Teil A
Die Abbildung zeigt den Würfel 
mit 
und 
a)
Zeige, dass der Würfel die Kantenlänge 
besitzt.
(2 BE)
b)
Der Punkt 
liegt so auf der Strecke ![\([A E],\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/78f791d15b19271a1b1a7a95f91c47860f4a070e2d30b15c7bbad312d22cc8d2_light.svg)
dass die Pyramide 
das Volumen hat. Bestimme die Koordinaten von 
(3 BE)
(5 BE)
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a)
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\left\vert\overrightarrow{AE}\right\vert&=&\left\vert\pmatrix{1-3\\1-2\\1-(-1)}\right\vert \\[5pt]
&=&\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+2^2} \\[5pt]
&=&3
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d87266672b6953e295601e22de07d17a5811c5b997d79e671dffb42886a49649_light.svg)
b)
Mit Hilfe der Kantenlänge aus Aufgabenteil a) ergibt sich für die Höhe der Pyramide:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
3&=&\dfrac{1}{3}\cdot3^2\cdot h &\mid\;:3 \\[5pt]
1&=&h
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/bec027afb980d30edfa163a819bddb502073aacb787fb77aee1f4c2773837b0f_light.svg)
Da 
in der Grundfläche der Pyramide liegt und die Kante ![\([AE]\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/bdbb1a5a541a01f55c38eebd10cd4bb316cdcb4945725c6fd59c89500990abaa_light.svg)
Kantenlänge hat, folgt somit für den Ortsvektor von 
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\overrightarrow{OS}&=&\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{3}\cdot\overrightarrow{AE} \\[5pt]
&=&\pmatrix{3\\2\\-1}+\dfrac{1}{3}\cdot\pmatrix{-2\\-1\\2} \\[5pt]
&=&\pmatrix{\frac{7}{3}\\\frac{5}{3}\\-\frac{1}{3}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/daa3984cc9912282a1f96c2887fea3e2a8c30c7ec588d32bfc027e2814711bab_light.svg)
Der Punkt hat somit die Koordinaten 