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Aufgabe 3A

Aufgaben
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#pyramide
a)
Beschrifte alle Eckpunkte der Pyramide in der obigen Abbildung.
Die Punkte $A,$ $B$ und $C$ liegen in einer Ebene $T.$
Zeige, dass der Vektor $\overrightarrow{n}$ mit $\overrightarrow{n} = \pmatrix{1\\-1\\1}$ ein Normalenvektor der Ebene $T$ ist.
Gib eine Gleichung für die Ebene $T$ in Koordinatenform an. Berechne den Winkel, den die Ebene $T$ mit der $xy$-Ebene einschließt.
(9 BE)
#schnittwinkel#koordinatenform#ebenengleichung#normalenvektor
b)
Bestimme die fehlenden Koordinaten des Punktes $D.$
(Kontrollergebnis: $a = - 3,$ $b=3$ )
Die Gerade durch $D$ und den Koordinatenursprung schneidet die Ebene $T$ im Punkt $P(1\mid - 1\mid 1)$ orthogonal. $D$ wird an der Ebene $T$ gespiegelt.
Bestimme die Koordinaten des Spiegelpunktes $D'.$
(7 BE)
c)
Die Pyramide wird von einer Ebene mit der Gleichung $z = h$ mit $0 < h < 3$ geschnitten.
Für jedes $h$ mit $0 < h < 3$ ist die sich ergebende Schnittfigur ein Rechteck. Die Punkte $E_h$ und $F_h$ sind zwei Eckpunkte dieses Rechtecks. Für $h = 1$ sind die Punkte $E_1$ und $F_1$ in die Abbildung eingezeichnet.
Zeichne das Rechteck für $h = 1$ in die obige Abbildung ein.
Die Punkte $E_h$ und $F_h$ werden durch $E_h(h\mid - 3\mid h)$ und $F_h( 3\mid -h\mid h )$ beschrieben.
Leite her, dass der Flächeninhalt der Rechtecke in Abhängigkeit von $h$ durch den Term $2 \cdot h \cdot (3 - h)$ beschrieben werden kann.
(8 BE)
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a)
$\blacktriangleright$  Eckpunkte beschriften
Aufgabe 3A
Abb. 1: Beschriftung
Aufgabe 3A
Abb. 1: Beschriftung
$\blacktriangleright$  Normalenvektor nachweisen
Der angegebene Vektor ist ein Normalenvektor von $T,$ wenn er orthogonal zu ihr steht. Dazu muss er orthogonal zu den Verbindungsvektoren der Punkte in der Ebene sein.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{n}&=&\pmatrix{3\\3\\0}\circ \pmatrix{1\\-1\\1} \\[5pt] &=& 0 \\[10pt] \overrightarrow{BC}\circ \overrightarrow{n}&=& \pmatrix{-3\\0\\3}\circ \pmatrix{1\\-1\\1} \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{n}&=& 0 \\[10pt] \overrightarrow{BC}\circ \overrightarrow{n}&=& 0 \end{array}$
Der Vektor $\overrightarrow{n}$ steht senkrecht zur Ebene $T$ und ist damit ein Normalenvektor von $T.$
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung angeben
Ein Normalenvektor von $T$ ist mit $\overrightarrow{n} = \pmatrix{1\\-1\\1}$ bereits bekannt.
Einsetzen des Vektors und der Koordinaten eines Punktes in die allgemeine Ebenengleichung in Koordinatenform liefert:
$\begin{array}[t]{rll} n_1x+n_2y+n_3z &=& d &\quad \scriptsize \mid\;\overrightarrow{n},\,A(0\mid -3\mid 0) \\[5pt] 1\cdot 0 -1\cdot (-3) + 1\cdot 0&=&d\\[5pt] 3&=& d \end{array}$
$ 3=d $
Eine Gleichung der Ebene $T$ in Koordinatenform lautet $T: \, x-y+z = 3.$
$\blacktriangleright$  Winkel berechnen
Der Winkel $\alpha$, den zwei Ebenen einschließen, kann mithilfe von jeweiligen Normalenvektoren berechnet werden. Ein Normalenvektor der $xy$-Ebene ist beispielsweise $\overrightarrow{n}_{xy} = \pmatrix{0\\0\\1}.$
Einsetzen in die entsprechende Formel liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha&=&\dfrac{\left|\overrightarrow{n}\circ\overrightarrow{n}_{xy} \right|}{\left|\overrightarrow{n} \right| \cdot \left|\overrightarrow{n}_{xy} \right|} \\[5pt] \cos \alpha&=&\dfrac{\left|\pmatrix{1\\-1\\1}\circ \pmatrix{0\\0\\1}\right|}{\left|\pmatrix{1\\-1\\1} \right| \cdot \left|\pmatrix{0\\0\\1} \right|} \\[5pt] \cos \alpha&=&\dfrac{1}{\sqrt{1^2+(-1)^2 +1^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}} \\[5pt] \cos \alpha&=&\dfrac{1}{\sqrt{3}} &\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \alpha &\approx& 54,74^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx 54,74^{\circ} $
Die Ebene $T$ schließt mit der $xy$-Ebene einen Winkel der Größe $\alpha\approx 54,74^{\circ}$ ein.
