Aufgabe 3A

Betrachtet werden die Pyramiden $ABCDS_k$ mit $A(0\mid 0\mid 0), B(2\mid 0\mid 0),$ $C(2\mid 2\mid 0), D(0\mid 2\mid 0)$ und $S_k(1\mid 1\mid k)$ mit $k\gt 1.$
Die gemeinsame Grundfläche $ABCD$ dieser Pyramiden ist quadratisch. Der Schnittpunkt der Diagonalen der Grundfläche $ABCD$ wird mit $T$ bezeichnet.
Die Abbildung zeigt beispielhaft eine dieser Pyramiden.

Geometrische Darstellung eines dreidimensionalen Körpers mit verschiedenen Punkten und Linien.

Berechne den Inhalt der Oberfläche der Pyramide $ABCDS_k.$

(5 BE)

Der Punkt $S_k$ wird am Punkt $C$ gespiegelt.
Gib die Koordinaten des Spiegelpunktes zu $S_k$ an.
Berechne den Wert von $k$ so, dass $S_k$ zu seinem Spiegelpunkt den Abstand 6 hat.

(4 BE)

Die Seitenfläche $ABS_k$ liegt in der Ebene $L.$
Bestimme eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform.
[zur Kontrolle: $k\cdot y-z=0$ ]

(3 BE)

Bestimme denjenigen Wert von $k,$ für den die Seitenfläche $ABS_k$ gegenüber der Grundfläche $ABCD$ um einen Winkel der Größe $60^{\circ}$ geneigt ist.

(3 BE)

Untersuche, ob es einen Wert für $k\gt 1$ gibt, sodass das Dreieck $BS_kD$ rechtwinklig ist.

(3 BE)

Die Ebene mit der Gleichung $z=1$ schneidet die vier vom Punkt $S_k$ ausgehenden Kanten der Pyramide $ABCDS_k$ in den Punkten $E_k, F_k, G_k$ und $H_k$ (vgl. Abbildung).

Bestimme die $x-$ und die $y-$ Koordinate von $F_k.$

(3 BE)

Bestimme diejenigen Werte von $k,$ für die das Verhältnis des Volumens der Pyramide $E_kF_kG_kH_kT$ zum Volumen der Pyramide $ABCDS_k$ $\frac{1}{8}$ beträgt.

(4 BE)

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$\overrightarrow{AB}= \pmatrix{2\\0\\0}$ , $\mid \overrightarrow{AB} \mid = 2\,[\text{LE}]$
Da die Grundfläche der Pyramide quadratisch ist, kann der Flächeninhalt der Grundfläche berechnet werden durch $\mid \overrightarrow{AB} \mid^2 =2^2 =4\,[\text{FE}].$
Die Koordinaten des Mittelpunkts der Strecke $\overline{AB}$ sind gegeben durch $Z(1 \mid 0 \mid 0).$ Es gilt also $\overrightarrow{ZS}=\pmatrix{0\\1\\k}$ und damit insbesondere $\mid \overrightarrow{ZS} \mid=\sqrt{0^2+1^2+k^2}$ $=\sqrt{1+k^2}[\text{LE}].$
Der Flächeninhalt der Oberfläche der Pyramide ist gegeben durch die Summe des Flächeninhalts der Grundfläche und der vier Seitenflächen:
$4 +4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{1+k^2} =$ $4+4\cdot \sqrt{1+k^2}\,[\text{FE}]$
Der Inhalt der Oberfläche der Pyramide ist gegeben durch $4+4\cdot \sqrt{1+k^2}\,[\text{FE}].$

$\(\overrightarrow{OS_k$ $=\pmatrix{2\\2\\0}+\pmatrix{2-1\\2-1\\0-k}=\pmatrix{3\\3\\-k}$

Die Koordinaten des Spiegelpunktes sind gegeben durch $\(S$

Gesucht ist nun der Wert für $k,$ sodass $\(\mid \overrightarrow{S_kS$ gilt.
$\(\overrightarrow{S_kS$

$\(\mid \overrightarrow{S_kS$ $=\sqrt{8+4k^2}$

Damit muss gelten

$\begin{array}[t]{rll} 6&=& \sqrt{8+4k^2}&\quad \scriptsize \mid ()^2\; \\[5pt] 36&=& 8+4k^2&\quad \scriptsize \mid -8\; \\[5pt] 28&=& 4k^2&\quad \scriptsize \mid :4\; \\[5pt] 7&=& k^2&\quad \scriptsize \mid \sqrt{} \; \\[5pt] \sqrt{7}&=&k \end{array}$

Für $k=\sqrt{7}$ hat $S_k$ zu seinem Spiegelpunkt den Abstand $6.$

Für den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ zu $L$ müssen die Gleichungen $\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{AB}=0$ und $\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{AS_k}=0$ gelten.

$\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{AB}=\pmatrix{n_1\\n_2\\n_3} \circ \pmatrix{2\\0\\0}$ $=2\cdot n_1\stackrel{!}{=}0$

$\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{AS_k}=\pmatrix{n_1\\n_2\\n_3} \circ \pmatrix{1\\1\\k}$ $=n_1+n_2+n_3\cdot k\stackrel{!}{=}0$

Die erste Gleichung liefert $n_1=0.$ Damit folgt für die zweite Gleichung

$\begin{array}[t]{rll} 0&=& n_2+n_3\cdot k &\quad \scriptsize \mid\;-n_2 \\[5pt] -n_2&=& n_3\cdot k &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1)\\[5pt] n_2&=& -n_3\cdot k \end{array}$

Insgesamt ergibt sich damit der Normalenvektor $\overrightarrow{n}=\pmatrix{0\\k\\-1}.$

Damit gilt für die Gleichung von $L$ zunächst zunächst $L: 0\cdot x+k \cdot y + (-1)\cdot z$ $=k \cdot y-z=c.$

$L$ enthält nach Definition den Punkt $A$ und damit den Koordinatenursprung.

