B1 – Analysis

Gegeben ist die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion $Formula: f:x\mapsto(-x^2+3x)\cdot\mathrm{e}^{\tfrac{1}{2}x}.$ $Formula: f:x\mapsto(-x^2+3x)\cdot\mathrm{e}^{\tfrac{1}{2}x}.$ Die Abbildung zeigt ihren Graphen Formula: G, der genau zwei Extrempunkte besitzt: den Tiefpunkt $Formula: T\left(-3\,\bigg\vert\,-18\mathrm{e}^{-\frac{3}{2}}\right)$ $Formula: T\left(-3\,\bigg\vert\,-18\mathrm{e}^{-\frac{3}{2}}\right)$ und den Hochpunkt Formula: H.

Koordinatensystem mit einem Graphen, der bei T ein Tiefpunkt und bei H ein Hochpunkt hat.

Es gilt $Formula: \lim_{x\to-\infty}f(x)=0.$ $Formula: \lim_{x\to-\infty}f(x)=0.$ Deute diese Tatsache geometrisch und berechne die Nullstellen von Formula: f.

3 BE

Berechne die Koordinaten von Formula: H. Gib die Wertemenge von Formula: f an und begründe deine Angabe.

(zur Kontrolle: $Formula: f'(x)=\left(-\tfrac{1}{2}x^2-\tfrac{1}{2}x+3\right)\cdot\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x};$ $Formula: f'(x)=\left(-\tfrac{1}{2}x^2-\tfrac{1}{2}x+3\right)\cdot\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x};$ $Formula: H(2\mid2\mathrm{e})$ $Formula: H(2\mid2\mathrm{e})$ )

6 BE

Ermittle die Größe des Winkels, unter dem sich die Tangente an Formula: G im Koordinatenursprung und die Gerade durch Formula: T und Formula: H schneiden.

4 BE

Die erste Ableitungsfunktion von Formula: f besitzt ein globales Maximum. Beschreibe, wie man dieses Maximum berechnen kann.

2 BE

Die beim Abbremsen eines Elektroautos frei werdende Energie kann teilweise genutzt werden, um der Batterie des Elektroautos wieder Energie zuzuführen. Über einen Zeitraum von Formula: 13 Sekunden, beginnend zehn Sekunden vor Beginn eines Bremsvorgangs, wird der Ladezustand der Batterie eines Elektroautos beobachtet. Die Funktion Formula: f beschreibt für $Formula: x\in[-10;3]$ $Formula: x\in[-10;3]$ modellhaft die momentane Änderungsrate der in der Batterie gespeicherten Energie. Der Betrag von gibt den zeitlichen Abstand zum Beginn des Bremsvorgangs in Sekunden an; negative -Werte beziehen sich auf Zeitpunkte vor Beginn des Bremsvorgangs. Formula: f(x) ist die momentane Änderungsrate der in der Batterie gespeicherten Energie in Kilojoule pro Sekunde.

Gib im Sachzusammenhang die Bedeutung des Hochpunkts Formula: H unter Berücksichtigung seiner Koordinaten an.

2 BE

Bestimme mithilfe der Abbildung die Länge der Zeitspanne auf Sekunden genau, in der der Batterie mindestens drei Kilojoule pro Sekunde entnommen werden.

2 BE

Es gilt $Formula: \displaystyle\int_{-10}^{3}f(x)\,\mathrm{d}x\approx-15.$ $Formula: \displaystyle\int_{-10}^{3}f(x)\,\mathrm{d}x\approx-15.$

Interpretiere den Wert des Integrals im Sachzusammenhang.

2 BE

Betrachtet wird die Schar der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktionen $Formula: g_a:x\mapsto-f(x)+a$ $Formula: g_a:x\mapsto-f(x)+a$ mit $Formula: a\in\mathbb{R}.$ $Formula: a\in\mathbb{R}.$ Der Graph von wird mit bezeichnet.

Zeichne Formula: G_0 in die Abbildung ein.

Gib an, wie Formula: G_a für $Formula: a\gt0$ $Formula: a\gt0$ aus Formula: G_0 hervorgeht.

