B5 – Geometrie

Gegeben ist das Rechteck Formula: ABCD mit $Formula: A(6\mid0\mid9),$ $Formula: A(6\mid0\mid9),$ $Formula: B(0\mid6\mid9)$ $Formula: B(0\mid6\mid9)$ und $Formula: C(-1\mid5\mid17),$ $Formula: C(-1\mid5\mid17),$ das in der Ebene Formula: E liegt.

Bestimme die Koordinaten von Formula: D.

2 BE

Bestimme eine Gleichung von Formula: E in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: Formula: E:4x+4y+z-33=0 )

3 BE

Das Rechteck Formula: ABCD stellt modellhaft eine Zielscheibe beim Bogenschießen dar (vgl. Abbildung 1). Im Koordinatensystem beschreibt die Formula: xy -Ebene den horizontalen Boden; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.

Skizze einer Zielscheibe mit Goldbereich und Zielkreis in einem Viereck mit den Eckpunkten A, B, C und D.

Abbildung 1

An die betrachtete Zielscheibe werden folgende Anforderungen gestellt:

$Formula: \text{I}$ $Formula: \text{I}$	Ein Zielkreis mit einem Durchmesser von $Formula: 80\;\mathrm{cm}$ $Formula: 80\;\mathrm{cm}$ passt vollständig auf die Zielscheibe.
$Formula: \text{II}$ $Formula: \text{II}$	Die Zielscheibe ist in einem Winkel von $Formula: 75^{\circ}$ $Formula: 75^{\circ}$ bis $Formula: 80^{\circ}$ $Formula: 80^{\circ}$ gegenüber dem horizontalen Boden geneigt.

Zeige rechnerisch, dass Anforderung $Formula: \text{I}$ $Formula: \text{I}$ erfüllt ist.

2 BE

Untersuche, ob Anforderung $Formula: \text{II}$ $Formula: \text{II}$ erfüllt ist.

3 BE

In der Mitte der Zielscheibe befindet sich der kreisförmige Goldbereich mit Radius $Formula: 8\;\mathrm{cm},$ $Formula: 8\;\mathrm{cm},$ dessen Mittelpunkt durch den Punkt $Formula: M(2{,}5\mid2{,}5\mid13)$ $Formula: M(2{,}5\mid2{,}5\mid13)$ dargestellt wird.

Die Flugbahn der Pfeilspitze eines Pfeils, der die Zielscheibe trifft, wird durch Punkte der Form $Formula: \left(2s\mid3s\mid-0{,}01s^2+s+12{,}01\right)$ $Formula: \left(2s\mid3s\mid-0{,}01s^2+s+12{,}01\right)$ mit geeigneten Werten von $Formula: s\in\mathbb{R}$ $Formula: s\in\mathbb{R}$ beschrieben.

Zeige rechnerisch, dass der Pfeil den Goldbereich trifft.

6 BE

Die Flugbahn eines zweiten Pfeils kann aufgrund der Windverhältnisse nicht genau vorhergesagt werden. Die möglichen Auftreffpositionen werden durch die auf einer Strecke liegenden Punkte Formula: P_a mit

$Formula: \overrightarrow{OP_a}=\begin{pmatrix}2\\3\\13\end{pmatrix}+a\cdot\begin{pmatrix}0{,}75\\-0{,}75\\0\end{pmatrix}$ $Formula: \overrightarrow{OP_a}=\begin{pmatrix}2\\3\\13\end{pmatrix}+a\cdot\begin{pmatrix}0{,}75\\-0{,}75\\0\end{pmatrix}$ und $Formula: a\in[0;1]$ $Formula: a\in[0;1]$ dargestellt, wobei Formula: O den Koordinatenursprung bezeichnet.

Abbildung 2 zeigt den Kreis, der den Goldbereich darstellt, seinen Mittelpunkt Formula: M sowie den Punkt Formula: P_0. Zeige, dass der Mittelpunkt des Goldbereichs eine mögliche Auftreffposition des zweiten Pfeils ist, und untersuche mithilfe geeigneter Eintragungen in Abbildung 2, ob der zweite Pfeil den Goldbereich sicher trifft.

Grauer Kreis mit den markierten Punkten M und P₀ im Inneren.

Abbildung 2

4 BE

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$Formula: \begin{array}{rlll} \overrightarrow{OD}&=&\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC} \\[5pt] &=&\pmatrix{6\\0\\9}+\pmatrix{-1-0\\5-6\\17-9} \\[5pt] &=&\pmatrix{5\\-1\\17} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \overrightarrow{OD}&=&\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC} \\[5pt] &=&\pmatrix{6\\0\\9}+\pmatrix{-1-0\\5-6\\17-9} \\[5pt] &=&\pmatrix{5\\-1\\17} \end{array}$

Formula: D hat somit die Koordinaten $Formula: D(5\mid-1\mid17).$ $Formula: D(5\mid-1\mid17).$

