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Aufgabe 3A

Aufgaben
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Die Abbildung zeigt modellhaft den Entwurf eines Zeltes mit den Punkten $A(2\mid 1\mid 0),$ $B(2\mid 3\mid 0) ,$ $C(0 \mid 3 \mid 0),$ $D(0 \mid 1\mid 0) ,$ $E(1\mid 0 \mid 0),$ $S(1\mid 1\mid 2)$ und $T(1\mid 3\mid 2).$ Alle Koordinaten sind in der Einheit Meter angegeben.
a)
Berechne
  • die Länge der Zeltstange zwischen den Punkten $E$ und $S,$
  • den Inhalt der Bodenfläche $ABCDE$ des Zeltes,
  • die Größe des Schnittwinkels, den die Zeltfläche, die durch die Punkte $A,$ $E$ und $S$ aufgespannt wird, mit der Bodenfläche in der $xy$-Ebene bildet.
Begründe, dass die Punkte $A,$ $B,$ $S$ und $T$ in einer Ebene liegen.
(14 BE)
#schnittwinkel
b)
Eine im Punkt $S$ befestigte Spannleine wird entsprechend der Abbildung so gespannt, dass sie in der von den Punkten $D,$ $E$ und $S$ aufgespannten Ebene liegt. Der Befestigungspunkt $F$ der Spannleine liegt im durch die $xy$-Ebene dargestellten Boden. Der Winkel zwischen Spannleine und Boden ist $45^{\circ}$ groß.
Berechne den Abstand des Befestigungspunktes $F$ zur Kante $AE.$
(10 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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a)
$\blacktriangleright$  Länge der Zeltstange berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{ES} \right|&=& \left|\pmatrix{0\\1\\2}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{0^2+1^2+2^2} \\[5pt] &\approx& 2,24 \end{array}$
$ \left|\overrightarrow{ES} \right| \approx 2,24 $
Die Zeltstange zwischen den Punkten $E$ und $S$ ist ca. $2,24\,\text{m}$ lang.
$\blacktriangleright$  Inhalt der Bodenfläche berechnen
Die Bodenfläche setzt sich zusammen aus dem Viereck $ABCD$ und dem Dreieck $ADE.$
Anhand der Koordinaten der Punkte $A,$ $B,$ $C$ und $D$ lässt sich erkennen, dass alle vier Seiten des Vierecks $ABCD$ parallel zur $x$- bzw. $y$-Achse verlaufen. Es handelt sich bei $ABCD$ also um ein Rechteck. Da alle Punkte in der $xy$-Ebene liegen, kannst du die Seitenlängen mithilfe der Koordinaten der Eckpunkte bestimmen. Das Rechteck hat die Seitenlängen $a=2$ und $b=2.$
Der Flächeninhalt des Rechtecks ist daher $A_1 = 2\cdot 2 = 4\,\text{[FE]}.$
Das Dreieck wird beispielsweise von den beiden Vektoren $\overrightarrow{EA}$ und $\overrightarrow{ED}$ aufgespannt.
Der Flächeninhalt ergibt sich mit der entsprechenden Formel zu:
$\begin{array}[t]{rll} A_2&=& \frac{1}{2}\cdot \left|\overrightarrow{EA} \times \overrightarrow{ED}\right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left| \pmatrix{-1\\-1\\0}\times\pmatrix{1\\-1\\0} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left| \pmatrix{-1\cdot 0 - 0\cdot (-1) \\ 0\cdot 1 -(-1)\cdot 0 \\ (-1)\cdot (-1) - (-1)\cdot 1} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left| \pmatrix{0 \\ 0 \\ 2} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot \sqrt{0^2 +0^2 +2^2 } \\[5pt] &=& 1 \end{array}$
$ A_2 = 1 $
Insgesamt beträgt der Flächeninhalt der Bodenfläche also $4\,\text{m}^2+1\,\text{m}^2 = 5\,\text{m}^2.$
$\blacktriangleright$  Größe des Schnittwinkels berechnen
Ein Normalenvektor der $xy$-Ebene ist $\overrightarrow{n}_1 = \pmatrix{0\\0\\1}.$ Ein Normalenvektor der Ebene, in der $A,$ $E$ und $S$ liegen kann mithilfe des Kreuzprodukts berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}_2&=& \overrightarrow{EA}\times \overrightarrow{ES}\\[5pt] &=& \pmatrix{-1\\-1\\0}\times \pmatrix{0\\1\\2} \\[5pt] &=& \pmatrix{-1\cdot 2 - 0\cdot 1 \\ 0\cdot 0 -(-1)\cdot 2 \\ (-1)\cdot 1 -(-1)\cdot 0} \\[5pt] &=& \pmatrix{-2\\2\\-1} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{n}_2 = \pmatrix{-2\\2\\-1} $
Mit der Formel für den Schnittwinkel $\alpha$ zweier Ebenen folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha &=& \dfrac{\left|\overrightarrow{n}_1 \circ \overrightarrow{n}_2 \right|}{\left|\overrightarrow{n}_1 \right| \cdot \left|\overrightarrow{n}_2 \right|} \\[5pt] \cos \alpha &=& \dfrac{\left|\pmatrix{0\\0\\1} \circ \pmatrix{-2\\2\\-1} \right|}{\left|\pmatrix{0\\0\\1} \right| \cdot \left|\pmatrix{-2\\2\\-1} \right|} \\[5pt] \cos \alpha &=& \dfrac{1}{1 \cdot \sqrt{(-2)^2+2^2+(-1)^2}} \\[5pt] \cos \alpha &=& \dfrac{1}{3} &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \alpha &\approx& 70,5^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx 70,5^{\circ} $
Der Schnittwinkel zwischen der Zeltfläche und der Bodenfläche ist ca. $70,5^{\circ}$ groß.
