Betrachtet wird ein Würfel, dessen Seiten mit den Zahlen von bis
durchnummeriert sind.
Der Würfel wird zweimal geworfen. Die Zufallsgröße gibt das Produkt der dabei erzielten Zahlen an. Begründe, dass
gilt.
Nun wird der Würfel -mal geworfen, wobei
größer als
ist. Ermittle einen Term, mit dem man die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis berechnen kann: „Das Produkt der
erzielten Zahlen ist
oder
"
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können jeweils nur durch genau ein Produkt von zwei Zahlen erhalten werden, nämlich das Produkt von
und
bzw. das Produkt von
und
Hierbei ist egal, in welcher Reihenfolge die beiden Zahlen gewürfelt werden, d.h. es gibt jeweils zwei Ergebnisse, die
bzw.
liefern. Da jede zahl auf dem Würfel mit gleicher Wahrscheinlichkeit erzielt wird, gilt damit
Die Zahlen und
sind Primzahlen. Somit ist die einzige Möglichkeit, dass das Produkt der
erzielten Zahlen
oder
ist, dass
-mal die Zahl
gewürfelt wird, und einmal
bzw.
Da es
mögliche Würfe gibt, in denen die Zahl ungleich
gewürfelt werden kann, folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit
somit: