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Aufgabe 1A

Aufgaben
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In einem Krankenhaus muss das Operationsbesteck sterilisiert werden. Es wird nach klassischer Definition als steril bezeichnet, wenn sich keine lebenden Erreger mehr darauf befinden. Die Sterilisation mit heißem Wasserdampf kann näherungsweise durch die Funktion $N$ mit $N(x) = N_0 \cdot e^{- c \cdot x}$ modelliert werden. Hierbei bezeichnet $N(x)$ die Anzahl der noch lebenden Erreger, $N_0$ die Anzahl der zu Beginn lebenden Erreger, $x$ die Zeit in Minuten $\text{(min)}$ nach Beginn des Sterilisationsprozesses und $c$ eine positive Konstante in $\frac{1}{\text{min}}.$
#wachstum
a)
Auf einem Operationsbesteck befinden sich $1.000.000$ lebende Erreger, die durch eine Dampfsterilisation mit $c = 0,25$ abgetötet werden sollen.
Bestimme die Anzahl der $30$ Minuten nach dem Beginn der Dampfsterilisation noch lebenden Erreger.
Berechne auf Minuten genau den frühesten Zeitpunkt, zu dem sich auf dem Operationsbesteck weniger als $100$ lebende Erreger befinden.
Beurteile die Eignung des Modells im Hinblick auf die klassische Definition von „steril“.
(9 BE)
b)
Beschreibe die Bedeutung der Gleichung $N'(x) = - c \cdot N(x)$ im Sachzusammenhang.
Untersuche, wie sich eine Verdoppelung von $N_0$ auf die Änderungsrate von $N$ auswirkt.
Als Maß für die Widerstandsfähigkeit der Erreger wird der sogenannte D-Wert verwendet. Er gibt die Zeit an, wie lange ein Sterilisationsprozess auf die Erreger einwirken muss, um eine Reduzierung auf ein Zehntel ihrer aktuellen Anzahl zu erreichen.
Zeige, dass für den D-Wert gilt:
$D=\dfrac{\ln\left(10 \right)}{c}$
(11 BE)
Im Folgenden soll die Vermehrung von Erregern betrachtet werden. Die Anzahl der Erreger kann für verschiedene Erregertypen näherungsweise durch die Funktionen
$f_k(x)= \dfrac{10}{1+9\cdot \mathrm e^{-10\cdot k\cdot x}},$ $x\in \mathbb{R},$ $x\geq 0,$ $k> 0,$
modelliert werden. Dabei bezeichnet $x$ die Zeit in Stunden $\text{(h)}$ nach Beobachtungsbeginn und $f_k(x)$ die Anzahl der Erreger in Millionen.
c)
Vergleiche die Bedeutung von $f_k(3)$ und $\int_{0}^{3}f_k'(x)\;\mathrm dx$ im Sachzusammenhang.
Betrachtet werden zwei Erregertypen:
  • Typ 1 mit $k_1= 0,017$
  • Typ 2 mit $k_2 = 0,027$
Berechne die Zeitpunkte, zu denen die Wachstumsgeschwindigkeit des einen Erregertyps doppelt so groß wie die des anderen Typs ist.
(11 BE)
Unabhängig vom Sachzusammenhang wird im Folgenden die Funktionenschar $f_k$ mit
$f_k(x)= \dfrac{10}{1+9\cdot \mathrm e^{-10\cdot k\cdot x}},$ $x\in\mathbb{R},$ $k> 0$
betrachtet.
d)
Für jedes $k > 0$ bezeichnet $t_k$ die Tangente an den Graphen von $f_k$ im Wendepunkt $W_k\left(\frac{\ln(3)}{5\cdot k} \mid 5\right).$
Bestimme die Koordinaten des gemeinsamen Punkts aller Tangenten $t_k.$
Die Tangente $t_k$ hat die Nullstelle $x = \frac{\ln(3)-1}{5 \cdot k}.$ Zu jeder Tangente $t_k$ existiert eine zu $t_k$ senkrechte Gerade $y_k$ mit $y_k(x)= -\frac{1}{25\cdot k}\cdot x +5+\frac{\ln(3)}{125\cdot k^2},$ die ebenfalls durch $W_k$ verläuft.
Für jedes $k > 0$ schließen die Tangente $t_k,$ die Gerade $y_k$ und die $x$-Achse ein Dreieck ein. Untersuche, ob der Flächeninhalt dieses Dreiecks minimal werden kann.
(15 BE)
#tangente#dreieck
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Lösungen TI
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a)
$\blacktriangleright$  Anzahl der noch lebenden Erreger berechnen
Aus der Aufgabenstellung ergibt sich:
$N_0= 1.000.000$ und $c=0,25$
Die Anzahl der nach $x$ Minuten seit Beobachtungsbeginn noch lebenden Bakterien wird daher durch folgende Funktion beschrieben:
$N(x)= 1.000.000 \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot x}$
Gesucht ist also $N(30):$
$\begin{array}[t]{rll} N(30)&=& 1.000.000 \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot 30} \\[5pt] &\approx& 553 \end{array}$
$ N(30)\approx 553 $
$30$ Minuten nach Beginn der Sterilisation leben noch ca. $553$ Erreger.
Abb. 1: Gleichung mit dem CAS lösen
Abb. 1: Gleichung mit dem CAS lösen
Da der Bestand der Erreger stetig fällt, ist also $37$ Minuten nach Beginn der Sterilisation der erste Zeitpunkt auf Minuten gerundet, zu dem weniger als $100$ Erreger übrig sind.
$\blacktriangleright$  Eignung des Modells beurteilen
Bei $N$ handelt es sich um eine Exponentialfunktion der Form $N(x)= a\cdot \mathrm e^{b\cdot x}.$ Diese kann für $a\neq 0$ keine Nullstelle besitzen. Es gibt also keinen Wert für $x,$ für den $N(x)=0$ oder $N(x)< 0$ gilt. Es kann nach diesem Modell also streng genommen keinen Zeitpunkt geben, zu dem keine lebenden Erreger mehr existieren.
Nach der klassischen Definition ist der Zustand „steril“ erst erreicht, wenn keine lebenden Erreger mehr vorhanden sind. Dieser kann nach dem Modell nicht erreicht werden.
Da Erreger aber nur in ganzzahliger Anzahl vorkommen können, kann man zum Beispiel davon ausgehen, dass ab dem ersten Zeitpunkt $x$ mit $N(x)< 1,$ oder einer noch niedrigeren Schranke für einen Sicherheitsabschlag, keine lebenden Erreger mehr vorhanden sind. Streng genommen wäre das Modell so aber nicht geeignet, da sich kein sicherer Zeitpunkt bestimmen lässt, zudem definitiv kein lebender Erreger mehr übrig ist.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung im Sachzusammenhang deuten
Die erste Ableitung $N'$ beschreibt die momentane Änderungsrate der Anzahl der noch lebenden Erreger.
