Aufgabengruppe 2

Aufgabe A5 (Analysis)

Die Abbildung zeigt den Graphen einer in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten differenzierbaren Funktion Formula: f, die genau zwei Nullstellen hat: Formula: -1{,}5 und Formula: 0. Betrachtet wird die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Integralfunktion $Formula: J:x\mapsto\displaystyle\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t.$ $Formula: J:x\mapsto\displaystyle\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t.$

Beurteile die folgende Aussage:

Formula: J hat genau zwei Nullstellen.

Graph einer Kurve im Koordinatensystem mit Hochpunkt und waagerechter Asymptote.

5 BE

Aufgabe A6 (Analysis)

Gegeben ist eine in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: f mit der Wertemenge Formula: [-3;2[.

Begründe, dass der Graph von Formula: f nicht symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.

1 BE

Betrachtet wird die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: h mit $Formula: h(x)=-2\cdot f(x-5)+1.$ $Formula: h(x)=-2\cdot f(x-5)+1.$

Gib die Wertemenge von Formula: h an und begründe deine Angabe.

4 BE

5 BE

Aufgabe A7 (Stochastik)

Die Abbildung zeigt die Netze zweier Würfel Formula: A und Formula: B.

Kreuzförmige Anordnung weißer Quadrate mit grauen Zahlen 3 und 5

Würfel Formula: A

Würfelnetz aus sechs Quadraten, vier mit Zahl 4, zwei mit Zahl 1.

Würfel Formula: B

Bei einem Spiel wird pro Runde jeder der beiden Würfel einmal geworfen.

Es werden zwei Runden gespielt. Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in beiden Runden mit Würfel Formula: A eine größere Zahl erzielt wird als mit Würfel Formula: B.

3 BE

Nun werden vier Runden gespielt. Für jede Runde wird die Summe der beiden erzielten Zahlen berechnet. Betrachtet wird das Ereignis „Alle vier Summen sind untereinander verschieden.“

Gib jeweils eine natürliche Zahl für Formula: v und Formula: w an, sodass mit dem Term $Formula: v\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^w\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^2\cdot\left(\tfrac{2}{3}\right)^2$ $Formula: v\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^w\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^2\cdot\left(\tfrac{2}{3}\right)^2$ die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses berechnet werden kann.

2 BE

5 BE

Aufgabe A8 (Stochastik)

In einem Behälter befinden sich fünf Kugeln, die jeweils mit einer natürlichen Zahl beschriftet sind. Auf drei der Kugeln steht die Zahl Formula: a, auf den beiden anderen Kugeln die Zahl Formula: b. Die Summe von und ist Formula: 17. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig zufällig entnommen.

Gib im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $Formula: 1-\tfrac{2}{5}\cdot\tfrac{1}{4}$ $Formula: 1-\tfrac{2}{5}\cdot\tfrac{1}{4}$ berechnet werden kann.

1 BE

Die Zufallsgröße Formula: X beschreibt die Summe der Zahlen auf den beiden entnommenen Kugeln. Der Erwartungswert von ist Formula: 16. Bestimme Formula: a und Formula: b.

4 BE

5 BE

Aufgabe A9 (Geometrie)

Gegeben ist die Ebene Formula: E:3x-4y+12z-130=0.

Zeige, dass der Koordinatenursprung Formula: O von Formula: E den Abstand Formula: 10 hat.

2 BE

Bestimme die Koordinaten eines Punkts Formula: P, der vom Koordinatenursprung Formula: O den gleichen Abstand wie von der Ebene Formula: E hat, aber nicht auf der Lotgerade zu durch liegt.

3 BE

5 BE

Aufgabe A10 (Geometrie)

Betrachtet werden die Dreiecke Formula: AB_sC_t mit $Formula: A(0\mid0\mid0),$ $Formula: A(0\mid0\mid0),$ $Formula: B_s(4s\mid3s\mid0)$ $Formula: B_s(4s\mid3s\mid0)$ und $Formula: C_t(0\mid0\mid t)$ $Formula: C_t(0\mid0\mid t)$ mit $Formula: s,t\in\mathbb{R}^{+}.$ $Formula: s,t\in\mathbb{R}^{+}.$

Begründe, dass jedes Dreieck Formula: AB_sC_t im Punkt rechtwinklig ist.

