Lerninhalte in Mathe
Inhaltsverzeichnis

Teil B

Die Abbildung zeigt die Pyramide \(ABCDS.\) Ihre Grundfläche \(ABCD\) ist ein Drachenviereck mit den Eckpunkten \(A(0\mid 0\mid 0), \)\( B(2\mid 2\mid 0), \)\( C(0\mid 6\mid 0)\) und \(D(-2\mid 2\mid 0).\) Die Spitze der Pyramide liegt im Punkt \(S(0\mid
      0\mid 6).\)

a)

Berechne die Länge der kürzesten der acht Kanten sowie das Volumen der Pyramide \(ABCDS.\)

(4 BE)

Abbildung

Die Seitenfläche \(BCS\) der Pyramide liegt in der Ebene \(E.\)

b)

Betrachtet werden die Vektoren \(\overrightarrow{n},\) deren Koordinaten nicht alle gleich null sind. Begründe, dass folgende Aussage richtig ist:

Gilt für einen solchen Vektor \(\overrightarrow{n}\circ\pmatrix{-1\\2\\0}=0\) und \(\overrightarrow{n} \circ\pmatrix{-1\\-1\\3}=0,\) so ist er ein Normalenvektor von \(E.\)

(3 BE)
c)

Die Ebene \(E\) hat die Gleichung \(2 x_1+x_2+x_3=6.\) Bestimme die Größe des Winkels, den \(E\) mit der \(x_1x_2\)-Ebene einschließt.

(3 BE)

Gegeben ist die Schar der Ebenen \(F_k: k \cdot x_2+(k-2) \cdot x_3=2 k\) mit \(k \in\;] 0 ; 3[.\) Jede Ebene \(F_k\) der Schar schneidet die Pyramide \(A B C D S\) in einem Dreieck \(BD Q_k,\) wobei der Punkt \(Q_k\) auf der Strecke \([SC]\) liegt.

d)

Gib eine Gleichung der Ebene \(F_2\) an und zeichne in die Abbildung die Schnittfigur von \(F_2\) mit der Pyramide \(ABCDS\) ein.

(4 BE)
e)

Es gibt einen Wert von \(k,\) für den der Flächeninhalt des Dreiecks \(BDQ_k\) minimal ist. Ermittle diesen Wert.

(6 BE)

(20 BE)

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