Teil B
Gegeben ist die Schar der in  definierten Funktionen 
 mit 
 Der Graph von 
 wird mit 
 bezeichnet.
Gib das Verhalten von  für 
 und für 
 an.
Zeige, dass der Funktionswert von  an der Stelle 
 unabhängig von 
 ist.
Bestimme rechnerisch die Koordinaten und die Art der beiden Extrempunkte von  Berechne einen Wert von 
 für den die beiden Extrempunkte den Abstand 
 haben, und gib diesen Wert auf zwei Nachkommastellen gerundet an.
Begründe, ohne Terme von Stammfunktionen zu bestimmen, dass die folgende Aussage wahr ist:
Der Graph jeder Stammfunktion von  hat mit der positiven 
-Achse höchstens einen gemeinsamen Punkt.
Betrachtet wird nun die in  definierte Funktion 
Somit ist  die Funktion 
 der Schar aus Aufgabe 1. Ihr Graph wird mit 
 bezeichnet.
 
        
         Die Konstruktion einer Wasserrutsche, die aus einer Rutschbahn und einem horizontalen Startpodest besteht, wird geplant. Dabei beschreibt  für 
 die Profillinie der Rutschbahn und die 
-Achse den horizontalen Boden sowie die Wasseroberfläche (vgl. Abbildung 1). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht dabei 
 in der Realität.
Berechne die Höhe des Startpodests über dem Boden und die Höhe des Endpunkts der Rutschbahn über der Wasseroberfläche.
Betrachtet wird der Winkel  der im Sachzusammenhang von Bedeutung ist. Mithilfe der folgenden beiden Gleichungen kann 
 ermittelt werden:
Zeichne die Winkel  und 
 in Abbildung 1 geeignet ein und gib die Bedeutung von 
 im Sachzusammenhang an.
Da die  breite Rutschbahn durch vertikale Wände begrenzt werden soll, kann sich Wasser in der Mulde sammeln. Berechne das Volumen des Wassers in der Mulde in Litern, wenn es dort an der tiefsten Stelle eine Höhe von 
 hat (vgl. Abbildung 2).
 
          
           In der folgenden Untersuchung wird erneut nur die Profillinie der Rutschbahn betrachtet. Um die Sicherheit der Badegäste zu erhöhen, soll eine in alle Richtungen drehbare Überwachungskamera angebracht werden, deren Position im Modell durch den Punkt  beschrieben wird. Die Sichtlinie der Kamera in Richtung eines Punkts der Rutschbahn, der durch 
 mit 
 dargestellt wird, kann durch die Gerade 
 mit der Gleichung 
 beschrieben werden.
Untersuche rechnerisch, ob der Teil der Rutschbahn, der durch den rechtsgekrümmten Teil von  dargestellt wird, von der Kamera vollständig einsehbar ist.
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Unabhängigkeit des Funktionswerts zeigen
Für die erste Ableitung von  folgt mit dem CAS:
Anwenden der notwendingen Bedingung  und auflösen nach 
 mit dem CAS liefert:
Auf das Überprüfen der hinreichenden Bedingung kann verzichtet werden, da die Aufgabenstellung besagt, dass  genau zwei Extrempunkte besitzt. Einsetzen in 
 liefert:
Da  gilt, besitzt 
 bei 
 einen Tiefpunkt, und bei 
 einen Hochpunkt. Für die gesuchten Koordinaten gilt also 
 und 
 
          Der gesuchte Wert von  ergibt sich aus folgender Gleichung:
Auflösen nach  mit dem solve-Befehl des CAS liefert:
Da  gilt, ist 
 der gesuchte Wert.
Für jeden Wert von  besitzt 
 nur eine Nullstelle, die bei 
 liegt. Somit besitzt jede Stammfunktion von 
 höchstens eine Maximalstelle, die bei 
 liegt. Somit ändert sich das Monotonieverhalten aller Stammfunktion von 
 für positive 
-Werte nicht, sodass der Graph jeder dieser Stammfunktionen von 
 mit der positiven 
-Achse höchstens einen gemeinsamen Punkt besitzt.
Das Startpodest befindet sich somit ca.  über dem Boden und das Ende der Rutschbahn ca. 
 über der Wasseroberfläche.
Winkel geeignet einzeichnen
 
          
         Bedeutung von  im Sachzusammenhang angeben
Auflösen der Gleichung  nach 
 mit dem solve-Befehl des CAS liefert:
Der folgende Term beschreibt somit das Volumen des Wassers:
Berechnen des Integrals mit dem CAS ergibt:
Umrechnen dieses Ergebnisses in Liter liefert, dass das Wasser in der Mulde ein Volumen von  hat.
Für die zweite Ableitung von  folgt mit dem CAS:
Nullsetzen liefert mit dem CAS:
Mit Hilfe der graphischen Funktion des CAS lässt sich erkennen, dass  bei 
 eine Wendestelle besitzt, ab der 
 bis zum Ende der Wasserrutsche rechtsgekrümmt ist. Da 
 eine links-rechts Wendestelle ist, besitzt 
 an diesem Punkt zudem die größte Steigung.Falls die Gerade 
 für 
 keinen weiteren Punkt von 
 enthält, kann die Kamera somit den gesamten rechtgekrümmten Bereich der Rutsche einsehen. 
          Einsetzen von  und 
 in die Gleichung der Geraden 
 liefert:
Auflösen nach  mit dem solve-Befehl des CAS liefert:
Da  auf dem rechtsgekrümmten Teil der Wasserrutsche liegt und nicht 
 entspricht, besitzt die direkte Verbindung des links-rechts Wendepunkts von 
 zur Kamera einen Schnittpunkt mit der Funktion 
 sodass die Kamera nicht den gesamten Teil der Wasserrutsche einsehen kann, der durch den rechtsgekrümmt Abschnitt von 
 beschrieben wird.