B2 – Analysis

Gegeben sind die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktionen $Formula: f_a: x \mapsto-\tfrac{a}{250} x^4+\tfrac{1}{25} x^3$ $Formula: f_a: x \mapsto-\tfrac{a}{250} x^4+\tfrac{1}{25} x^3$ mit $Formula: a \in \mathbb{R}^{+}$ $Formula: a \in \mathbb{R}^{+}$ sowie $Formula: g_a: x \mapsto f_a(x)-\tfrac{3}{5} x.$ $Formula: g_a: x \mapsto f_a(x)-\tfrac{3}{5} x.$ Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von Formula: g_1.

Graph einer geschwungenen Funktion im rechtwinkligen Koordinatensystem mit x- und y-Achse und mehreren Hoch- und Tiefpunkten.

Abb. 1

Berechne für den Graphen von Formula: f_1 die Koordinaten der Schnittpunkte mit der Formula: x -Achse sowie die Koordinaten des Extrempunkts. Zeichne den Graphen von in die Abbildung 1 ein.

5 BE

Gib an, für welche Werte von Formula: x der Graph von Formula: f_1 oberhalb des Graphen von Formula: g_1 verläuft und für welche unterhalb. Begründe deine Angabe.

3 BE

Die Tangente an den Graphen von Formula: f_a im Punkt $Formula: \left(\tfrac{5}{a} \left\lvert\, f_a\left(\tfrac{5}{a}\right)\right.\right)$ $Formula: \left(\tfrac{5}{a} \left\lvert\, f_a\left(\tfrac{5}{a}\right)\right.\right)$ wird mit Formula: t_f bezeichnet, die Tangente an den Graphen von Formula: g_a im Punkt $Formula: \left(\tfrac{5}{a} \left\lvert\, g_a\left(\tfrac{5}{a}\right)\right.\right)$ $Formula: \left(\tfrac{5}{a} \left\lvert\, g_a\left(\tfrac{5}{a}\right)\right.\right)$ mit Formula: t_g und der Schnittpunkt dieser beiden Tangenten mit Formula: S . Die Tangente Formula: t_f wird durch die Gleichung $Formula: y=\tfrac{1}{a^2} x-\tfrac{5}{2 a^3}$ $Formula: y=\tfrac{1}{a^2} x-\tfrac{5}{2 a^3}$ beschrieben, die Tangente durch die Gleichung $Formula: y=\tfrac{5-3 a^2}{5 a^2} x-\tfrac{5}{2 a^3}.$ $Formula: y=\tfrac{5-3 a^2}{5 a^2} x-\tfrac{5}{2 a^3}.$

Begründe, dass Formula: S für jeden Wert von Formula: a auf der Formula: y -Achse liegt. Zeige, dass es keinen Wert von gibt, für den die beiden Tangenten Formula: t_f und Formula: t_g senkrecht zueinander sind.

3 BE

Die Gerade mit der Gleichung $Formula: x=\tfrac{5}{a}$ $Formula: x=\tfrac{5}{a}$ schneidet Formula: t_f im Punkt Formula: F und Formula: t_g im Punkt Formula: G.

Untersuche, für welche Werte von $Formula: a \in \mathbb{R}^{+}$ $Formula: a \in \mathbb{R}^{+}$ das Dreieck Formula: SGF rechtwinklig ist.

4 BE

Die Abbildung 2 zeigt schematisch die Profillinie einer Skipiste in einer Skihalle. Die Piste ist nur in der abgebildeten Längsrichtung geneigt und durchgehend $Formula: 30\;\text{m}$ $Formula: 30\;\text{m}$ breit.

Liniendiagramm mit von links unten nach rechts oben ansteigender Kurve; x- und y-Achse beschriftet

Abb. 2

Die Profillinie wird für $Formula: 0 \leq x \leq 41,5$ $Formula: 0 \leq x \leq 41,5$ durch den Graphen der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktion $Formula: p:x \mapsto-0,000004 x^4+0,015 x^2-0,1 x+0,1875$ $Formula: p:x \mapsto-0,000004 x^4+0,015 x^2-0,1 x+0,1875$ dargestellt. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die Formula: x -Achse die Horizontale; eine Längeneinheit entspricht $Formula: 10\;\text{m}$ $Formula: 10\;\text{m}$ in der Realität.

Berechne die Größe des größten Neigungswinkels der Piste gegenüber der Horizontalen.

4 BE

Ein Seil ist an zwei Punkten befestigt, die im Modell durch $Formula: A(5 \mid 2,31)$ $Formula: A(5 \mid 2,31)$ und $Formula: B(37 \mid 10,68)$ $Formula: B(37 \mid 10,68)$ dargestellt werden. Der Verlauf des Seils kann modellhaft mithilfe einer in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktion $Formula: h: x \mapsto b \cdot c^x$ $Formula: h: x \mapsto b \cdot c^x$ mit $Formula: b,c \in \mathbb{R}^{+}$ $Formula: b,c \in \mathbb{R}^{+}$ beschrieben werden.