2 BE

Zu jedem Wert von Formula: s gibt es einen Wert von Formula: t, sodass das Dreieck Formula: AB_sC_t gleichschenklig ist.

Zeige, dass die zugehörigen Punkte $Formula: (s\mid t)$ $Formula: (s\mid t)$ auf der in der Abbildung dargestellten Gerade liegen.

3 BE

5 BE

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Lösung A5 (Analysis)

Für Formula: x=0 besitzt das Integral die gleiche untere und obere Grenze. Somit gilt Formula: J(0)=0.

Für $Formula: x\gt0$ $Formula: x\gt0$ ist der Wert von Formula: J durchgehend positiv, da Formula: -1,5 und Formula: 0 die einzigen Nullstellen von Formula: f sind. Da der Graph von für $Formula: x\lt0$ $Formula: x\lt0$ zwischen Formula: x=-1,5 und Formula: x=0 oberhalb der -Achse verläuft und links von unterhalb der -Achse, ist die Flächenbilanz von für genau einen Wert $Formula: x\lt-1,5$ $Formula: x\lt-1,5$ Null.

Für $Formula: x\lt0$ $Formula: x\lt0$ gibt Formula: J die negative Flächenbilanz von Formula: f an, somit existiert genau ein Wert $Formula: x\lt0$ $Formula: x\lt0$ mit Formula: J(x)=0. Insgesamt hat somit genau zwei Nullstellen.

Lösung A6 (Analysis)

Eine Punktsymmetrie zum Ursprung würde voraussetzen, dass die Wertemenge symmetrisch zu Formula: 0 ist. Da Formula: -3 in der Wertemenge enthalten ist aber Formula: 3 nicht, kann der Graph von Formula: f nicht punktsymmetrisch zum Ursprung sein.

Wertemenge angeben

$Formula: W=\,]-3;7]$ $Formula: W=\,]-3;7]$

Angabe begründen

Der Graph von Formula: h kann aus dem Graphen von Formula: f schrittweise erzeugt werden. Dabei haben die Spiegelung an der Formula: x -Achse, die Streckung mit dem Faktor Formula: 2 in Formula: y -Richtung und die anschließende Verschiebung um Formula: 1 in positive -Richtung einen entsprechenden Einfluss auf die Wertemenge, die Verschiebung in -Richtung hat hingegen keinen Einfluss auf die Wertemenge.

Lösung A7 (Stochastik)

Würfel Formula: A erzielt immer eine größere Zahl als der Würfel Formula: B, wenn dieser eine Formula: 1 erzielt. Wenn der Würfel allerdings eine Formula: 4 erzielt, dann benötigt der Würfel eine Formula: 5, um eine größere Zahl zu erzielen. Für den ersten Wurf ergibt sich somit für die Wahrscheinlichkeit, dass Würfel Formula: A eine größere Zahl erzielt als Würfel Formula: B:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{2}{6}\cdot1+\dfrac{4}{6}\cdot\dfrac{3}{6}&=&\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2} \\[5pt] &=&\dfrac{2}{3} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{2}{6}\cdot1+\dfrac{4}{6}\cdot\dfrac{3}{6}&=&\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2} \\[5pt] &=&\dfrac{2}{3} \end{array}$

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich somit als $Formula: \left(\tfrac{2}{3}\right)^2=\tfrac{4}{9}.$ $Formula: \left(\tfrac{2}{3}\right)^2=\tfrac{4}{9}.$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} v&=&24 \\[5pt] w&=&4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} v&=&24 \\[5pt] w&=&4 \end{array}$

Lösung A8 (Stochastik)

Es wird höchstens eine Kugel mit der Zahl Formula: b entnommen.

