B3 – Stochastik

Bei einer Verkehrszählung zur Untersuchung des Sicherheitsbewusstseins im Straßenverkehr wurden Formula: 630 Radfahrer erfasst. Ein Drittel davon fuhr ein Fahrrad mit Elektromotor, Formula: 147 waren mit einem Fahrrad ohne Elektromotor unterwegs und trugen keinen Helm. Insgesamt trugen $Formula: 40\,\%$ $Formula: 40\,\%$ der Radfahrer keinen Helm.

Aus den bei der Verkehrszählung erfassten Radfahrern wird eine Person zufällig ausgewählt.

Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

Formula: E: „Die Person fuhr ein Fahrrad mit Elektromotor.“

Formula: H: „Die Person trug einen Helm.“

Begründe anhand der vorliegenden Daten, dass Formula: E und Formula: H stochastisch abhängig sind.

3 BE

Beschreibe das Ereignis $Formula: \overline{E} \cap H$ $Formula: \overline{E} \cap H$ im Sachzusammenhang und ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Person einen Helm trug, wenn bekannt ist, dass sie auf einem Fahrrad ohne Elektromotor unterwegs war.

3 BE

Nach einer statistischen Erhebung eines Fahrradmagazins tritt auf einer $Formula: 50\;\text{km}$ $Formula: 50\;\text{km}$ langen, mit dem Fahrrad zurückgelegten Strecke mit einer Wahrscheinlichkeit von $Formula: 1,6\,\%$ $Formula: 1,6\,\%$ eine Reifenpanne auf. Ermittle auf $Formula: 50\;\text{km}$ $Formula: 50\;\text{km}$ genau, ab welcher mit dem Fahrrad zurückgelegten Gesamtstrecke unter diesen Voraussetzungen die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine Reifenpanne auftritt, mehr als $Formula: 90\,\%$ $Formula: 90\,\%$ beträgt.

5 BE

Im Jahr 2020 wurden in Deutschland rund fünf Millionen Fahrräder verkauft. Dabei waren $Formula: 40\,\%$ $Formula: 40\,\%$ der verkauften Fahrräder Pedelecs (unterstützende Elektrofahrräder). Unter allen im Jahr 2020 verkauften Fahrrädern werden Formula: 200 zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße Formula: X beschreibt die Anzahl der Pedelecs unter den zufällig ausgewählten Fahrrädern.

Bestimme $Formula: P(70 \leq X \leq 90)$ $Formula: P(70 \leq X \leq 90)$ und beschreibe die Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang.

3 BE

Aufgrund der hohen Anschaffungskosten wurde für jedes vierte im Jahr 2020 verkaufte Pedelec eine Versicherung abgeschlossen. Die Zufallsgröße Formula: Y beschreibt die Anzahl der Pedelecs unter den Formula: 200 zufällig ausgewählten Fahrrädern, für die eine Versicherung abgeschlossen wurde.

Berechne Formula: P(Y=0).

2 BE

Ermittle den größtmöglichen Wert von Formula: k, für den $Formula: P_{0,1}^{200}(Y \geq k)\gt0,8$ $Formula: P_{0,1}^{200}(Y \geq k)\gt0,8$ gilt, und interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang.

4 BE

20 BE

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		$Formula: \overline{E}$ $Formula: \overline{E}$

$Formula: \overline{H}$ $Formula: \overline{H}$

Damit ergibt sich:

Formula: P(H)=1-0,4=0,6

$Formula: P_E(H)=\dfrac{105}{210}=0,5$ $Formula: P_E(H)=\dfrac{105}{210}=0,5$

Wegen $Formula: P(H) \neq P_E(H)$ $Formula: P(H) \neq P_E(H)$ sind die Ereignisse stochastisch abhängig.