Bestimme die Werte von Formula: b und Formula: c.

(zur Kontrolle: $Formula: \small{b \approx 1,818, c \approx 1,049}$ $Formula: \small{b \approx 1,818, c \approx 1,049}$ )

2 BE

Ermittle die Höhendifferenz, um die die beiden Befestigungspunkte gemeinsam mindestens angehoben werden müssten, damit das Seil an jeder Stelle von der Piste einen vertikalen Abstand von mindestens $Formula: 3\;\text{m}$ $Formula: 3\;\text{m}$ hat.

4 BE

Die Abbildung 3 zeigt grau markiert die Schneeauflage im unteren Bereich der Piste; dazu wurde die Abbildung 2 in Richtung der Formula: y -Achse stärker vergrößert als in Richtung der Formula: x -Achse. Der Untergrund, auf dem der Schnee aufgebracht ist, wird für $Formula: 0 \leq x \leq 5$ $Formula: 0 \leq x \leq 5$ durch die -Achse dargestellt. Für den übrigen Teil der Piste soll davon ausgegangen werden, dass die in vertikaler Richtung gemessene Schneehöhe $Formula: 60\;\text{cm}$ $Formula: 60\;\text{cm}$ beträgt.

Querschnitt einer Piste mit Profillinie, Schneeauflage und Untergrund entlang der x- und y-Achse

Abb. 3

Bestimme das Volumen der Schneeauflage der gesamten Piste.

5 BE

30 BE

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Auflösen von Formula: f_1(x)=0 nach Formula: x mit dem MMS liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} x_1&=&0 \\[5pt] x_2&=&10 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} x_1&=&0 \\[5pt] x_2&=&10 \end{array}$

Die Schnittpunkte mit der Formula: x -Achse haben somit die Koordinaten $Formula: ( 0 \mid 0 )$ $Formula: ( 0 \mid 0 )$ und $Formula: ( 10 \mid 0 ).$ $Formula: ( 10 \mid 0 ).$ Bestimmung der ersten Ableitung von Formula: f_1 im MMS und Nullsetzen liefert für Formula: x:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} x_3&=&0 \\[5pt] x_4&=&\dfrac{15}{2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} x_3&=&0 \\[5pt] x_4&=&\dfrac{15}{2} \end{array}$

Einsetzen von Formula: x_4 in die zweite Ableitung mit Hilfe des MMS liefert:

$Formula: f_1''\left(\dfrac{15}{2}\right) \neq 0$ $Formula: f_1''\left(\dfrac{15}{2}\right) \neq 0$

Einsetzen in Formula: f_1 ergibt anschließend mit dem MMS:

$Formula: f_1\left(\dfrac{15}{2}\right)=\dfrac{135}{32}$ $Formula: f_1\left(\dfrac{15}{2}\right)=\dfrac{135}{32}$

Der Extrempunkt hat somit die Koordinaten $Formula: \left(\frac{15}{2} \left\lvert\, \frac{135}{32}\right.\right).$ $Formula: \left(\frac{15}{2} \left\lvert\, \frac{135}{32}\right.\right).$

Koordinatensystem mit Gitternetz und zwei Kurven, eine grün, eine schwarz.

Für $Formula: x\lt0$ $Formula: x\lt0$ gilt $Formula: -\tfrac{3}{5} x\gt0,$ $Formula: -\tfrac{3}{5} x\gt0,$ der Graph von Formula: f_1 verläuft also unterhalb des Graphen von Formula: g_1, für $Formula: x\gt0$ $Formula: x\gt0$ gilt $Formula: -\tfrac{3}{5} x\lt0,$ $Formula: -\tfrac{3}{5} x\lt0,$ der Graph von verläuft also oberhalb des Graphen von Formula: g_1.

Beide Tangenten schneiden die Formula: y -Achse im Punkt $Formula: \left(0 \left\lvert\,-\tfrac{5}{2 a^3}\right.\right).$ $Formula: \left(0 \left\lvert\,-\tfrac{5}{2 a^3}\right.\right).$

Da $Formula: -\tfrac{3 a^2-5}{5 a^2} \cdot \tfrac{1}{a^2} \neq-1$ $Formula: -\tfrac{3 a^2-5}{5 a^2} \cdot \tfrac{1}{a^2} \neq-1$ für alle $Formula: a \in \mathbb{R}^{+}$ $Formula: a \in \mathbb{R}^{+}$ gilt, sind Formula: t_f und Formula: t_g zudem für keinen Wert von senkrecht zueinander.

