B3 – Stochastik

Eine Gruppe von zwölf Studierenden unternimmt mehrere Exkursionen in den Nationalpark Berchtesgaden, um dort lebende Bergeidechsen zu untersuchen.

Bei jeder Exkursion untersucht die Gruppe Formula: 20 Bergeidechsen. Die Anzahl der weiblichen Bergeidechsen unter den Bergeidechsen kann jeweils durch eine binomialverteilte Zufallsgröße Formula: X mit den Parametern Formula: n=20 und Formula: p beschrieben werden. Der Wert von unterliegt jahreszeitlichen Schwankungen. Für den Zeitraum der ersten Exkursion gilt Formula: p=0{,}5.

Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

	„Die Gruppe untersucht bei ihrer ersten Exkursion genau weibliche Bergeidechsen.“
	„Die Gruppe untersucht bei ihrer ersten Exkursion mehr weibliche als männliche Bergeidechsen.“

3 BE

Begründe, dass bei der ersten Exkursion die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert von Formula: X um mindestens Formula: 3 vom Erwartungswert von abweicht, mit dem Term $Formula: 2\cdot P_{0{,}5}^{20}(X\leq7)$ $Formula: 2\cdot P_{0{,}5}^{20}(X\leq7)$ berechnet werden kann.

3 BE

Bei der zweiten Exkursion gilt $Formula: p\lt0{,}5.$ $Formula: p\lt0{,}5.$ Für bestimmte Werte von ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter den Formula: 20 untersuchten Bergeidechsen mindestens eine weibliche Bergeidechse befindet, mindestens $Formula: 98\,\%.$ $Formula: 98\,\%.$

Ermittle auf ganze Prozent genau den kleinstmöglichen dieser Werte von Formula: p.

4 BE

Die zwölf Studierenden übernachten nach der zweiten Exkursion in einer Berghütte mit zwei nur für diese Gruppe reservierten Zimmern, von denen das „Bergzimmer“ acht und das „Talzimmer“ sieben Betten hat.

Angenommen, jeder Person aus der Gruppe wird zufällig ein freies Bett zugeteilt.

Bestimme für diesen Fall die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in jedem Zimmer mindestens ein Bett frei bleibt.

3 BE

Zwischen der Kopf-Rumpf-Länge und dem Geschlecht von Bergeidechsen besteht eine Korrelation. Für eine zufällig ausgewählte weibliche Bergeidechse kann die Kopf-Rumpf-Länge in Millimetern durch eine normalverteilte Zufallsgröße Formula: Y beschrieben werden. Für die zugehörige Dichtefunktion $Formula: \varphi$ $Formula: \varphi$ gilt $Formula: \varphi(x)=\tfrac{1}{8\cdot\sqrt{2\pi}}\cdot\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{x-53{,}9}{8}\right)^2}.$ $Formula: \varphi(x)=\tfrac{1}{8\cdot\sqrt{2\pi}}\cdot\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{x-53{,}9}{8}\right)^2}.$

Die Abbildung zeigt den Graphen von $Formula: \varphi.$ $Formula: \varphi.$

Glockenförmige Kurve in einem Koordinatensystem mit Maximum bei etwa x = 54 und y = 0,05.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte weibliche Bergeidechse kleiner als $Formula: 48\;\mathrm{mm}$ $Formula: 48\;\mathrm{mm}$ ist.

2 BE

Betrachtet wird die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion $Formula: \Phi$ $Formula: \Phi$ mit $Formula: \Phi(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{x}\varphi(t)\,\mathrm{d}t.$ $Formula: \Phi(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{x}\varphi(t)\,\mathrm{d}t.$

Beschreibe die Bedeutung des Terms $Formula: \Phi(0{,}8\cdot53{,}9)+\left(1-\Phi(1{,}2\cdot53{,}9)\right)$ $Formula: \Phi(0{,}8\cdot53{,}9)+\left(1-\Phi(1{,}2\cdot53{,}9)\right)$ im Sachzusammenhang.

2 BE

Auch die Kopf-Rumpf-Länge einer zufällig ausgewählten männlichen Bergeidechse kann durch eine normalverteilte Zufallsgröße beschrieben werden; diese Zufallsgröße wird mit Formula: Z bezeichnet. Die Kopf-Rumpf-Länge von männlichen Bergeidechsen beträgt im Mittel $Formula: 48\;\mathrm{mm}.$ $Formula: 48\;\mathrm{mm}.$ Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Kopf-Rumpf-Länge einer männlichen Bergeidechse zwischen $Formula: 41\;\mathrm{mm}$ $Formula: 41\;\mathrm{mm}$ und $Formula: 55\;\mathrm{mm}$ $Formula: 55\;\mathrm{mm}$ liegt, beträgt etwa $Formula: 68{,}3\,\%.$ $Formula: 68{,}3\,\%.$

Beurteile anhand dieser Informationen, ob die Standardabweichung von Formula: Z größer oder kleiner ist als die Standardabweichung von Formula: Y. Skizziere den Graphen der Dichtefunktion von in der Abbildung.

