Teil B

Gegeben ist die Funktion $f:\, x\mapsto \dfrac{80x}{4+x^2}$ mit maximaler Definitionsmenge $\mathbb{D}$ und dem Graphen $G.$

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Begründe, dass $\mathbb{D} = \mathbb{R}$ gilt, und weise rechnerisch nach, dass $G$ symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.

(2 BE)

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Begründe unter Verwendung einer geeigneten Skizze, dass

$\displaystyle\int_{-a}^{b}f(x)\;\mathrm dx =\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\;\mathrm dx$ für $a,b\in \mathbb{R}^+$ mit $a\lt b$ gilt.

(4 BE)

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k:\quad x\mapsto \dfrac{80x}{k^2+x^2}$ mit $k\in \mathbb{R}^+.$ Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

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Bestimme in Abhängigkeit von $k$ Lage und Art der Extrempunkte von $G_k.$
[Zur Kontrolle: $x$ -Koordinate des Hochpunkts: $k$ ]

(5 BE)

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Begründe anhand des Funktionsterms, dass $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f_k(x)=0$ gilt, und gib die Wertemenge von $f_k$ an.

(2 BE)

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Bestimme in Abhängigkeit von $k$ die Intervalle, in denen $G_k$ linksgekrümmt ist.

(2 BE)

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Im Folgenden werden nur die Werte für $k$ betrachtet, für die $G_k$ und die Gerade mit der Gleichung $y=x$ im $\text{I}.$ Quadranten ein Flächenstück einschließen.

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Begründe, dass $0 \lt k \lt \sqrt{80}$ gilt.

(3 BE)

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Bestimme den Wert von $k$ so, dass das Flächenstück den Inhalt $50$ besitzt; runde das Ergebnis auf zwei Dezimalen.

(4 BE)

Abbildung 1 zeigt modellhaft den Querschnitt eines geradlinig verlaufenden Deichs. Die Profillinie des Querschnitts wird für $0 \leq x \lt a$ durch den Graphen der Funktion $f_8$ und für $a \leq x \leq b$ durch eine Gerade $g$ beschrieben. Dabei ist $f_8$ die zu $k = 8$ gehörende Funktion der Schar aus Aufgabe 2. Die $x$ -Achse beschreibt im Intervall $[0;b]$ den unteren Abschluss des Querschnitts. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Abb. 1

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Auf der Landseite am Fuß des Deichs darf der Böschungswinkel $\alpha$ (vgl. Abbildung 1) maximal $60^{\circ}$ betragen. Untersuche rechnerisch, ob das bei dem vorliegenden Profil der Fall ist.

(2 BE)

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Der Graph der Funktion $f_8$ geht an der Stelle $x=a$ ohne Knick in die Gerade $g$ über, die eine Steigung von $15\,\%$ gegenüber der Horizontalen besitzt. Dabei gilt $a\gt 15.$

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Bestimme rechnerisch eine Gleichung der Geraden $g.$
[Zur Kontrolle: $y = − \frac{3}{20}x + \frac{32}{5}$ ]

(4 BE)

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Berechne das Volumen eines $10\,\text{m}$ langen Teilstücks des Deichs. Gehe dabei analog zur Bestimmung des Volumens eines Prismas mit Grundfläche $G$ und Höhe $h$ vor.

(5 BE)

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Auf der Landseite soll ein Teil des Deichs entfernt werden, um einen horizontalen Behelfsweg auf der Höhe $h$ mit der Breite $b$ zu bauen. Dabei entsteht eine vertikale Wand mit der Wandhöhe $w$ (vgl. Abbildung 2).

Abb. 2

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Berechne die Wandhöhe $w,$ wenn der Behelfsweg in einer Höhe von $h = 2,50\,\text{m}$ verlaufen und $1\,\text{m}$ breit sein soll.

(4 BE)

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Beschreibe, wie man allgemein die Wegbreite $b$ rechnerisch bestimmen kann, wenn die Höhe $h$ und die Wandhöhe $w$ gegeben sind.

(3 BE)

(40 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1],[2]

$\blacktriangleright$ Definitionsmenge begründen

Bei $f$ handelt es sich um eine gebrochenrationale Funktion. Die maximale Definitionsmenge wird nur durch Nullstellen des Nenners eingeschränkt. Im vorliegenden Fall ist der Nenner $4+x^2$ und hat damit keine Nullstellen. Der Bruch ist also für alle $x\in \mathbb{R}$ definiert. Die maximale Definitionsmenge von $f$ ist daher $\mathbb{D} = \mathbb{R}.$

$\blacktriangleright$ Symmetrie nachweisen

Für eine Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung muss $f(-x)= -f(x)$ gelten.

$\begin{array}[t]{rll} f(-x)&=& \dfrac{80\cdot (-x)}{4+(-x)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{-80x}{4+x^2} \\[5pt] &=& -\dfrac{80x}{ 4+x^2} \\[5pt] &=& -f(x) \\[5pt] \end{array}$

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$\blacktriangleright$ Gleichung begründen

Abb. 1: Skizze

Aufgrund der Punktsymmetrie des Graphen von $f$ gilt:

$A_1$ und $A_2$ besitzen denselben Flächeninhalt.
Eine der beiden Flächen $A_1$ und $A_2$ liegt oberhalb der $x$ -Achse, die andere unterhalb. Die zugehörigen Integralwerte sind betragsmäßig gleich, jedoch hat einer ein negatives und der andere ein positives Vorzeichen.

