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Aufgabe P1

Gegeben sind die Funktionen $f_a$ mit $f_a(x)=-a\cdot x \cdot (x-a)$, wobei $x\in\mathbb{R}$ und $a\in\mathbb{R}$, $a>0$ gilt.
#zentraleraufgabenpool
a)
Gib die Nullstellen der Funktionen $f_a$ an.
(1P)
#nullstelle
b)
Bestimme denjenigen Wert von $a$, für den $\int\limits_0^a f_a(x) \;\mathrm{d}x=\dfrac{8}{3}$ gilt.
(4P)

Aufgabe P2

Für $x\in\mathbb{R}$ und $x\leq 1$ ist eine Funktion $f$ mit $f(x)=\mathrm{e}^{x-1}$ und für $x\in\mathbb{R}$ und $x\geq 1$ ist eine Funktion $g_a$ mit $g_a(x)=-x^2+a\cdot x-1$ gegeben.
a)
Untersuche, ob es einen Wert für $a$ so gibt, dass der Graph von $g_a$ sowohl sprung- als auch knickfrei an den Graphen von $f$ anschließt.
(3P)
#graph
b)
Begründe, dass der Übergang zwischen einer beliebigen nach unten geöffneten Parabel $p$ und dem Graphen von $f$ nie krümmungsruckfrei sein kann.
(3P)
#parabel

Aufgabe P3

Für jeden Wert von $a$ $(a\in\mathbb{R}$, $a> 0)$ ist die Funktion $f_a$ gegeben durch $f_a(x)=a\cdot \mathrm{e}^{a+x}$ ($x\in\mathbb{R}$).
Die Tangente an den Graphen von $f_a$ im Punkt $(-1\mid f_a(-1))$ wird mit $t_a$ bezeichnet.
#zentraleraufgabenpool#tangente
a)
Weise nach, dass für jeden Wert von $a$ die Tangente $t_a$ durch die Gleichung $y=a\cdot \mathrm{e}^{a-1}\cdot x+2\cdot a\cdot \mathrm{e}^{a-1}$ beschrieben werden kann.
(3P)
#gleichung
b)
Für jeden Wert von $a$ schließen die Tangente $t_a$ und die beiden Koordinatenachsen ein Dreieck ein.
Ermittle den Flächeninhalt dieses Dreiecks in Abhängigkeit von $a$.
(2P)
#flächeninhalt#dreieck

Aufgabe P4

Abb. 1: Wahrscheinlichkeitsverteilung
Abb. 1: Wahrscheinlichkeitsverteilung
#binomialverteilung
a)
Ermittle mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Basketballspieler mindestens $8$-mal trifft.
(2P)
#wahrscheinlichkeit
b)
Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, keinen Treffer zu erzielen, kleiner als $\dfrac{1}{1.000.000}$ ist.
(3P)
#wahrscheinlichkeit

Aufgabe P5

Abb. 2: Würfel $ABCDEFGH$
Abb. 2: Würfel $ABCDEFGH$
#würfel#zentraleraufgabenpool#kartesischeskoordinatensystem
a)
Zeichne in die Abbildung die Koordinatenachsen ein und bezeichne diese.
Gib die Koordinaten des Punktes $A$ an.
(2P)
b)
Der Punkt $P$ liegt auf der Kante $FB$ des Würfels und hat vom Punkt $H$ den Abstand $3$.
Berechne die Koordinaten des Punktes $P$.
(3P)
#abstand
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
© 2016 – SchulLV.
#hilfsmittelfreieaufgaben
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