Dadurch, dass $N(x)$ positiv ist und $c>0$ vorgegeben ist, ist $N'(x)$ durchgehend negativ. Die Anzahl der Erreger nimmt also ab. Da $c$ eine Konstante ist, ist die Geschwindigkeit, mit der die Anzahl der lebenden Erreger abnimmt proportional zum momentanen Erregerbestand mit der Proportionalitätskonstante $c.$
$\blacktriangleright$  Auswirkung der Verdopplung untersuchen
Für die Änderungsrate ergibt sich folgende Funktionsgleichung:
$\begin{array}[t]{rll} N'(x)&=& N_0\cdot (-c)\cdot \mathrm e^{-c\cdot x} \\[5pt] &=&-c\cdot N_0\cdot \mathrm e^{-c\cdot x} \end{array}$
$ N'(x)=… $
Bei verdoppeltem Anfangsbestand $N_0$ ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} N'(x)&=& -c\cdot 2\cdot N_0 \cdot \mathrm e^{-c\cdot x} \\[5pt] &=& 2\cdot (-c)\cdot N_0 \cdot \mathrm e^{-c\cdot x} \\[5pt] &=& 2\cdot N'(x) \end{array}$
$ N'(x)= 2\cdot N'(x) $
Bei Verdopplung des Anfangsbestands verdoppelt sich also auch die Änderungsrate zu jedem Zeitpunkt $x.$
$\blacktriangleright$  Formel für den D-Wert zeigen
Der D-Wert ist der Wert $x=D,$ für den zum ersten mal $N(D) < \frac{1}{10}\cdot N_0$ ist. Gleichsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} N(D)&=& \frac{1}{10}\cdot N_0 \\[5pt] N_0\cdot \mathrm e^{-c\cdot D}&=& \frac{1}{10}\cdot N_0 &\quad \scriptsize \mid\;:N_0 \\[5pt] \mathrm e^{-c\cdot D}&=& \frac{1}{10} &\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] -c\cdot D &=& \ln \left(\frac{1}{10}\right)&\quad \scriptsize \mid\;: (-c) \\[5pt] D&=& -\frac{1}{c}\cdot \ln \left(\frac{1}{10}\right)\\[5pt] D&=& -\frac{1}{c}\cdot \left( \ln \left(1\right) - \ln (10)\right)\\[5pt] D&=& -\frac{1}{c}\cdot \left( 0- \ln \left(10\right)\right)\\[5pt] D&=& -\frac{1}{c}\cdot\left( -\ln \left(10\right)\right)\\[5pt] D&=& \frac{1}{c}\cdot \ln \left(10\right)\\[5pt] D&=& \dfrac{ \ln \left(10\right)}{c}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} N(D)&=& \frac{1}{10}\cdot N_0 \\[5pt] … \end{array}$
#ableitung#änderungsrate
c)
$\blacktriangleright$  Bedeutung der Werte im Sachzusammenhang vergleichen
Da $f_k$ die Anzahl der Erreger beschreibt, beschreibt der Wert $f_k(3)$ die Anzahl der Erreger drei Stunden nach Beobachtungsbeginn.
Der Wert $\displaystyle\int_{0}^{3}f_k'(x)\;\mathrm dx$ beschreibt dagegen den Zuwachs des Bestandes in den ersten drei Stunden, also wie viele Erreger in den ersten drei Stunden zum ursprünglichen Bestand hinzukommen.
Die beiden Werte unterscheiden sich also um den Anfangsbestand der Erreger.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkte berechnen
Abb. 2: menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung
Abb. 2: menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung
Abb. 3: Gleichung lösen mit dem CAS
Abb. 3: Gleichung lösen mit dem CAS

Da $x\geq 0$ vorgegeben ist, fällt $x_3$ weg.
$4$ Stunden, ca. $6,7$ Stunden und ca. $17,6$ Stunden nach Beobachtungsbeginn, ist die Wachstumsgeschwindigkeit des einen Erregertyps doppelt so groß wie die des anderen Typs.
#ableitung
d)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des gemeinsamen Punkts bestimmen
Abb. 4: menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung
Abb. 4: menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung
Einsetzen in die allgemeine Geradengleichung gemeinsam mit den Koordinaten von $W_k$ ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} t_k: \quad y &=& m_k\cdot x + b_k \\[5pt] 5&=& 25\cdot k\cdot \dfrac{\ln(3)}{5\cdot k} + b_k \\[5pt] 5&=& 5\cdot \ln(3)+b_k &\quad \scriptsize \mid\; -5\cdot \ln(3) \\[5pt] 5-5\cdot \ln(3) &=&b_k \end{array}$
$ 5-5\cdot \ln(3) = b_k $
Die Tangenten $t_k$ haben also folgende Funktionsgleichung:
$t_k:\quad y = 25\cdot k\cdot x +5-5\cdot \ln(3)$
2. Schritt: Gemeinsamen Punkt bestimmen
Der $y$-Achsenabschnitt $b_k$ ist unabhängig von $k.$ Alle Tangenten $t_k$ verlaufen also durch den Punkt $(0\mid 5-5\cdot \ln(3)).$
$\blacktriangleright$  Minimalen Flächeninhalt untersuchen
Die drei Eckpunkte des Dreiecks ergeben sich aus den Nullstellen von $t_k$ und $y_k$ und dem Wendepunkt $W_k,$ durch den beide Geraden verlaufen.