Einsetzten dieses Punktes in $L$ liefert schließlich die Gleichung $L:k \cdot y-z=0.$

Der Normalenvektor zur Grundfäche der Pyramide ist gegeben durch $\overrightarrow{m}=\pmatrix{0\\0\\1}.$

Der Normalenvektor der Fläche $ABS_k$ ist nach Teilaufgabe c) gegeben durch $\overrightarrow{n}=\pmatrix{0\\k\\-1}.$

Gesucht ist die Lösung der Gleichung

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$\cos(60^{\circ})=\dfrac{1}{\sqrt{k^2+1}}$

Mit $\cos(60^{\circ})=\dfrac{1}{2}$ gilt:

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$k=\sqrt{3}$

Für $k=\sqrt{3}$ ist die Seitenfläche $ABS_k$ gegenüber der Grundfläche um einen Winkel der Größe $60^{\circ}$ geneigt.

Das Dreieck $BS_kD$ kann höchstens am Punkt $S_k$ rechtwinklig sein. Dafür muss $\overrightarrow{BS_k}\circ \overrightarrow{DS_k}=0$ gelten.

$\overrightarrow{BS_k}=\pmatrix{1-2\\1-0\\k-0}=\pmatrix{-1\\1\\k}$

$\overrightarrow{DS_k}=\pmatrix{1-0\\1-2\\k-0}=\pmatrix{1\\-1\\k}$

$\overrightarrow{BS_k} \circ \overrightarrow{DS_k}=\pmatrix{-1\\1\\k} \circ \pmatrix{1\\-1\\k}$ $=-1\cdot 1 + 1 \cdot (-1) +k\cdot k)$ $=-2+k^2$

$\begin{array}[t]{rll} 0&=& -2+k^2 &\quad \scriptsize \mid\;+2 \\[5pt] 2&=& k^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{}\\[5pt] \sqrt{2}&=& k \end{array}$

Damit ist das Dreieck für $k=\sqrt{2}$ rechtwinklig.

Die Koordinaten des Punktes $F_k$ lassen sich durch die Gleichung $\overrightarrow{OB}+t \cdot \overrightarrow{BS_k}=\pmatrix{x\\y\\1}$ berechnen.

$\pmatrix{2\\0\\0}+t\cdot \pmatrix{-1\\1\\k}=\pmatrix{x\\y\\1}$

Die letzte Zeile liefter $t=\dfrac{1}{k}.$ Damit folgt aus der zweiten Zeile $y=\dfrac{1}{k}.$ Aus der ersten Zeile lässt sich schließlich $x=2-\dfrac{1}{k}$ berechnen.

Der Punkt $F_k$ hat die Koordinaten $(2-\dfrac{1}{k}\mid \dfrac{1}{k}\mid 1).$

Berechne zunächst das Volumen der Pyramide $ABCDS_k:$

$\overrightarrow{AB}=\pmatrix{2\\0\\0},\mid \overrightarrow{AB} \mid=2\,[\text{LE}]$

Die Höhe ist gegeben durch die $z-$ Koordinate des Punktes $S_k,$ also $h_1=k\,[\text{LE}].$

Damit ist das Volumen von $ABCDS_k$ gegeben durch $V_{ABCDS_k}=\dfrac{4}{3} \cdot k\,[\text{VE}]$

Berechne nun das Volumen der Pyramide $E_kF_kG_kH_kT:$

Die Koordinaten von $E_k$ lassen sich analog zu den Koordinaten von $F_k$ aus Aufgabenteil f) berechnen und sind gegeben durch $E_k(\dfrac{1}{k}\mid\dfrac{1}{k}\mid 1).$

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$\overrightarrow{E_kF_k}=\pmatrix{\dfrac{2}{k}-2\\0\\0}$

$\mid \overrightarrow{E_kF_k} \mid=\sqrt{(\dfrac{2}{k}-2})^2$ $= \,\bigg \vert \, \dfrac{2}{k}-2 \,\bigg \vert \, \,[\text{LE}]$

Die Höhe von $E_kF_kG_kH_kT$ ist gegeben durch $h_2=1\,\text{LE}.$

Das Volumen der Pyramide $E_kF_kG_kH_kT$ beträgt damit $V_{E_kF_kG_kH_kT}=\dfrac{1}{3} \cdot (\dfrac{2}{k}-2)^2\,\text{VE}.$

Gesucht sind nun Werte für $k,$ so dass die Gleichung $\dfrac{\dfrac{1}{3} \cdot (\dfrac{2}{k}-2)^2}{\dfrac{4}{3}\cdot k}=\dfrac{1}{8}$ erfüllt ist. $\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\dfrac{1}{3} \cdot (\dfrac{2}{k}-2)^2}{\dfrac{4}{3}\cdot k}&=&\dfrac{1}{8} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \dfrac{4}{3} \cdot k\cdot 3\\[5pt] (\dfrac{2}{k}-2)^2&=&\dfrac{k}{2} &\quad \scriptsize \mid\; -\dfrac{k}{2} \\[5pt] (\dfrac{2}{k}-2)^2-\dfrac{k}{2}&=& 0 \end{array}$

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Die Lösungen dieser Gleichung sind gegeben durch $k_1=2$ und $k_2=\sqrt{5}+3.$ Für diese Werte haben die Volumen der beiden Pyramiden das gesuchte Verhältnis.

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