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Aufgabe 1A

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Der Sprung eines Fallschirmspringers soll in drei Phasen modelliert werden. In Phase A, beginnend zum Zeitpunkt $t_{0}=0$, wird der Springer bei geschlossenem Fallschirm immer schneller. In Phase B fällt er aufgrund des Luftwiderstandes mit konstanter Sinkgeschwindigkeit. Mit Öffnen des Fallschirms soll Phase C beginnen, in der der Fallschirm den Springer zunächst deutlich abbremst, so dass er schließlich eine zum Landen geeignete nahezu konstante Sinkgeschwindigkeit erreicht. Während des gesamten Sprungs werden die Höhe in Metern über dem Boden und die Zeit in Sekunden gemessen.
a) Der Springer misst während der Phase B zum Zeitpunkt $t_{1}=10\,\text{s}$ die Höhe $h_{1}=1.000\,\text{m}$ und zum Zeitpunkt $t_{2}=14\,\text{s}$ die Höhe $h_{2}=800\,\text{m}$.
Weisen Sie mithilfe dieser Daten nach, dass sich die Höhe des Fallschirmspringers in Abhängigkeit von der Zeit $t$ im Zeitraum der Phase B durch die Funktion $h_B$ mit $h_{B}(t)=1.500-50\cdot t$ beschreiben lässt.
Die Höhe des Fallschirmspringers in Phase A soll näherungsweise durch eine quadratische Funktion $h_{A}$ mit $h_{A}(t)=a\cdot t^{2}+b\cdot t+c$ modelliert werden. Diese soll zum Zeitpunkt $t_{3}=8\,\text{s}$ stetig und differenzierbar an $h_B$ anschließen. Ihr Graph soll durch den Punkt $(4\mid1.250)$ verlaufen.
Bestimmen Sie mithilfe dieser Informationen die Funktionsgleichung für $h_A$.
Skizzieren Sie die entsprechenden Graphen für die Phasen A und B bis zum Zeitpunkt $t_{2}=14\,\text{s}$ und markieren Sie die Grenze zwischen den beiden Phasen.
(17P)
b) Nach 16 Sekunden öffnet der Springer den Fallschirm und leitet damit die Phase C ein.
Die Höhe in dieser Phase soll durch die Funktion $h_{C}$ mit $h_{C}(t)=\frac{45}{2}\cdot\mathrm{e}^{-2\cdot t+32}-5\cdot t+757,5$ modelliert werden.
Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Springer den Boden erreicht.
Für eine sichere Landung sollte die Sinkgeschwindigkeit in etwa den Richtwert von $-5\frac{\text{m}}{\text{s}}$ erreichen.
Bestimmen Sie den Zeitpunkt $t_S$, zu dem eine Geschwindigkeit erreicht wird, die nur noch $0,05\frac{\text{m}}{\text{s}}$ von dem Richtwert abweicht.
Begründen Sie anhand des Terms der Geschwindigkeitsfunktion, dass ab dem Zeitpunkt $t_S$ die Sinkgeschwindigkeit nicht mehr als $0,05\frac{\text{m}}{\text{s}}$ vom Richtwert abweicht.
(14P)
c) Unabhängig von der obigen Modellierung kann die Sinkgeschwindigkeit mit Fallschirm auch durch die Funktion $v$ mit $v(t)=-45\cdot\mathrm{e}^{-2\cdot t}-5$, $t$ in Sekunden, $v(t)$ in Metern pro Sekunde, beschrieben werden.
Zeigen Sie, dass diese Funktion die Differentialgleichung des begrenzten Wachstums
$v'(t)=k\cdot\left(G-v(t)\right)$, mit $k\neq0$, für geeignete Werte von $k$ und $G$ erfüllt.
Klassifizieren Sie die Graphen der Lösungen der Differentialgleichung unabhängig von dem Sachzusammenhang, indem Sie die Vorzeichen der Parameter $k$ und $G$ variieren.
(15P)

(46P)
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