Für einen Normalenvektor der Ebene folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \overrightarrow{n}&=&\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD} \\[5pt] &=&\pmatrix{0-6\\6-0\\9-9}\times\pmatrix{5-6\\-1-0\\17-9} \\[5pt] &=&\pmatrix{6\cdot8-0\\0-(-6)\cdot8\\-6\cdot(-1)-6\cdot(-1)} \\[5pt] &=&\pmatrix{48\\48\\12} \\[5pt] &=&12\cdot\pmatrix{4\\4\\1} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \overrightarrow{n}&=&\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD} \\[5pt] &=&\pmatrix{0-6\\6-0\\9-9}\times\pmatrix{5-6\\-1-0\\17-9} \\[5pt] &=&\pmatrix{6\cdot8-0\\0-(-6)\cdot8\\-6\cdot(-1)-6\cdot(-1)} \\[5pt] &=&\pmatrix{48\\48\\12} \\[5pt] &=&12\cdot\pmatrix{4\\4\\1} \end{array}$

Mit $Formula: \tfrac{1}{12}\cdot\overrightarrow{n}$ $Formula: \tfrac{1}{12}\cdot\overrightarrow{n}$ als Normalenvektor folgt Formula: E:4x+4y+z-d=0. Einsetzen der Koordinaten von z.B. Formula: A liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} 4\cdot6+4\cdot0+9-d&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+d \\[5pt] 33&=&d \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 4\cdot6+4\cdot0+9-d&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+d \\[5pt] 33&=&d \end{array}$

Damit ergibt sich Formula: E:4x+4y+z-33=0.

Die beiden Rechteckseiten haben die folgenden Längen:

$Formula: \begin{array}{rlll} \left\vert\overrightarrow{BC}\right\vert&=&\left\vert\pmatrix{-1\\-1\\8}\right\vert \\[5pt] &=&\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+8^2} \\[5pt] &\approx&8,12\;[\text{dm}] \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \left\vert\overrightarrow{BC}\right\vert&=&\left\vert\pmatrix{-1\\-1\\8}\right\vert \\[5pt] &=&\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+8^2} \\[5pt] &\approx&8,12\;[\text{dm}] \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rlll} \left\vert\overrightarrow{AB}\right\vert&=&\left\vert\pmatrix{-6\\6\\0}\right\vert \\[5pt] &=&\sqrt{(-6)^2+6^2+0^2} \\[5pt] &\approx&8,49\;[\text{dm}] \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \left\vert\overrightarrow{AB}\right\vert&=&\left\vert\pmatrix{-6\\6\\0}\right\vert \\[5pt] &=&\sqrt{(-6)^2+6^2+0^2} \\[5pt] &\approx&8,49\;[\text{dm}] \end{array}$

Da $Formula: 80\;\text{cm}=8\;\text{dm}$ $Formula: 80\;\text{cm}=8\;\text{dm}$ gilt, sind beide Seiten des Rechtecks länger als der Durchmesser des Zielkreises und somit stimmt Aussage $Formula: \text{I}.$ $Formula: \text{I}.$

Die Formula: xy -Ebene beschreibt den horizontalen Boden mit Normalenvektor $Formula: \overrightarrow{n_{xy}}=\pmatrix{0\\0\\1}.$ $Formula: \overrightarrow{n_{xy}}=\pmatrix{0\\0\\1}.$ Da die Zielscheibe in der Ebene Formula: E liegt, folgt für den Neigungswinkel:

$Formula: \begin{array}{rlll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\left\vert\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{n_{xy}}\right\vert}{\left\vert\overrightarrow{n}\right\vert\cdot\left\vert\overrightarrow{n_{xy}}\right\vert} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{\left\vert\pmatrix{4\\4\\1}\cdot\pmatrix{0\\0\\1}\right\vert}{\left\vert\pmatrix{4\\4\\1}\right\vert\cdot\left\vert\pmatrix{0\\0\\1}\right\vert} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{1}{\sqrt{33}\cdot\sqrt{1}} &\quad\scriptsize\mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \alpha&=&\cos^{-1}\left(\dfrac{1}{\sqrt{33}\cdot\sqrt{1}}\right) \\[5pt] \alpha&\approx&79,98^\circ \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\left\vert\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{n_{xy}}\right\vert}{\left\vert\overrightarrow{n}\right\vert\cdot\left\vert\overrightarrow{n_{xy}}\right\vert} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{\left\vert\pmatrix{4\\4\\1}\cdot\pmatrix{0\\0\\1}\right\vert}{\left\vert\pmatrix{4\\4\\1}\right\vert\cdot\left\vert\pmatrix{0\\0\\1}\right\vert} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{1}{\sqrt{33}\cdot\sqrt{1}} &\quad\scriptsize\mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \alpha&=&\cos^{-1}\left(\dfrac{1}{\sqrt{33}\cdot\sqrt{1}}\right) \\[5pt] \alpha&\approx&79,98^\circ \end{array}$

Anforderung $Formula: \text{II}$ $Formula: \text{II}$ ist somit erfüllt.