Die beiden Integralwerte von $A_1$ und $A_2$ heben sich also gegenseitig auf, sodass es für die Flächenbilanz keine Rolle spielt, ob die untere Integrationsgrenze $-a$ oder $a$ ist:

$\displaystyle\int_{-a}^{b}f(x)\;\mathrm dx = ...$

Vollständige Lösung anzeigen

$\blacktriangleright$ Lage und Art der Extrempunkte bestimmen

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt unter Anwendung des notwendigen Kriteriums für Extremstellen:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& -k \\[5pt] x_2&=& k \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Für das hinreichende Kriterium folgt ebenfalls mit dem CAS:

$\begin{array}[t]{rll} f_k‘‘(-k) \gt 0 \\[10pt] f_k‘‘(k) \lt 0 \\[10pt] \end{array}$

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An der Stelle $x=k$ besitzt der Graph von $f_k$ also einen Hochpunkt, an der Stelle $x=-k$ einen Tiefpunkt.

$\begin{array}[t]{rll} f_k(-k)&=& \frac{-40}{k} \\[5pt] f_k(k)&=& \frac{40}{k} \end{array}$

$G_k$ besitzt den Tiefpunkt $T\left(-k\mid \frac{-40}{k}\right)$ und den Hochpunkt $H\left(k\mid \frac{40}{k^3} \right).$

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$\blacktriangleright$ Grenzwert begründen

Der Funktionsterm von $f_k$ ist $\dfrac{80x}{k^2+x^2}.$ Für $x\to +\infty$ gilt sowohl $80x \to \infty$ als auch $k^2 +x^2 \to \infty.$ Allerdings ist die Potenz im Zähler $1,$ im Nenner ist sie $2,$ wodurch das Wachstum im Nenner größer ist als im Zähler, sodass insgesamt $\dfrac{80x}{k^2+x^2}\to 0$ gilt. Aufgrund der Punktsymmetrie des Graphen gilt dies auch für $x\to -\infty.$

$\blacktriangleright$ Wertemenge angeben

Da der Graph von $f_k$ genau zwei Extrempunkte besitzt und für $x\to \pm\infty$ gilt $f_k(x)\to 0,$ ist der kleinste Funktionswert von $f_k$ der Funktionswert an der Stelle des Tiefpunkts und der größte Funktionswert der an der Stelle des Hochpunkts:

Die Wertemenge von $f_k$ ist daher das Intervall $\left[-\frac{40}{k}; \frac{40}{k}\right].$

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$\blacktriangleright$ Intervalle mit Linkskümmung bestimmen

$G_k$ ist linksgekrümmt, wenn $f_k‘‘(x) \gt 0$ ist. Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$\begin{array}[t]{rll} f_k‘‘(x)&=& 0 \\[5pt] x_1&=& -\sqrt{3}k \\[5pt] x_2&=& 0 \\[5pt] x_3&=& \sqrt{3}k \end{array}$

Es gibt also folgende Krümmungsintervalle:

$I_1= ]-\infty\,;\, -\sqrt{3}k[$ , $I_2 = ] -\sqrt{3}k\,;\, 0[,$ $I_3= ]0\,;\, \sqrt{3}k[,$ $I_4= ]\sqrt{3}k\,;\, \infty[$

In $I_2$ liegt der Tiefpunkt von $G_k$ hier ist der Graph also linksgekrümmt. In $I_3$ liegt der Hochpunkt, hier ist er also rechtsgekrümmt. Aufgrund der Grenzwerte aus Teil 2 b) ist der Graph durch die Lage der Extrempunkte in $I_1$ rechtsgekrümmt und in $I_4$ linksgekrümmt.

Der Graph von $f_k$ ist also auf den Intervallen $I_2 = ] -\sqrt{3}k\, ;\, 0[$ und $I_4= ]\sqrt{3}k\, ;\, \infty[$ linksgekrümmt.

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$\blacktriangleright$ Grenzen begründen

Da $k\in \mathbb{R}^+$ vorausgesetzt ist, ist $k\gt 0.$ Die Gerade zu $y=x$ und der Graph von $f_k$ schließen im 1. Quadranten eine Fläche ein, wenn sie sich abgesehen vom Schnittpunkt $(0\mid 0)$ noch mindestens an einer weiteren Stelle schneiden, die im 1. Quadranten liegt. Gleichsetzen liefert:

$\begin{array}[t]{rll} x&=& \pm\sqrt{80-k^2} \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Wurzel ist nicht für negative Radikanden definiert, im vorliegenden Fall ist sie also nur für $\left|k \right| \leq \sqrt{80}$ definiert. Für $k=\sqrt{80}$ wäre allerdings $x=0$ und damit würden beide Schnittstellen aufeinander fallen, sodass die Graphen keine Fläche einschließen.
Es muss also $0\lt k \lt \sqrt{80}$ sein.