$\blacktriangleright$  Lage in einer Ebene begründen
Es ist $\overrightarrow{AB} = \pmatrix{0\\2\\0}$ und $\overrightarrow{ST} = \pmatrix{0\\2\\0}.$ Die beiden Geraden, die jeweils durch $A$ und $B$ bzw. $S$ und $T$ verlaufen sind also parallel. Durch zwei parallele Geraden ist eine Ebene eindeutig festgelegt. Die vier Punkte $A,$ $B,$ $S$ und $T$ liegen also in einer Ebene.
#kreuzprodukt#vektorbetrag
b)
$\blacktriangleright$  Abstand bestimmen
1. Schritt: Koordinaten des Befestigungspunkts bestimmen
$F$ liegt in der Ebene, die durch $E,$ $S$ und $D$ festgelegt ist und gleichzeitig in der $xy$-Ebene. $F$ muss also auf der Schnittgeraden dieser beiden Ebenen liegen. Da $E$ und $D$ diese beiden Eigenschaften ebenso erfüllen, liegen auch diese auf der Schnittgeraden. Eine Gleichung der Schnittgeraden kann also durch die Koordinaten von $D$ und $E$ bestimmt werden:
$\begin{array}[t]{rll} s:\quad \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OD} + t\cdot \overrightarrow{DE} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\1\\0} +t\cdot \pmatrix{1\\-1\\0} \\[5pt] \end{array}$
$ s:\;\overrightarrow{x}= … $
$F$ hat also Koordinaten der Form $F(t\mid 1-t \mid 0).$
Die Kante $FS$ kann also durch den Vektor $\overrightarrow{FS} = \pmatrix{1-t\\t\\2}$ beschrieben werden. Der Schnittwinkel dieser Kante mit der $xy$-Ebene soll $45^{\circ}$ groß sein. Mithilfe des Normalenvektors $\overrightarrow{n}_1 = \pmatrix{0\\0\\1}$ der $xy$-Ebene ergibt sich dadurch folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \sin 45^{\circ} &=& \dfrac{\left| \overrightarrow{FS} \circ \overrightarrow{n}_1\right|}{\left|\overrightarrow{FS} \right| \cdot \left| \overrightarrow{n}_1\right|} \\[5pt] \sin 45^{\circ} &=& \dfrac{\left| \pmatrix{1-t\\t\\2} \circ \pmatrix{0\\0\\1}\right|}{\left| \pmatrix{1-t\\t\\2} \right| \cdot \left| \pmatrix{0\\0\\1}\right|} \\[5pt] \sin 45^{\circ} &=& \dfrac{2}{ \sqrt{(1-t)^2+t^2+2^2} \cdot 1} \\[5pt] \sin 45^{\circ} &=& \dfrac{2}{ \sqrt{1^2-2t+t^2+t^2+2^2} } \\[5pt] \sin 45^{\circ} &=& \dfrac{2}{ \sqrt{5-2t+2t^2} } &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \sqrt{5-2t+2t^2} \\[5pt] \sqrt{5-2t+2t^2} \cdot \sin 45^{\circ} &=& 2 &\quad \scriptsize \mid\;:\sin 45^{\circ} \\[5pt] \sqrt{5-2t+2t^2} &=& \dfrac{2}{\sin 45^{\circ}} \end{array}$
$ \sqrt{5-2t+2t^2} = … $
Diese Gleichung kannst du nun mit dem solve-Befehl deines CAS lösen und erhältst dann: $t_1 \approx - 0,82 $ und $t_2 \approx 1,82 $
Es ergeben sich also die beiden möglichen Punkte $F_1(-0,82 \mid 1,82 \mid 0)$ und $F_2(1,82\mid -0,82\mid 0 ).$
Betrachtet man die Abbildung und die Tatsache, dass $E$ auf der $x$-Achse und alle übrigen bisher bekannten Punkte rechts der $x$-Achse liegen, muss $F$ links der $x$-Achse liegen, also eine negative $y$-Koordinate haben. $F_2$ ist also der gesuchte Punkt.
2. Schritt: Abstand berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{EA}\circ \overrightarrow{ED }&=& \pmatrix{-1\\-1\\0}\circ \pmatrix{-1\\1\\0 } \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$ \overrightarrow{EA}\circ \overrightarrow{ED } = 0 $
Die beiden Seiten $EA$ und $ED$ verlaufen also orthogonal zueinander. Da der Punkt $F$ auf der Geraden durch $E$ und $D$ liegt, ist der Abstand von $F$ zu $AE$ gerade der Abstand von $F$ zu $E.$
$ \left|\overrightarrow{EF} \right| = \left| \pmatrix{0,82\\-0,82\\0}\right| = \sqrt{0,82^2 +(-0,82)^2 +0^2} \approx 1,16$
$ \left|\overrightarrow{EF} \right|\approx 1,16 $
Der Befestigungspunkt ist also ca. $1,16\,\text{m}$ von der Kante $AE$ entfernt.
#vektorbetrag#skalarprodukt
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