Abb. 5: Gleichung lösen mit dem CAS
Abb. 5: Gleichung lösen mit dem CAS
2. Schritt: Funktion für den Flächeninhalt aufstellen
Betrachtet man die Dreiecksseite, die auf der $x$-Achse liegt, als Grundseite, ergibt sich die Länge aus der Differenz der beiden Nullstellen von $t_k$ und $y_k:$
$\begin{array}[t]{rll} g&=& \left(125k +\dfrac{\ln(3)}{5k}\right) -\dfrac{\ln(3)-1}{5k} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{5k}+125k \end{array}$
$g =\dfrac{1}{5k}+125k $
Die zugehörige Höhe entspricht der $y$-Koordinate des Wendepunkts:
$h_g = 5$
Der Flächeninhalt kann dann mit der entsprechenden Formel berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} A(k)&=&\frac{1}{2}\cdot g\cdot h_g \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(\dfrac{1}{5k}+125k \right)\cdot 5 \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2k}+\dfrac{625k}{2} \end{array}$
$ A(k)= \dfrac{1}{2k}+\dfrac{625k}{2}$
Abb. 6: notwendiges Kriterium
Abb. 6: notwendiges Kriterium
Abb. 7: hinreichendes Kriterium
Abb. 7: hinreichendes Kriterium
Es handelt sich bei $k = \frac{1}{25}$ also tatsächlich um eine Minimalstelle. Der Flächeninhalt des Dreiecks wird für $k=\frac{1}{25}$ minimal.
#extrempunkt
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a)
$\blacktriangleright$  Anzahl der noch lebenden Erreger berechnen
Aus der Aufgabenstellung ergibt sich:
$N_0= 1.000.000$ und $c=0,25$
Die Anzahl der nach $x$ Minuten seit Beobachtungsbeginn noch lebenden Bakterien wird daher durch folgende Funktion beschrieben:
$N(x)= 1.000.000 \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot x}$
Gesucht ist also $N(30):$
$\begin{array}[t]{rll} N(30)&=& 1.000.000 \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot 30} \\[5pt] &\approx& 553 \end{array}$
$ N(30)\approx 553 $
$30$ Minuten nach Beginn der Sterilisation leben noch ca. $553$ Erreger.
Abb. 1: Gleichung lösen mit dem CAS
Abb. 1: Gleichung lösen mit dem CAS
Da der Bestand der Erreger stetig fällt, ist also $37$ Minuten nach Beginn der Sterilisation der erste Zeitpunkt auf Minuten gerundet, zu dem weniger als $100$ Erreger übrig sind.
$\blacktriangleright$  Eignung des Modells beurteilen
Bei $N$ handelt es sich um eine Exponentialfunktion der Form $N(x)= a\cdot \mathrm e^{b\cdot x}.$ Diese kann für $a\neq 0$ keine Nullstelle besitzen. Es gibt also keinen Wert für $x,$ für den $N(x)=0$ oder $N(x)< 0$ gilt. Es kann nach diesem Modell also streng genommen keinen Zeitpunkt geben, zu dem keine lebenden Erreger mehr existieren.
Nach der klassischen Definition ist der Zustand „steril“ erst erreicht, wenn keine lebenden Erreger mehr vorhanden sind. Dieser kann nach dem Modell nicht erreicht werden.
