Teil B

Die Abbildung zeigt den Körper $ABCDEF$ mit $ A(6\mid3\mid 0), 

B(0\mid6\mid 0), 

C(3\mid0\mid 0), 

D(6\mid3\mid 6), $ $E(0\mid6\mid 6)$ und $F(3\mid0\mid 12).$
Die Punkte $D, 

E$ und $F$ liegen in der Ebene $L.$

BW Mathe Abi 2023 Analytische Geometrie Koerper

Ermittle eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $2 x_1+4 x_2+3 x_3-42=0$ )

(3 BE)

Bestimme die Größe des Winkels, den $L$ mit der $x_1 x_2$ -Ebene einschließt.

(3 BE)

Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ kann mit dem Term $6 \cdot 6-\dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3-2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6$ berechnet werden.
Veranschauliche diese Tatsache durch geeignete Eintragungen in der Abbildung.

(3 BE)

Berechne das Volumen des Körpers $ABCDEF.$

(3 BE)

Die Ebene $N_k$ enthält die $x_3$ -Achse und den Punkt $P_k(1-k\mid k \mid 0)$ mit $k \in] 0 ; 1[.$ Welche Kanten des Körpers von $N_k$ geschnitten werden, ist abhängig von $k.$ Durchläuft $k$ alle Werte zwischen $0$ und $1,$ so gibt es Bereiche $]a;b[,$ für die jeweils gilt, dass $N_{k}$ für alle Werte von $k \in ] a ; b[$ die gleichen Kanten des Körpers schneidet. Bestimme den größten dieser Bereiche und gib die zugehörigen Kanten an.

(4 BE)

Der Punkt $R(0\mid 6\mid 2)$ liegt auf der Kante $[BE].$ Weise nach, dass es genau einen Punkt $Q$ auf der Kante $[AD]$ gibt, sodass das Dreieck $FQR$ rechtwinklig ist, und bestimme die $x_3$ -Koordinate von $Q.$

(6 BE)

Der Körper wird so um die Gerade $AB$ gedreht, dass der mit $D$ bezeichnete Eckpunkt nach der Drehung in der $x_1x_2$ -Ebene liegt und dabei eine positive $x_2$ -Koordinate hat. Die folgenden Rechnungen liefern die Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit der beschriebenen Drehung:

Rechnungen anzeigen

Formuliere eine passende Aufgabenstellung und gib die Bedeutung von $S$ an.

(3 BE)

(25 BE)

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Ein Normalenvektor von $L$ ergibt sich mit dem Kreuzprodukt und mithilfe des CAS:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}&=& \overrightarrow{DE}\times\overrightarrow{DF} \\[5pt] &=& \pmatrix{-6\\3\\0}\times \pmatrix{-3\\-3\\6} \\[5pt] &=& \pmatrix{18\\36\\27}& \\[5pt] &=& 9\cdot \pmatrix{2\\4\\3} \end{array}$

Einsetzen in die allgemeine Koordinatengleichung:

$L: 2\cdot x_1+4\cdot x_2+3\cdot x_3-d = 0$

Durch Punktprobe mit $D$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} d&=& 2\cdot 6+4\cdot 3+3\cdot 6 \\[5pt] d &=& 42 \end{array}$

Eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform ist somit gegeben durch:

$L: 2\cdot x_1+4\cdot x_2+3\cdot x_3 -42 =0$

Als ein Normalenvektor der $x_1x_2$ -Ebene kann $\pmatrix{0 \\0\\1}$ gewählt und somit der Winkel berechnet werden:

Rechenweg anzeigen

$\alpha \approx 56^{\circ}$

Für den Flächeninhalt der Grundfläche gilt:

$A_{ABC}$ $= 6 \cdot 6$ $-\dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3$ $-2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6$ $= \dfrac{27}{2} \;[\text{FE}]$

Der Körper kann unterteilt werden in ein gerades dreiseitiges Prisma, dessen Grundfläche das Dreieck $ABC$ bildet, und eine dreiseitige Pyramide mit der Spitze $F,$ welche sich oberhalb des Prismas befindet.

Die Höhe des dreiseitigen Prismas ergibt sich aus den $x_3$ -Koordinaten von $D$ und $E:$

$h_{Prisma}=6$

Das Volumen ergibt sich damit zu:

$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Prisma}}&=& A_{ABC}\cdot h_{\text{Prisma}}\\[5pt] &=& \dfrac{27}{2} \cdot 6 \\[5pt] &=& 81 \;[\text{VE}] \end{array}$

Die Höhe der Pyramide ergibt sich ebenfalls aus der $x_3$ -Koordinate von $F$ und der von $D:$

$h_{Pyramide} = 12-6 = 6$

Das Volumen der dreiseitigen Pyramide folgt mit:

$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Pyramide}}&=& \dfrac{1}{3}\cdot A_{ABC} \cdot h_{\text{Pyramide}} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{27}{2} \cdot 6 \\[5pt] &=& 27 \;[\text{VE}] \end{array}$

Das Gesamtvolumen des Körpers ist also gegeben durch:

$\begin{array}[t]{rll} V&=& V_{\text{Prisma}}+V_{\text{Pyramide}}\\[5pt] &=& 81+27 \\[5pt] &=& 108 \;[\text{VE}] \end{array}$

Es gibt zwei Bereiche, in denen immer jeweils die gleichen Kanten geschnitten werden.

