B4 – Stochastik

Die Bigband einer Schule nimmt anlässlich des 50-jährigen Jubiläums der Schule eine CD mit zehn Musikstücken auf; vier dieser Stücke sind kurz, sechs lang. Diese CD wird in großer Anzahl hergestellt.

Bei der Jubiläumsfeier werden von einer dieser CDs in zufälliger Reihenfolge Stücke abgespielt, wobei jedes Stück mehrfach abgespielt werden kann.

Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter zwölf abgespielten Stücken

genau fünf lange Stücke befinden.
mehr lange als kurze Stücke befinden.

4 BE

Als die CDs vor der Jubiläumsfeier geliefert wurden, entdeckten die Mitglieder der Bigband unter den ersten Formula: 20 betrachteten CDs ein Exemplar mit fehlerhafter Hülle und befürchteten, dass mehr als $Formula: 5\,\%$ $Formula: 5\,\%$ aller Hüllen fehlerhaft sind. Sie planten deshalb, die Nullhypothese „Der Anteil der fehlerhaften Hüllen beträgt höchstens $Formula: 5\,\%.$ $Formula: 5\,\%.$ " mithilfe einer Stichprobe von Formula: 150 CDs auf einem Signifikanzniveau von $Formula: 10\,\%$ $Formula: 10\,\%$ zu testen. Sollte das Ergebnis des Tests dafür sprechen, dass die Befürchtung zutrifft, wollten sie beim Hersteller einen Preisnachlass verlangen.

Begründe, dass die Nullhypothese genau dann abgelehnt wird, wenn mindestens zwölf Hüllen fehlerhaft sind.

3 BE

Beschreibe die Bedeutung des Fehlers zweiter Art im Sachzusammenhang und ermittle den Bereich, in dem der tatsächliche Anteil fehlerhafter Hüllen liegen müsste, damit die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art kleiner als $Formula: 25\,\%$ $Formula: 25\,\%$ ist.

6 BE

Bei der Jubiläumsfeier können die CDs sowohl zu einem Preis von 9 Euro pro Stück gekauft als auch bei einem Spiel gewonnen werden. Für das Spiel wird ein Glücksrad mit einem grauen und einem grünen Sektor verwendet (vgl. Abbildung). Für einen Einsatz von einem Euro wird das Glücksrad dreimal gedreht. Nur wenn dabei genau zweimal der grau markierte Sektor getroffen wird, erhält man eine CD. Die Größe des Öffnungswinkels des grauen Sektors im Bogenmaß wird mit Formula: b bezeichnet.

Kreisdiagramm mit grünem und grauem Anteil, Pfeil zeigt auf grünen Abschnitt.

Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, bei diesem Spiel eine CD zu erhalten, mithilfe des Terms $Formula: \tfrac{3}{4 \pi^2} b^2-\tfrac{3}{8 \pi^3} b^3$ $Formula: \tfrac{3}{4 \pi^2} b^2-\tfrac{3}{8 \pi^3} b^3$ berechnet werden kann.

3 BE

Es gibt Werte von Formula: b, für die die Bigband bei vielfacher Durchführung des Spiels im Mittel pro CD die gleichen Einnahmen erwarten könnte wie beim Verkauf der CD. Ermittle diese Werte von Formula: b.

4 BE

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