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot 2 a+2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot 17+\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot 2b&=&16 \\[5pt] \dfrac{12}{20}a +17\cdot \dfrac{12}{20}+\dfrac{1}{5}\cdot(17-a)&=&16 \quad\scriptsize\mid\;\cdot 5\\[5pt] 2a+68&=&80 \quad\scriptsize\mid\;-68 \\[5pt] 2a&=& 12 \quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] a &=& 6 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot 2 a+2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot 17+\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot 2b&=&16 \\[5pt] \dfrac{12}{20}a +17\cdot \dfrac{12}{20}+\dfrac{1}{5}\cdot(17-a)&=&16 \quad\scriptsize\mid\;\cdot 5\\[5pt] 2a+68&=&80 \quad\scriptsize\mid\;-68 \\[5pt] 2a&=& 12 \quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] a &=& 6 \end{array}$

Damit ergibt sich Formula: b=17-6=11.

Lösung A9 (Geometrie)

$Formula: \begin{array}{rlll} d(O;E)&=&\left\vert\dfrac{3\cdot0-4\cdot0+12\cdot0-130}{\sqrt{3^2+(-4)^2+12^2}}\right\vert \\[5pt] &=&\left\vert\dfrac{-130}{\sqrt{169}}\right\vert \\[5pt] &=&10 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} d(O;E)&=&\left\vert\dfrac{3\cdot0-4\cdot0+12\cdot0-130}{\sqrt{3^2+(-4)^2+12^2}}\right\vert \\[5pt] &=&\left\vert\dfrac{-130}{\sqrt{169}}\right\vert \\[5pt] &=&10 \end{array}$

Verschieben des Punkts Formula: O um Formula: 10 Längeneinheiten parallel zur Ebene Formula: E liefert einen solchen gewünschten Punkt. Es gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 12 \end{pmatrix}&=& 0-12+12 \\[5pt] &=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 12 \end{pmatrix}&=& 0-12+12 \\[5pt] &=&0 \end{array}$

Dieser Vektor steht somit senkrecht auf dem Normalenvektor der Ebene Formula: E, sodass Formula: O entlang diesem für einen passenden Punkt Formula: P verschoben werden kann. Für einen möglichen Ortsvektor von gilt somit:

$Formula: \begin{array}{rlll} \overrightarrow{OP}&=&10\cdot\dfrac{\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}}{\left\vert\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\right\vert} \\[5pt] &=&10\cdot\dfrac{\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}}{\sqrt{10}} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix} 0 \\ \sqrt{90} \\ \sqrt{10} \end{pmatrix} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \overrightarrow{OP}&=&10\cdot\dfrac{\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}}{\left\vert\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\right\vert} \\[5pt] &=&10\cdot\dfrac{\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}}{\sqrt{10}} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix} 0 \\ \sqrt{90} \\ \sqrt{10} \end{pmatrix} \end{array}$

Damit gilt $Formula: P(0\mid\sqrt{90}\mid\sqrt{10}).$ $Formula: P(0\mid\sqrt{90}\mid\sqrt{10}).$

Lösung A10 (Geometrie)

Die Seite $Formula: \overline{AB_s}$ $Formula: \overline{AB_s}$ liegt in der Formula: xy -Ebene und die Seite $Formula: \overline{AC_t}$ $Formula: \overline{AC_t}$ liegt auf der Formula: z -Achse.

Es kann aus der Abbildung abgelesen werden, dass die Gerade die Gleichung Formula: t=5s hat. Für die folgenden Werte ist das Dreieck gleichschenklig:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll}\left\vert\overline{AB_s}\right\vert&=&\left\vert\overline{AC_t}\right\vert \\[5pt] \sqrt{(4 s)^2+(3 s)^2}&=&t \\[5pt] \sqrt{25s^2}&=&t \\[5pt] 5s &=&t \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll}\left\vert\overline{AB_s}\right\vert&=&\left\vert\overline{AC_t}\right\vert \\[5pt] \sqrt{(4 s)^2+(3 s)^2}&=&t \\[5pt] \sqrt{25s^2}&=&t \\[5pt] 5s &=&t \end{array}$

Somit liegen die Punkte auf der dargestellten Geraden.

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