3 BE

Gib diejenigen Werte von Formula: a an, für die Formula: G_a und genau zwei Schnittpunkte besitzen.

3 BE

Betrachtet wird nun die Schar der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktionen $Formula: g_{a,b}:x\mapsto-f(bx)+a$ $Formula: g_{a,b}:x\mapsto-f(bx)+a$ mit $Formula: a\in\mathbb{R}$ $Formula: a\in\mathbb{R}$ und $Formula: b\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.$ $Formula: b\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.$

Ermittle Formula: a und Formula: b so, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

$Formula: \text{I}$ $Formula: \text{I}$	Der Graph von $Formula: g_{a,b}$ $Formula: g_{a,b}$ hat die Gerade mit der Gleichung als Asymptote.
$Formula: \text{II}$ $Formula: \text{II}$	Die -Koordinate des Tiefpunkts des Graphen von $Formula: g_{a,b}$ $Formula: g_{a,b}$ ist

3 BE

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Der Graph Formula: G nähert sich für $Formula: x\to-\infty$ $Formula: x\to-\infty$ immer weiter der -Achse an. Für die Nullstellen von Formula: f ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} f(x)&=&0 \\[5pt] \left(-x^2+3 x\right) \cdot \mathrm{e}^{\tfrac{1}{2} x}&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;:\mathrm{e}^{\tfrac{1}{2} x} \\[5pt] -x^2+3 x&=&0 \\[5pt] x\cdot(-x+3)&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f(x)&=&0 \\[5pt] \left(-x^2+3 x\right) \cdot \mathrm{e}^{\tfrac{1}{2} x}&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;:\mathrm{e}^{\tfrac{1}{2} x} \\[5pt] -x^2+3 x&=&0 \\[5pt] x\cdot(-x+3)&=&0 \end{array}$

Mit Hilfe des Satz des Nullprodukts folgt Formula: x_1=0 und Formula: x_2=3.

Koordinaten berechnen

Für die erste Ableitung von Formula: f ergibt sich mit der Produktregel:

$Formula: \begin{array}{rlll} f'(x)&=&(-2x+3)\cdot\mathrm e^{\tfrac{1}{2}x}+(-x^2+3x)\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\mathrm e^{\tfrac{1}{2}x} \\[5pt] &=&\left(-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x+3\right)\cdot\mathrm e^{\tfrac{1}{2}x} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f'(x)&=&(-2x+3)\cdot\mathrm e^{\tfrac{1}{2}x}+(-x^2+3x)\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\mathrm e^{\tfrac{1}{2}x} \\[5pt] &=&\left(-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x+3\right)\cdot\mathrm e^{\tfrac{1}{2}x} \end{array}$

Anwenden der notwendigen Bedingung für Extremstellen Formula: f'(x)=0 liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} f'(x)&=&0 \\[5pt] \left(-\dfrac{1}{2} x^2-\dfrac{1}{2} x+3\right) \cdot \mathrm{e}^{\tfrac{1}{2} x}&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;:\mathrm{e}^{\tfrac{1}{2} x} \\[5pt] -\dfrac{1}{2} x^2-\dfrac{1}{2} x+3&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f'(x)&=&0 \\[5pt] \left(-\dfrac{1}{2} x^2-\dfrac{1}{2} x+3\right) \cdot \mathrm{e}^{\tfrac{1}{2} x}&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;:\mathrm{e}^{\tfrac{1}{2} x} \\[5pt] -\dfrac{1}{2} x^2-\dfrac{1}{2} x+3&=&0 \end{array}$

Mit der Formula: abc -Formel ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} x_{1;2}&=&\dfrac{\tfrac{1}{2}\pm\sqrt{\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2-4\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)\cdot3}}{2\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)} \\[5pt] x_{1;2}&=&\dfrac{\tfrac{1}{2}\pm\sqrt{\tfrac{25}{4}}}{-1} \\[5pt] x_1&=&-\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2} \\[5pt] &=&2 \\[5pt] x_2&=&-\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{2} \\[5pt] &=&-3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x_{1;2}&=&\dfrac{\tfrac{1}{2}\pm\sqrt{\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2-4\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)\cdot3}}{2\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)} \\[5pt] x_{1;2}&=&\dfrac{\tfrac{1}{2}\pm\sqrt{\tfrac{25}{4}}}{-1} \\[5pt] x_1&=&-\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2} \\[5pt] &=&2 \\[5pt] x_2&=&-\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{2} \\[5pt] &=&-3 \end{array}$