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$\blacktriangleright$ Parameterwert bestimmen

Der Inhalt des Flächenstücks kann mithilfe eines Integrals über die Differenzenfunktion $f_k(x)-x$ bestimmt werden. Die Integrationsgrenzen sind die beiden Schnittstellen $x =0$ und $x= \sqrt{80-k^2}.$ Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich:

$k \approx 3,08$

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Die übrigen Lösungen der Gleichung liegen außerhalb des in Teil d) bestimmten Bereichs $0\lt k \lt \sqrt{80}.$
Für $k\approx 3,08$ besitzt das Flächenstück den Inhalt $50.$

$\blacktriangleright$ Böschungswinkel untersuchen

Der gesuchte Winkel entspricht dem Steigungswinkel des Graphen von $f_8$ im Koordinatenursprung. Dieser kann mithilfe der Steigung $f_8‘(0)$ bestimmt werden:

$\alpha \approx 51,34^{\circ}$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Böschungswinkel $\alpha$ ist ca. $51,34^{\circ}$ groß und damit kleiner als $60^{\circ}.$

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$\blacktriangleright$ Geradengleichung bestimmen

Die Gerade $g$ soll gegenüber der Horizontalen eine Steigung von $15\,\%$ haben, der Betrag des Steigungswerts ist also $0,15.$ Da $G_8$ für $x\gt 8$ fallend ist, muss die Steigung der Geraden negativ sein: $m_g = -0,15.$

Die Übergangsstelle $x=a$ ist also die Stelle an der $G_8$ die Steigung $-0,15$ besitzt. Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich:

$x= 16$

Vollständige Lösung anzeigen

Die einzige Lösung der Gleichung, die größer als $15$ ist, ist $x=16.$ Der Übergang von $G_8$ zur Gerade findet also an der Stelle $x= 16$ statt.

An dieser Stelle muss $g$ denselben Funktionswert wie $G_8$ besitzen:

$f_8(16)= 4$

Einsetzen in die Geradengleichung liefert den $y$ -Achsenabschnitt:

$b = 6,4$

Vollständige Lösung anzeigen

Eine Gleichung der Gerade $g$ lautet:

$g:\quad y = -0,15x +6,4$

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$\blacktriangleright$ Volumen berechnen

Die Querschnittsfläche des Deichs entspricht der Grundfläche. Die Länge des Teilstücks entspricht der Höhe, also ist $h=10.$

Die Querschnittsfläche setzt sich im Modell zusammen aus zwei Teilflächen:

$A_1$ ist der Inhalt der Fläche, die $G_8$ im $\text{I}.$ Quadranten mit der $x$ -Achse und der Gerade zu $x=16$ einschließt. Diese kann mithilfe eines Integrals über $f_8$ berechnet werden.
$A_2$ ist der Inhalt des rechtwinkligen Dreiecks, das $g$ mit der $x$ -Achse und der Geraden zu $x=16$ bildet.

$A_1=40\cdot \ln(5)$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Gerade $g$ schneidet die $x$ -Achse an der Stelle $x=b.$ Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich:

$x = \frac{128}{3}$

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Eine der beiden Katheten des Dreiecks ist $4$ Längeneinheiten lang, die zweite ist $\frac{128}{3}-16 = \frac{80}{3}.$ Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt also:

$A_2= \frac{160}{3}$

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Für das Volumen ergibt sich dann nach der Formel für das Volumen eines Prismas:

$V\approx 1.177,11$

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Das Teilstück des Deichs besitzt ein Volumen von ca. $1.177\,\text{m}^3.$

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$\blacktriangleright$ Wandhöhe berechnen

Das linke Ende des Wegs liegt im Modell in dem Punkt von $G_8,$ in dem der Funktionswert der gewünschten Höhe $h= 2,5$ entspricht.

$x = -8\cdot \sqrt{3} +16$

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Die zweite Lösung der Gleichung liegt im Modell auf der Wasserseite und ist daher nicht relevant.
Die rechte Begrenzung des Wegs liegt aufgrund der Breite von $1\,\text{m}$ also an der Stelle $x= -8\cdot \sqrt{3} +17.$ Die Höhe des Deichs an dieser Stelle beträgt:

$f_8(-8\cdot \sqrt{3} +17)\approx3,40$

Die Wandhöhe $w$ beträgt also ca. $90\,\text{cm}.$

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$\blacktriangleright$ Verfahren zur Bestimmung der Wegbreite beschreiben

Die linke Begrenzung des Weges liegt im Querschnittsmodell an der Stelle $x_l$ mit $f_8(x_l) = h$ und $x_l \lt 8.$ Die rechte Begrenzung des Weges liegt im Querschnittsmodell an der Stelle $x_r$ mit $f_8(x_r) = h+w$ und $x_l\lt x_r \lt 8.$
Diese beiden Stellen können durch das Lösen der obigen Gleichungen bestimmt werden. Die Breite des Weges ergibt sich dann als Differenz der beiden Begrenzungsstellen:

$b = x_r -x_l$

Bildnachweise [nach oben]

[1]