„Die Person fuhr ein Fahrrad ohne Elektromotor und trug einen Helm.“

$Formula: P_{\overline{E}}(H)=\dfrac{273}{420}=65\,\%$ $Formula: P_{\overline{E}}(H)=\dfrac{273}{420}=65\,\%$

Formula: n: Anzahl der Formula: 50 - $Formula: \text{km}$ $Formula: \text{km}$ -Abschnitte

Formula: Z: Anzahl der Reifenpannen

$Formula: \begin{array}[t]{rll} P_{0,016}^n(Z \geq 1)&\gt&0,9 &\quad\mid\;-1\\[5pt] -1+P_{0,016}^n(Z \geq 1)&\gt&-0,1 &\quad\mid\;\cdot(-1)\\[5pt] P_{0,016}^n(Z = 0)&\lt&0,1 \\[5pt] 0,984^n&\lt&0,1 \\[5pt] n&\gt&\log _{0,984} 0,1 \\[5pt] n &\gt& 142,7 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} P_{0,016}^n(Z \geq 1)&\gt&0,9 &\quad\mid\;-1\\[5pt] -1+P_{0,016}^n(Z \geq 1)&\gt&-0,1 &\quad\mid\;\cdot(-1)\\[5pt] P_{0,016}^n(Z = 0)&\lt&0,1 \\[5pt] 0,984^n&\lt&0,1 \\[5pt] n&\gt&\log _{0,984} 0,1 \\[5pt] n &\gt& 142,7 \end{array}$

Die gesuchte Länge beträgt damit $Formula: 143 \cdot 50\;\mathrm{km}=7150\;\mathrm{km}.$ $Formula: 143 \cdot 50\;\mathrm{km}=7150\;\mathrm{km}.$

$Formula: \begin{array}[t]{rll} P_{0,4}^{200}(70 \leq X \leq 90)&=&P_{0,4}^{200}(X \leq 90)-P_{0,4}^{200}(X \leq 69)\\[5pt] &\approx& 87,1\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} P_{0,4}^{200}(70 \leq X \leq 90)&=&P_{0,4}^{200}(X \leq 90)-P_{0,4}^{200}(X \leq 69)\\[5pt] &\approx& 87,1\,\% \end{array}$

Der Term gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass unter den Formula: 200 ausgewählten Fahrrädern mindestens Formula: 70 und höchstens Formula: 90 Pedelecs sind.

Wegen $Formula: \tfrac{1}{4} \cdot 0,4=0,1$ $Formula: \tfrac{1}{4} \cdot 0,4=0,1$ ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} P(Y=0)&=&\dbinom{200}{0} \cdot 0,1^0 \cdot 0,9^{200} \\[5pt] &=&0,9^{200} \\[5pt] &\approx& 7,1 \cdot 10^{-10} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} P(Y=0)&=&\dbinom{200}{0} \cdot 0,1^0 \cdot 0,9^{200} \\[5pt] &=&0,9^{200} \\[5pt] &\approx& 7,1 \cdot 10^{-10} \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rll}P_{0,1}^{200}(Y \geq k)&\gt&0,8 \\[5pt] 1-P_{0,1}^{200}(Y \leq k-1)&\gt&0,8 &\quad\mid\;-1 \\[5pt] -P_{0,1}^{200}(Y \leq k-1)&\gt&-0,2 &\quad\mid\;\cdot(-1) \\[5pt] P_{0,1}^{200}(Y \leq k-1)&\lt&0,2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}P_{0,1}^{200}(Y \geq k)&\gt&0,8 \\[5pt] 1-P_{0,1}^{200}(Y \leq k-1)&\gt&0,8 &\quad\mid\;-1 \\[5pt] -P_{0,1}^{200}(Y \leq k-1)&\gt&-0,2 &\quad\mid\;\cdot(-1) \\[5pt] P_{0,1}^{200}(Y \leq k-1)&\lt&0,2 \end{array}$

Mit $Formula: P_{0,1}^{200}(Y \leq 15) \approx 14,3\,\%$ $Formula: P_{0,1}^{200}(Y \leq 15) \approx 14,3\,\%$ und $Formula: P_{0,1}^{200}(Y \leq 16) \approx 20,7\,\%$ $Formula: P_{0,1}^{200}(Y \leq 16) \approx 20,7\,\%$ ergibt sich $Formula: k-1 \leq 15$ $Formula: k-1 \leq 15$ und damit $Formula: k \leq 16,$ $Formula: k \leq 16,$ also ist Formula: 16 der größtmögliche Wert von Formula: k. Im Sachzusammenhang bedeutet das, dass unter den Formula: 200 ausgewählten Fahrrädern mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $Formula: 80\,\%$ $Formula: 80\,\%$ mindestens versicherte Pedelecs sind.

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