Da Erreger aber nur in ganzzahliger Anzahl vorkommen können, kann man zum Beispiel davon ausgehen, dass ab dem ersten Zeitpunkt $x$ mit $N(x)< 1,$ oder einer noch niedrigeren Schranke für einen Sicherheitsabschlag, keine lebenden Erreger mehr vorhanden sind. Streng genommen wäre das Modell so aber nicht geeignet, da sich kein sicherer Zeitpunkt bestimmen lässt, zudem definitiv kein lebender Erreger mehr übrig ist.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung im Sachzusammenhang deuten
Die erste Ableitung $N'$ beschreibt die momentane Änderungsrate der Anzahl der noch lebenden Erreger.
Dadurch, dass $N(x)$ positiv ist und $c>0$ vorgegeben ist, ist $N'(x)$ durchgehend negativ. Die Anzahl der Erreger nimmt also ab. Da $c$ eine Konstante ist, ist die Geschwindigkeit, mit der die Anzahl der lebenden Erreger abnimmt proportional zum momentanen Erregerbestand mit der Proportionalitätskonstante $c.$
$\blacktriangleright$  Auswirkung der Verdopplung untersuchen
Für die Änderungsrate ergibt sich folgende Funktionsgleichung:
$\begin{array}[t]{rll} N'(x)&=& N_0\cdot (-c)\cdot \mathrm e^{-c\cdot x} \\[5pt] &=&-c\cdot N_0\cdot \mathrm e^{-c\cdot x} \end{array}$
$ N'(x)=… $
Bei verdoppeltem Anfangsbestand $N_0$ ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} N'(x)&=& -c\cdot 2\cdot N_0 \cdot \mathrm e^{-c\cdot x} \\[5pt] &=& 2\cdot (-c)\cdot N_0 \cdot \mathrm e^{-c\cdot x} \\[5pt] &=& 2\cdot N'(x) \end{array}$
$ N'(x)= 2\cdot N'(x) $
Bei Verdopplung des Anfangsbestands verdoppelt sich also auch die Änderungsrate zu jedem Zeitpunkt $x.$
$\blacktriangleright$  Formel für den D-Wert zeigen
Der D-Wert ist der Wert $x=D,$ für den zum ersten mal $N(D) < \frac{1}{10}\cdot N_0$ ist. Gleichsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} N(D)&=& \frac{1}{10}\cdot N_0 \\[5pt] N_0\cdot \mathrm e^{-c\cdot D}&=& \frac{1}{10}\cdot N_0 &\quad \scriptsize \mid\;:N_0 \\[5pt] \mathrm e^{-c\cdot D}&=& \frac{1}{10} &\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] -c\cdot D &=& \ln \left(\frac{1}{10}\right)&\quad \scriptsize \mid\;: (-c) \\[5pt] D&=& -\frac{1}{c}\cdot \ln \left(\frac{1}{10}\right)\\[5pt] D&=& -\frac{1}{c}\cdot \left( \ln \left(1\right) - \ln (10)\right)\\[5pt] D&=& -\frac{1}{c}\cdot \left( 0- \ln \left(10\right)\right)\\[5pt] D&=& -\frac{1}{c}\cdot\left( -\ln \left(10\right)\right)\\[5pt] D&=& \frac{1}{c}\cdot \ln \left(10\right)\\[5pt] D&=& \dfrac{ \ln \left(10\right)}{c}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} N(D)&=& \frac{1}{10}\cdot N_0 \\[5pt] … \end{array}$
#änderungsrate#ableitung
c)
$\blacktriangleright$  Bedeutung der Werte im Sachzusammenhang vergleichen
Da $f_k$ die Anzahl der Erreger beschreibt, beschreibt der Wert $f_k(3)$ die Anzahl der Erreger drei Stunden nach Beobachtungsbeginn.