Einsetzen der Koordinaten der Flugbahn in die Ebenengleichung von Formula: E liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} 4\cdot2s+4\cdot3s-0,01 s^2+s+12,01-33&=&0 \\[5pt] -0,01s^2+21s-20,99&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 4\cdot2s+4\cdot3s-0,01 s^2+s+12,01-33&=&0 \\[5pt] -0,01s^2+21s-20,99&=&0 \end{array}$

Mit der Formula: abc -Formel folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} s_{1;2}&=&\dfrac{-21\pm\sqrt{21^2-4\cdot(-0,01)\cdot(-20,99)}}{2\cdot(-0,01)} \\[5pt] s_{1;2}&=&\dfrac{-21\pm\sqrt{440,1604}}{-0,02} \\[5pt] s_{1;2}&=&\dfrac{-21\pm20,98}{-0,02} \\[5pt] s_{1}&=&\dfrac{-21-20,98}{-0,02} \\[5pt] &=&2099 \\[5pt] s_{2}&=&\dfrac{-21+20,98}{-0,02} \\[5pt] &=&1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} s_{1;2}&=&\dfrac{-21\pm\sqrt{21^2-4\cdot(-0,01)\cdot(-20,99)}}{2\cdot(-0,01)} \\[5pt] s_{1;2}&=&\dfrac{-21\pm\sqrt{440,1604}}{-0,02} \\[5pt] s_{1;2}&=&\dfrac{-21\pm20,98}{-0,02} \\[5pt] s_{1}&=&\dfrac{-21-20,98}{-0,02} \\[5pt] &=&2099 \\[5pt] s_{2}&=&\dfrac{-21+20,98}{-0,02} \\[5pt] &=&1 \end{array}$

Der Wert von Formula: s_1 liefert eine Formula: x -Koordinate des Aufprallpunkts von $Formula: 2\cdot2099=4198.$ $Formula: 2\cdot2099=4198.$ Das ist viel zu groß um innerhalb des Rechtecks Formula: ABCD zu liegen. Mit Formula: s_2 ergibt sich für die Koordinaten des tatsächlichen Aufprallpunkts:

$Formula: S(2\mid3\mid13)$ $Formula: S(2\mid3\mid13)$

Für den Abstand zum Mittelpunkt der Scheibe folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \left\vert\overrightarrow{SM}\right\vert&=&\left\vert\pmatrix{2,5-2\\2,5-3\\13-13}\right\vert \\[5pt] &=&\sqrt{(0,5)^2+(-0,5)^2+0} \\[5pt] &\approx&0,71 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \left\vert\overrightarrow{SM}\right\vert&=&\left\vert\pmatrix{2,5-2\\2,5-3\\13-13}\right\vert \\[5pt] &=&\sqrt{(0,5)^2+(-0,5)^2+0} \\[5pt] &\approx&0,71 \end{array}$

Da $Formula: 0,71\lt0,8$ $Formula: 0,71\lt0,8$ gilt, trifft der Pfeil somit den Goldbereich.

Gleichsetzen des Ortsvektors von Formula: M mit $Formula: \overrightarrow{OP_a}$ $Formula: \overrightarrow{OP_a}$ liefert:

$Formula: \begin{array}{lrll} \text{I}\quad&2,5&=& 2+0,75a \\ \text{II}\quad&2,5&=&3-0,75a \\ \text{III}\quad&13&=&13 \\ \end{array}$ $Formula: \begin{array}{lrll} \text{I}\quad&2,5&=& 2+0,75a \\ \text{II}\quad&2,5&=&3-0,75a \\ \text{III}\quad&13&=&13 \\ \end{array}$

Gleichung $Formula: \text{I}$ $Formula: \text{I}$ liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} 2,5&=&2+0,75a &\quad\scriptsize\mid\;-2 \\[5pt] 0,5&=&0,75a &\quad\scriptsize\mid\;:(0,75) \\[5pt] \dfrac{2}{3}&=&a \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 2,5&=&2+0,75a &\quad\scriptsize\mid\;-2 \\[5pt] 0,5&=&0,75a &\quad\scriptsize\mid\;:(0,75) \\[5pt] \dfrac{2}{3}&=&a \end{array}$

Einsetzen in Gleichung $Formula: \text{II}$ $Formula: \text{II}$ ergibt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 2,5&=&3-0,75\cdot\dfrac{2}{3} \\[5pt] 2,5&=&2,5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 2,5&=&3-0,75\cdot\dfrac{2}{3} \\[5pt] 2,5&=&2,5 \end{array}$

Da Gleichung $Formula: \text{III}$ $Formula: \text{III}$ stets richtig ist, ist Formula: M somit eine mögliche Auftreffposition.

Für die Eintragung der möglichen Auftreffpositionen ergibt sich:

Kreis mit den Punkten P₁, M und P₀ auf einer Linie.

Somit liegen alle möglichen Auftreffpositionen im Goldbereich.

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