Für die Steigung von Formula: t_f gilt $Formula: \tfrac{1}{a^2}\gt0$ $Formula: \tfrac{1}{a^2}\gt0$ für alle $Formula: a \in \mathbb{R}^{+},$ $Formula: a \in \mathbb{R}^{+},$ d. h. im Eckpunkt Formula: F kann kein rechter Winkel auftreten. Da und Formula: t_g für keinen Wert von senkrecht zueinander stehen, kann auch im Eckpunkt Formula: S kein rechter Winkel vorliegen. Im Eckpunkt Formula: G liegt für $Formula: a \in \mathbb{R}^{+}$ $Formula: a \in \mathbb{R}^{+}$ genau dann ein rechter Winkel vor, wenn $Formula: \tfrac{5-3 a^2}{5 a^2}=0$ $Formula: \tfrac{5-3 a^2}{5 a^2}=0$ gilt. Auflösen nach mit dem MMS liefert:

$Formula: a=\dfrac{1}{3}\sqrt{15}$ $Formula: a=\dfrac{1}{3}\sqrt{15}$

Der Abbildung 2 ist zu entnehmen, dass der Punkt der Profillinie, in dem deren Steigung am größten ist, zwischen den beiden Endpunkten liegt.

Für $Formula: 0\lt x\lt41,5$ $Formula: 0\lt x\lt41,5$ liefert Nullsetzen der zweiten Ableitung von Formula: p mit dem MMS und anschließend nach Formula: x auflösen:

Formula: x=25

Der Neigungswinkel ergibt sich damit durch die Gleichung $Formula: \tan \varphi=p'(25).$ $Formula: \tan \varphi=p'(25).$ Auflösen nach $Formula: \varphi$ $Formula: \varphi$ mit dem MMS liefert:

$Formula: \varphi \approx 22^{\circ}$ $Formula: \varphi \approx 22^{\circ}$

Einsetzen der Koordinaten der beiden Punkte liefert folgendes Gleichungssystem:

$Formula: \begin{array}{lrll} \text{I}\quad&2,31&=& b\cdot c^5 \\ \text{II}\quad&10,68&=&b\cdot c^{37} \\ \end{array}$ $Formula: \begin{array}{lrll} \text{I}\quad&2,31&=& b\cdot c^5 \\ \text{II}\quad&10,68&=&b\cdot c^{37} \\ \end{array}$

Lösen des Gleichungssystem mit dem MMS liefert $Formula: b \approx 1,818$ $Formula: b \approx 1,818$ und $Formula: c \approx 1,049 .$ $Formula: c \approx 1,049 .$

Der vertikale Abstand des Seils zur Piste kann für jeden Punkt der Profillinie mithilfe der Funktion Formula: d mit Formula: d(x)=h(x)-p(x) angegeben werden.

Für $Formula: x\gt0$ $Formula: x\gt0$ ergibt auflösen von Formula: d'(x)=0 nach mit dem MMS:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} x_1&\approx& 7,79 \\[5pt] x_2&\approx&30,09 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} x_1&\approx& 7,79 \\[5pt] x_2&\approx&30,09 \end{array}$

Da Einsetzen von Formula: x_2 in die zweite Ableitung von Formula: d mit Hilfe des MMS $Formula: d''(x_2)\gt0$ $Formula: d''(x_2)\gt0$ ergibt, wird Formula: d(x) für $Formula: x\approx 7,79$ $Formula: x\approx 7,79$ minimal.

Da das Seil an jeder Stelle einen vertikalen Abstand von mindestens $Formula: 3\;\text{m}$ $Formula: 3\;\text{m}$ haben soll, liefert das Ergebnis von Formula: 0,3-d(7,79) den gesuchten Wert. Mit dem MMS folgt:

$Formula: 0,3-d(7,79) \approx 0,11$ $Formula: 0,3-d(7,79) \approx 0,11$

Die Befestigungspunkte müssen somit um etwa $Formula: 1,1\;\mathrm{m}$ $Formula: 1,1\;\mathrm{m}$ angehoben werden.

Mit dem MMS folgt für das gesuchte Volumen Formula: V:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} V&=& \left(\displaystyle\int_0^5 p(x)\;\mathrm d x+\displaystyle\int_5^{41,5}(p(x)-(p(x)-0,06))\;\mathrm d x\right) \cdot 10 \cdot 10 \cdot 30 \\[5pt] &=&7500 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} V&=& \left(\displaystyle\int_0^5 p(x)\;\mathrm d x+\displaystyle\int_5^{41,5}(p(x)-(p(x)-0,06))\;\mathrm d x\right) \cdot 10 \cdot 10 \cdot 30 \\[5pt] &=&7500 \end{array}$

Das Volumen der Schneeauflage beträgt somit $Formula: 7500\;\mathrm{m}^3.$ $Formula: 7500\;\mathrm{m}^3.$

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