Da der Graph zwei Extremstellen besitzt, kann auf die Überprüfung der hinreichenden Bedingung verzichtet werden. Die Abbildung zeigt, dass Formula: H bei Formula: x_1=2 liegt. Für die Formula: y -Koordinate von folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} f(2)&=&\left(-2^2+3\cdot2\right) \cdot \mathrm{e}^{\tfrac{1}{2} \cdot 2} \\[5pt] &=&2\mathrm e \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f(2)&=&\left(-2^2+3\cdot2\right) \cdot \mathrm{e}^{\tfrac{1}{2} \cdot 2} \\[5pt] &=&2\mathrm e \end{array}$

Die Koordinaten von Formula: H ergeben sich somit als $Formula: H(2\mid 2\mathrm e).$ $Formula: H(2\mid 2\mathrm e).$ Mit Hilfe der Abbildung folgt zudem, dass Formula: f alle reellen Werte kleiner und gleich der Formula: y -Koordinate von annimmt. Somit ergibt sich für die gesuchte Wertemenge:

$Formula: W=\,]-\infty; 2\mathrm e]$ $Formula: W=\,]-\infty; 2\mathrm e]$

Die Gerade durch Formula: T und Formula: H hat die folgende Steigung:

$Formula: \dfrac{\mathrm e-\left(-18 \mathrm e^{-\tfrac{3}{2}}\right)}{2-(-3)}=\dfrac{\mathrm e+18 \mathrm e^{-\tfrac{3}{2}}}{5}$ $Formula: \dfrac{\mathrm e-\left(-18 \mathrm e^{-\tfrac{3}{2}}\right)}{2-(-3)}=\dfrac{\mathrm e+18 \mathrm e^{-\tfrac{3}{2}}}{5}$

Für den Schnittwinkel der beiden Geraden folgt damit:

$Formula: \begin{array}{rlll} \tan \alpha&=&\dfrac{f'(0)-\tfrac{\mathrm e+18 \mathrm e^{-\tfrac{3}{2}}}{5}}{1+f'(0)\cdot\tfrac{\mathrm e+18 \mathrm e^{-\tfrac{3}{2}}}{5}} \\[5pt] \tan \alpha&=&\dfrac{3\cdot\mathrm e^0-\tfrac{\mathrm e+18 \mathrm e^{-\tfrac{3}{2}}}{5}}{1+3\cdot\mathrm e^0\cdot\tfrac{\mathrm e+18 \mathrm e^{-\tfrac{3}{2}}}{5}} \\[5pt] \tan \alpha&=&\dfrac{3-\tfrac{\mathrm e+18 \mathrm e^{-\tfrac{3}{2}}}{5}}{1+\tfrac{3\mathrm e+54 \mathrm e^{-\tfrac{3}{2}}}{5}} &\quad\scriptsize\mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \alpha&=&\tan^{-1}\left(\dfrac{3-\tfrac{\mathrm e+18 \mathrm e^{-\tfrac{3}{2}}}{5}}{1+\tfrac{3\mathrm e+54 \mathrm e^{-\tfrac{3}{2}}}{5}}\right) \\[5pt] \alpha&\approx&18,16^\circ \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \tan \alpha&=&\dfrac{f'(0)-\tfrac{\mathrm e+18 \mathrm e^{-\tfrac{3}{2}}}{5}}{1+f'(0)\cdot\tfrac{\mathrm e+18 \mathrm e^{-\tfrac{3}{2}}}{5}} \\[5pt] \tan \alpha&=&\dfrac{3\cdot\mathrm e^0-\tfrac{\mathrm e+18 \mathrm e^{-\tfrac{3}{2}}}{5}}{1+3\cdot\mathrm e^0\cdot\tfrac{\mathrm e+18 \mathrm e^{-\tfrac{3}{2}}}{5}} \\[5pt] \tan \alpha&=&\dfrac{3-\tfrac{\mathrm e+18 \mathrm e^{-\tfrac{3}{2}}}{5}}{1+\tfrac{3\mathrm e+54 \mathrm e^{-\tfrac{3}{2}}}{5}} &\quad\scriptsize\mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \alpha&=&\tan^{-1}\left(\dfrac{3-\tfrac{\mathrm e+18 \mathrm e^{-\tfrac{3}{2}}}{5}}{1+\tfrac{3\mathrm e+54 \mathrm e^{-\tfrac{3}{2}}}{5}}\right) \\[5pt] \alpha&\approx&18,16^\circ \end{array}$

