph also linksgekrümmt. In $I_3$ liegt der Hochpunkt, hier ist er also rechtsgekrümmt. Aufgrund der Grenzwerte aus Teil 2 b) ist der Graph durch die Lage der Extrempunkte in $I_1$ rechtsgekrümmt und in $I_4$ linksgekrümmt.
Der Graph von $f_k$ ist also auf den Intervallen $I_2 = ] -\sqrt{3}k\, ;\, 0[$ und $I_4= ]\sqrt{3}k\, ;\, \infty[$ linksgekrümmt.
$\,$
d)
$\blacktriangleright$  Grenzen begründen
Da $k\in \mathbb{R}^+$ vorausgesetzt ist, ist $k>0.$ Die Gerade zu $y=x$ und der Graph von $f_k$ schließen im 1. Quadranten eine Fläche ein, wenn sie sich abgesehen vom Schnittpunkt $(0\mid 0)$ noch mindestens an einer weiteren Stelle schneiden, die im 1. Quadranten liegt. Gleichsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} x&=& \dfrac{80x}{k^2+x^2}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot (k^2+x^2) \\[5pt] x\cdot (k^2+x^2)&=& 80x &\quad \scriptsize \mid\;:x\neq 0 \\[5pt] k^2+x^2&=& 80 &\quad \scriptsize \mid\;-k^2 \\[5pt] x^2&=& 80-k^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{}\\[5pt] x&=& \pm\sqrt{80-k^2} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x&=& \pm\sqrt{80-k^2} \end{array}$
Die Wurzel ist nicht für negative Radikanden definiert, im vorliegenden Fall ist sie also nur für $\left|k \right| \leq \sqrt{80}$ definiert. Für $k=\sqrt{80}$ wäre allerdings $x=0$ und damit würden beide Schnittstellen aufeinander fallen, sodass die Graphen keine Fläche einschließen.
Es muss also $0< k < \sqrt{80}$ sein.
$\,$
e)
$\blacktriangleright$  Parameterwert bestimmen
Der Inhalt des Flächenstücks kann mithilfe eines Integrals über die Differenzenfunktion $f_k(x)-x$ bestimmt werden. Die Integrationsgrenzen sind die beiden Schnittstellen $x =0$ und $x= \sqrt{80-k^2}.$ Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{\sqrt{80-k^2}}\left(f_k(x)-x\right)\;\mathrm dx&=& 50 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] k&\approx& 3,08 \end{array}$
$ k \approx 3,08$
Die übrigen Lösungen der Gleichung liegen außerhalb des in Teil d) bestimmten Bereichs $0< k < \sqrt{80}.$
Für $k\approx 3,08$ besitzt das Flächenstück den Inhalt $50.$
#integral
3
a)
$\blacktriangleright$  Böschungswinkel untersuchen
Der gesuchte Winkel entspricht dem Steigungswinkel des Graphen von $f_8$ im Koordinatenursprung. Dieser kann mithilfe der Steigung $f_8'(0)$ bestimmt werden:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha &=& f_8'(0) &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] \tan \alpha &=& 1,25 &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}\\[5pt] \alpha &\approx& 51,34^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
$ \alpha \approx 51,34^{\circ} $
Der Böschungswinkel $\alpha$ ist ca. $51,34^{\circ}$ groß und damit kleiner als $60^{\circ}.$
#steigungswinkel
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Geradengleichung bestimmen
Die Gerade $g$ soll gegenüber der Horizontalen eine Steigung von $15\,\%$ haben, der Betrag des Steigungswerts ist also $0,15.$ Da $G_8$ für $x> 8$ fallend ist, muss die Steigung der Geraden negativ sein: $m_g = -0,15.$
Die Übergangsstelle $x=a$ ist also die Stelle an der $G_8$ die Steigung $-0,15$ besitzt. Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} f_8'(x)&=&-0,15 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x&=& 16 \end{array}$
$ x= 16 $
Die einzige Lösung der Gleichung, die größer als $15$ ist, ist $x=16.$ Der Übergang von $G_8$ zur Gerade findet also an der Stelle $x= 16$ statt.
An dieser Stelle muss $g$ denselben Funktionswert wie $G_8$ besitzen:
$f_8(16)= 4$
Einsetzen in die Geradengleichung liefert den $y$-Achsenabschnitt:
$\begin{array}[t]{rll} g:\quad y&=&m_g\cdot x +b \\[5pt] 4&=&-0,15\cdot 16 +b &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] b&=& 6,4 \end{array}$
$ b = 6,4 $
Eine Gleichung der Gerade $g$ lautet:
$g:\quad y = -0,15x +6,4$
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Volumen berechnen
Die Querschnittsfläche des Deichs entspricht der Grundfläche. Die Länge des Teilstücks entspricht der Höhe, also ist $h=10.$
Die Querschnittsfläche setzt sich im Modell zusammen aus zwei Teilflächen:
  • $A_1$ ist der Inhalt der Fläche, die $G_8$ im $\text{I}.$ Quadranten mit der $x$-Achse und der Gerade zu $x=16$ einschließt. Diese kann mithilfe eines Integrals über $f_8$ berechnet werden.
  • $A_2$ ist der Inhalt des rechtwinkligen Dreiecks, das $g$ mit der $x$-Achse und der Geraden zu $x=16$ bildet.
$\begin{array}[t]{rll} A_1&=& \displaystyle\int_{0}^{16}f_8(x)\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &=& 40\cdot \ln(5) \end{array}$
$ A_1=40\cdot \ln(5) $
Die Gerade $g$ schneidet die $x$-Achse an der Stelle $x=b.$ Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} -0,15x +6,4&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;CAS \\[5pt] x&=& \frac{128}{3} \end{array}$
$ x = \frac{128}{3} $
Eine der beiden Katheten des Dreiecks ist $4$ Längeneinheiten lang, die zweite ist $\frac{128}{3}-16 = \frac{80}{3}.$ Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt also:
$\begin{array}[t]{rll} A_2&=& \frac{1}{2}\cdot 4\cdot \frac{80}{3} \\[5pt] &=& \frac{160}{3} \\[5pt] \end{array}$
$ A_2= \frac{160}{3}$
Für das Volumen ergibt sich dann nach der Formel für das Volumen eines Prismas:
$\begin{array}[t]{rll} V&=& G\cdot h \\[5pt] &=& (A_1 +A_2) \cdot h \\[5pt] &=& (40\cdot \ln(5) + \frac{160}{3})\cdot 10 \\[5pt] &\approx& 1.177,11 \end{array}$
$ V\approx 1.177,11 $
Das Teilstück des Deichs besitzt ein Volumen von ca. $1.177\,\text{m}^3.$
#integral
$\,$
d)
$\blacktriangleright$  Wandhöhe berechnen
Das linke Ende des Wegs liegt im Modell in dem Punkt von $G_8,$ in dem der Funktionswert der gewünschten Höhe $h= 2,5$ entspricht.
$\begin{array}[t]{rll} f_8(x)&=& 2,5 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x&=& -8\cdot \sqrt{3} +16 \end{array}$
$ x = -8\cdot \sqrt{3} +16 $
Die zweite Lösung der Gleichung liegt im Modell auf der Wasserseite und ist daher nicht relevant.
Die rechte Begrenzung des Wegs liegt aufgrund der Breite von $1\,\text{m}$ also an der Stelle $x= -8\cdot \sqrt{3} +17.$ Die Höhe des Deichs an dieser Stelle beträgt:
$f_8(-8\cdot \sqrt{3} +17)\approx3,40 $
Die Wandhöhe $w$ beträgt also ca. $90\,\text{cm}.$
$\,$
e)
$\blacktriangleright$  Verfahren zur Bestimmung der Wegbreite beschreiben
Die linke Begrenzung des Weges liegt im Querschnittsmodell an der Stelle $x_l$ mit $f_8(x_l) = h$ und $x_l <8.$ Die rechte Begrenzung des Weges liegt im Querschnittsmodell an der Stelle $x_r$ mit $f_8(x_r) = h+w$ und $x_l< x_r < 8.$
Diese beiden Stellen können durch das Lösen der obigen Gleichungen bestimmt werden. Die Breite des Weges ergibt sich dann als Differenz der beiden Begrenzungsstellen:
$b = x_r -x_l$
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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