3 BE

20 BE

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$Formula: \begin{array}{rlll} P(A)&=&P_{0,5}^{20}(X=10) \\[5pt] &\approx&0,1762 \\[5pt] &=&17,62\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} P(A)&=&P_{0,5}^{20}(X=10) \\[5pt] &\approx&0,1762 \\[5pt] &=&17,62\,\% \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rlll} P(B)&=&P_{0,5}^{20}(X\gt10) \\[5pt] &=&1-P_{0,5}^{20}(X\leq10) \\[5pt] &\approx&1-0,5881 \\[5pt] &=&41,19\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} P(B)&=&P_{0,5}^{20}(X\gt10) \\[5pt] &=&1-P_{0,5}^{20}(X\leq10) \\[5pt] &\approx&1-0,5881 \\[5pt] &=&41,19\,\% \end{array}$

Die Binomialverteilung ist symmetrisch zu ihrem Erwartungswert, der durch $Formula: E(X)=n\cdot p$ $Formula: E(X)=n\cdot p$ $Formula: =20\cdot0,5=10$ $Formula: =20\cdot0,5=10$ gegeben ist. Aufgrund der Symmetrie kann die gesuchte Wahrscheinlichkeit somit mit dem Term $Formula: 2 \cdot P_{0,5}^{20}(X \leq 7)$ $Formula: 2 \cdot P_{0,5}^{20}(X \leq 7)$ bestimmt werden.

$Formula: \begin{array}{rlll} P_p^{20}(X\geq1)&\geq&0,98 \\[5pt] 1-P_p^{20}(X=0)&\geq&0,98 \\[5pt] 1-(1-p)^{20}&\geq&0,98 &\quad\scriptsize\mid\;-1 \\[5pt] -(1-p)^{20}&\geq&-0,02 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-1) \\[5pt] (1-p)^{20}&\leq&0,02 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt[20]{\;} \\[5pt] 1-p&\leq&0,8223 &\quad\scriptsize\mid\;-1 \\[5pt] -p&\leq&-0,1777 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-1) \\[5pt] p&\geq&0,1777 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} P_p^{20}(X\geq1)&\geq&0,98 \\[5pt] 1-P_p^{20}(X=0)&\geq&0,98 \\[5pt] 1-(1-p)^{20}&\geq&0,98 &\quad\scriptsize\mid\;-1 \\[5pt] -(1-p)^{20}&\geq&-0,02 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-1) \\[5pt] (1-p)^{20}&\leq&0,02 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt[20]{\;} \\[5pt] 1-p&\leq&0,8223 &\quad\scriptsize\mid\;-1 \\[5pt] -p&\leq&-0,1777 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-1) \\[5pt] p&\geq&0,1777 \end{array}$

Der kleinstmögliche Wert von Formula: p ist auf Prozent gerundet somit $Formula: p=0,18=18\,\%.$ $Formula: p=0,18=18\,\%.$

Für die Anzahl an Möglichkeiten, Formula: 15-12=3 aller Betten auszuwählen, ergibt sich:

$Formula: \dbinom{15}{3}=455$ $Formula: \dbinom{15}{3}=455$

Das Gegenereignis dazu, dass in beiden Zimmern ein Bett frei bleibt, ist, dass alle drei freie Betten in einem Zimmer sind. Für das „Bergzimmer“ ergibt sich die folgende Anzahl an Möglichkeiten:

$Formula: \dbinom{8}{3}=56$ $Formula: \dbinom{8}{3}=56$

Für das „Talzimmer“ folgt:

$Formula: \dbinom{7}{3}=35$ $Formula: \dbinom{7}{3}=35$

Für die gesuchte Wahrscheinlichtkeit folgt somit:

$Formula: \dfrac{455-56-35}{455}=\dfrac{4}{5}=0,8=80\,\%$ $Formula: \dfrac{455-56-35}{455}=\dfrac{4}{5}=0,8=80\,\%$

$Formula: \begin{array}{rlll} P(Y\lt48)&\approx&0,2304 \\[5pt] &=&23,04\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} P(Y\lt48)&\approx&0,2304 \\[5pt] &=&23,04\,\% \end{array}$

Aus der Funktionsgleichung $Formula: \varphi(x)$ $Formula: \varphi(x)$ lässt sich ablesen, dass $Formula: \mu=53,9$ $Formula: \mu=53,9$ gilt. Somit gibt der Term aus der Aufgabenstellung die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass das Gewicht einer zufällig ausgewählten Bergeidechse weniger als $Formula: 20\,\%$ $Formula: 20\,\%$ vom Erwartungswert abweicht.

Aus der Aufgabenstellung folgt, dass das Intervall Formula: [41;55] genau einer Standardabweichung um den Erwartungswert $Formula: 48\;\text{mm}$ $Formula: 48\;\text{mm}$ entspricht. Somit ergibt sich eine Standardabweichung von Formula: 48-41=7. Da die Standardabweichung von Formula: Y aus $Formula: \varphi(x)$ $Formula: \varphi(x)$ als Formula: 8 abgelesen werden kann, ist die Standardabweichung von Formula: Z somit kleiner als die von Formula: Y. Für die eingezeichnete Dichtefunktion ergibt sich:

Koordinatensystem mit zwei überlappenden Glockenkurven, die ihre Gipfel bei etwa 48 und 54 haben.

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