Zunächst werden die notwendige Bedingung Formula: f''(x)=0 und die hinreichende Bedingung für Extremstellen von angewendet. Einsetzen der lokalen Maximalstelle in Formula: f'(x) liefert dann die zugehörige Formula: y -Koordinate. Vergleichen mit den Grenzwerten von für $Formula: x\to-\infty$ $Formula: x\to-\infty$ und $Formula: x\to\infty$ $Formula: x\to\infty$ zeigt dann, welcher der potentiell mehreren berechneten lokalen Maximalpunkten das globale Maximum ist.

Zwei Sekunden nach Beginn des Bremsvorgangs erreicht die Batterie die maximale Änderungsrate ihrer gespeicherten Energie von $Formula: 2\mathrm e.$ $Formula: 2\mathrm e.$

Aus der Abbildung ergibt sich, dass der gesuchte Zeitraum sich ungefähr von Formula: x=-5,5 bis Formula: x=-1,5 erstreckt. Die Länge der Zeitspanne beträgt somit ca. Formula: 4 Sekunden.

Im Zeitraum von Formula: 10 Sekunden vor Beginn des Bremsvorgangs bis Formula: 3 Sekunden nach dessen Beginn nimmt der Energiegehalt der Batterie insgesamt um etwa Formula: 15 Kilojoule ab.

Koordinatensystem mit zwei Kurven: G₀ (blau) und G (schwarz), mit den markierten Punkten T, H und B.

Formula: G_a geht aus Formula: G_0 durch Verschiebung um Formula: a in Formula: y -Richtung hervor.

Formula: G_a ist der Graph an der Formula: x -Achse gespiegelt und dann um Formula: a Längeneinheiten in Formula: y -Richtung verschoben. Somit besitzen die beiden Graphen solange zwei Schnittpunkte, wie der Wert nicht die doppelte -Koordinate von Formula: T unterschreitet und nicht die doppelte -Koordinate von Formula: H überschreitet. Somit ergibt sich für die gesuchten Werte von Formula: a:

$Formula: -36 \mathrm e^{-\tfrac{3}{2}}\leq a\leq 4\mathrm e$ $Formula: -36 \mathrm e^{-\tfrac{3}{2}}\leq a\leq 4\mathrm e$

Der Graph Formula: G hat Formula: y=0 als Asymptote. Der Wert Formula: b hat keine Auswirkungen auf die Asymptote, somit folgt Formula: a=2 damit der Graph von $Formula: g_{a,b}$ $Formula: g_{a,b}$ die Asymptote Formula: y=2 besitzt. Die Formula: x -Koordinate des Tiefpunkts hängt wiederum nur von ab. Es gilt $Formula: g_{a,b}'(x)=-b\cdot f'(bx),$ $Formula: g_{a,b}'(x)=-b\cdot f'(bx),$ durch das negative Vorzeichen vor dem Term Formula: f(bx) in der Funktionsgleichung von $Formula: g_{a,b}$ $Formula: g_{a,b}$ ergibt Multiplikation der Tiefstelle des Graphen von $Formula: g_{a,b}$ $Formula: g_{a,b}$ mit Formula: b somit die Formula: x -Koordinate von Formula: H. Damit ergibt sich für Formula: b:

$Formula: \begin{array}{rlll} b\cdot(-0,5)&=&2 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-2) \\[5pt] b&=&-4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} b\cdot(-0,5)&=&2 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-2) \\[5pt] b&=&-4 \end{array}$

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