Der erste Bereich liegt in der Abbildung links vom Punkt $A.$ Dort werden durch die Ebene jeweils die Kanten $[AC], [DF]$ und $[CB]$ geschnitten.

Der zweite Bereich liegt in der Abbildung rechts vom Punkt $A.$ Dort werden jeweils die Kanten $[AB], [CB], [DE]$ und $[EF]$ geschnitten.

$P_k$ liegt genau dann auf der Strecke $\overline{OA},$ wenn gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{x_A}{y_A}&=& \dfrac{x_P}{y_P} & \\[5pt] \dfrac{6}{3}&=& \dfrac{1-k}{k} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot k \\[5pt] 2k&=& 1-k &\quad \scriptsize \mid\; +k \\[5pt] 3k&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] k&=& \dfrac{1}{3} \end{array}$

Der größte Bereich ist somit Bereich 2, der die Kanten $[AB], [CB], [DE]$ und $[EF]$ schneidet, mit $k\in\; \left] \frac{1}{3};1 \right[.$

$Q$ besitzt die gleichen $x_1$ - und $x_2$ -Koordinaten wie $A$ und $D.$ Die $x_3$ -Koordinate muss zwischen denen von $A$ und $D,$ also zwischen $0$ und $6$ liegen:

$Q(6\mid 3\mid c)$ mit $0\leq c\leq 6$

Rechten Winkel im Punkt $\boldsymbol{Q}$ überprüfen

Damit das Dreieck $FQR$ im Punkt $Q$ einen rechten Winkel besitzt, muss $\overrightarrow{QR} \circ \overrightarrow{QF} =0$ gelten. Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{QR} \circ \overrightarrow{QF}&=& 0&\\[5pt] \pmatrix{-6\\3\\2-c} \circ\pmatrix{-3\\-3\\12-c}&=& 0 \\[5pt] 18 - 9+(2-c) \cdot(12-c) &=& 0 \\[5pt] c^2-14 c +33 &=& 0 \quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] c_1 &=& 3 \\[5pt] c_2 &=& 11 \end{array}$

Da $11\gt 6$ ist, kommt für die $x_3$ -Koordinate nur $c_1=3$ infrage.

Rechten Winkel im Punkt $\boldsymbol{R}$ überprüfen

Damit das Dreieck $FQR$ im Punkt $R$ einen rechten Winkel besitzt, muss $\overrightarrow{RQ} \circ \overrightarrow{RF} =0$ gelten.

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{RQ} \circ \overrightarrow{RF}&=& 0&\\[5pt] \pmatrix{6\\-3\\c-2} \circ\pmatrix{3\\-6\\10}&=& 0 \\[5pt] 18 + 18+10c-20 &=& 0 \\[5pt] 10c + 16 &=& 0 \quad \scriptsize \mid\; -16 \\[5pt] 10c &=& -16 \quad \scriptsize \mid\; :10 \\[5pt] c_3 &=& -1,6 \\[5pt] \end{array}$

Da $c_3 = -1,6 \lt 0$ ist, kommt diese Lösung nicht als $x_3$ -Koordinate von $Q$ infrage, da der Punkt $Q$ dann außerhalb der Kante $[AD]$ läge.

Rechten Winkel im Punkt $\boldsymbol{F}$ überprüfen

Damit das Dreieck $FQR$ im Punkt $F$ einen rechten Winkel besitzt, muss $\overrightarrow{FQ} \circ \overrightarrow{FR} =0$ gelten.

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{FQ} \circ \overrightarrow{FR}&=& 0&\\[5pt] \pmatrix{ 3\\3 \\c-12 } \circ\pmatrix{-3\\6\\-10}&=& 0 \\[5pt] -9 + 18-10c+120 &=& 0 \\[5pt] 129-10c &=& 0 \quad \scriptsize \mid\; -129 \\[5pt] -10c &=& -129 \quad \scriptsize \mid\; :(-10) \\[5pt] c_4 &=& 12,9 \\[5pt] \end{array}$

Da $c_4 = 12,9 \gt 6$ ist, kommt diese Lösung nicht als $x_3$ -Koordinate von $Q$ infrage, da der Punkt $Q$ dann außerhalb der Kante $[AD]$ läge.

Insgesamt gibt es also nur den Punkt $Q(6\mid 3\mid 3),$ für den das Dreieck $FQR$ rechtwinklig ist.

Aufgabenstellung formulieren

„Der mit $C$ bezeichnete Eckpunkt des Körpers wird nach der Drehung mit $T$ bezeichnet. Ermittle die Koordinaten von $T.$ “

Bedeutung angeben

Der Punkt $S$ ist der Fußpunkt des Lots von $C$ auf die Gerade durch $A$ und $B.$

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