Der Wert $\displaystyle\int_{0}^{3}f_k'(x)\;\mathrm dx$ beschreibt dagegen den Zuwachs des Bestandes in den ersten drei Stunden, also wie viele Erreger in den ersten drei Stunden zum ursprünglichen Bestand hinzukommen.
Die beiden Werte unterscheiden sich also um den Anfangsbestand der Erreger.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkte berechnen
Abb. 2: Definieren der benötigten Funktionen
Abb. 2: Definieren der benötigten Funktionen
Abb. 3: Gleichungen lösen mit dem CAS
Abb. 3: Gleichungen lösen mit dem CAS
Da $x\geq 0$ vorgegeben ist, fällt $x_3$ weg.
$4$ Stunden, ca. $6,7$ Stunden und ca. $17,6$ Stunden nach Beobachtungsbeginn, ist die Wachstumsgeschwindigkeit des einen Erregertyps doppelt so groß wie die des anderen Typs.
#ableitung
d)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des gemeinsamen Punkts bestimmen
Abb. 4: Bestimmen der Steigung mit dem CAS
Abb. 4: Bestimmen der Steigung mit dem CAS
Einsetzen in die allgemeine Geradengleichung gemeinsam mit den Koordinaten von $W_k$ ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} t_k: \quad y &=& m_k\cdot x + b_k \\[5pt] 5&=& 25\cdot k\cdot \dfrac{\ln(3)}{5\cdot k} + b_k \\[5pt] 5&=& 5\cdot \ln(3)+b_k &\quad \scriptsize \mid\; -5\cdot \ln(3) \\[5pt] 5-5\cdot \ln(3) &=&b_k \end{array}$
$ 5-5\cdot \ln(3) = b_k $
Die Tangenten $t_k$ haben also folgende Funktionsgleichung:
$t_k:\quad y = 25\cdot k\cdot x +5-5\cdot \ln(3)$
2. Schritt: Gemeinsamen Punkt bestimmen
Der $y$-Achsenabschnitt $b_k$ ist unabhängig von $k.$ Alle Tangenten $t_k$ verlaufen also durch den Punkt $(0\mid 5-5\cdot \ln(3)).$
$\blacktriangleright$  Minimalen Flächeninhalt untersuchen
Die drei Eckpunkte des Dreiecks ergeben sich aus den Nullstellen von $t_k$ und $y_k$ und dem Wendepunkt $W_k,$ durch den beide Geraden verlaufen.
1. Schritt: Nullstelle von $\boldsymbol{y_k}$ bestimmen
Abb. 5: Gleichung lösen mit dem CAS
Abb. 5: Gleichung lösen mit dem CAS
2. Schritt: Funktion für den Flächeninhalt aufstellen
Betrachtet man die Dreiecksseite, die auf der $x$-Achse liegt, als Grundseite, ergibt sich die Länge aus der Differenz der beiden Nullstellen von $t_k$ und $y_k:$
$\begin{array}[t]{rll} g&=& \left(125k +\dfrac{\ln(3)}{5k}\right) -\dfrac{\ln(3)-1}{5k} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{5k}+125k \end{array}$
$g =\dfrac{1}{5k}+125k $
Die zugehörige Höhe entspricht der $y$-Koordinate des Wendepunkts:
$h_g = 5$
Der Flächeninhalt kann dann mit der entsprechenden Formel berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} A(k)&=&\frac{1}{2}\cdot g\cdot h_g \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(\dfrac{1}{5k}+125k \right)\cdot 5 \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2k}+\dfrac{625k}{2} \end{array}$
$ A(k)= \dfrac{1}{2k}+\dfrac{625k}{2}$
3. Schritt: Funktion auf ein Minimum untersuchen
Abb. 6: Berechnung mit dem CAS
Abb. 6: Berechnung mit dem CAS
Es handelt sich bei $k = \frac{1}{25}$ also tatsächlich um eine Minimalstelle. Der Flächeninhalt des Dreiecks wird für $k=\frac{1}{25}$ minimal.
#extrempunkt
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