b)
$\blacktriangleright$  Fehlende Koordinate bestimmen
Laut Aufgabenstellung besitzen alle Seitenkanten der Pyramide die gleiche Länge. Für die Länge der Seitenkante $AB$ ergibt sich mit dem entsprechenden Vektorbetrag:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{AB} \right|&=& \left|\pmatrix{3\\3\\0} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{3^2+3^2+0^2} \\[5pt] &=& \sqrt{18} \end{array}$
$\left|\overrightarrow{AB} \right| = \sqrt{18}$
Das Ergebnis kann nun mit dem Vektorbetrag von $\overrightarrow{AD}$ und $\overrightarrow{BD}$ gleichgesetzt werden:
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{18}&=&\left|\overrightarrow{AD} \right| \\[5pt] \sqrt{18}&=& \left|\pmatrix{3\\a+3\\b} \right| \\[5pt] \sqrt{18}&=& \sqrt{3^2+(a+3)^2+b^2} \\[5pt] \sqrt{18}&=& \sqrt{9+(a+3)^2+b^2}&\quad \scriptsize \mid\;^2 \\[5pt] 18&=&9+a^2+6a+9+b^2 &\quad \scriptsize \mid\;-18 \\[5pt] 0&=& a^2+6a+b^2 \\[5pt] \end{array}$
$ 0= a^2+6a+b^2 $
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{18}&=&\left|\overrightarrow{BD} \right| \\[5pt] \sqrt{18}&=& \left|\pmatrix{0\\a\\b} \right| \\[5pt] \sqrt{18}&=& \sqrt{a^2+b^2} \\[5pt] 18&=& a^2+b^2 \end{array}$
$ 18= a^2+b^2 $
Aufgabe 3A
Abb. 2: manu $\to$ 3: Algebra $\to$ 7
Aufgabe 3A
Abb. 2: manu $\to$ 3: Algebra $\to$ 7
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Spiegelpunktes bestimmen
Da die Gerade $g$ durch den Koordinatenursprung und den Punkt $D$ die Ebene $T$ orthogonal im Punkt $P(1\mid -1\mid 1)$ schneidet, ist auch der Vektor $\overrightarrow{DP}$ orthogonal zur Ebene $T.$
Damit muss für den Spiegelpunkt $D'$ gelten:
$\overrightarrow{PD'} = \overrightarrow{DP}.$
Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OD'}&=& \overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PD'}\\[5pt] &=& \overrightarrow{OP}+\overrightarrow{DP} \\[5pt] &=& \pmatrix{1\\-1\\1} +\pmatrix{-2\\2\\-2} \\[5pt] &=& \pmatrix{-1\\ 1\\-1} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{OD'} =\pmatrix{-1\\ 1\\-1} $
Der Spiegelpunkt $D'$ hat die Koordinaten $D(-1\mid 1\mid -1).$
c)
$\blacktriangleright$  Rechteck einzeichnen
Aufgabe 3A
Abb. 3: Einzeichnen des Rechtecks
Aufgabe 3A
Abb. 3: Einzeichnen des Rechtecks
$\blacktriangleright$  Term für den Flächeninhalt herleiten
Der Punkt $G_h$ liegt auf der Strecke $\overline{BC}$ und kann daher wie folgt dargestellt werden:
$\overrightarrow{OG_h} = \overrightarrow{OB} + s\cdot \overrightarrow{BC} $ mit $0< s < 1.$
Zudem liegt er in der Ebene mit $z=h$ und hat daher folgende Koordinaten $G_h(x\mid y \mid h).$
Gleichsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x\\y\\h}&=& \pmatrix{3\\0\\0}+s\cdot \pmatrix{-3\\0\\3} \\[5pt] \pmatrix{x\\y\\h}&=& \pmatrix{3-3s\\0\\3s} \\[5pt] \end{array}$
$ \pmatrix{x\\y\\h}= \pmatrix{3-3s\\0\\3s} $
Aus der zweiten Zeile ergibt sich gleich $y =0.$ Aus der dritten Zeile folgt $h = 3s.$ Damit ergibt sich für die erste Zeile $x=3-h$ und insgesamt lauten die Koordinaten von $G_h$ dann:
$G_h(3-h\mid 0\mid h)$
Eine Seitenlänge des Rechtecks ergibt sich über den Vektorbetrag von $\overrightarrow{F_hG_h},$ die zweite über den Vektorbetrag von $\overrightarrow{E_hF_h}:$
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{F_hG_h}\right|&=& \left|\pmatrix{h\\h\\0}\right|\\[5pt] &=& \sqrt{h^2+h^2+0^2} \\[5pt] &=& \sqrt{2h^2} \\[5pt] &=& \sqrt{2}h \\[10pt] \left|\overrightarrow{E_hF_h}\right|&=& \left|\pmatrix{3-h\\-h+3\\0}\right|\\[5pt] &=& \sqrt{(3-h)^2+ (-h+3)^2+0^2} \\[5pt] &=& \sqrt{2(3-h)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{2}\cdot (3-h) \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{F_hG_h}\right|&=& \sqrt{2}h \\[10pt] \left|\overrightarrow{E_hF_h}\right|&=& \sqrt{2}\cdot (3-h) \\[5pt] \end{array}$
Der Flächeninhalt des Rechtecks ergibt sich daher zu:
$\begin{array}[t]{rll} A(h)&=& \left|\overrightarrow{F_hG_h}\right| \cdot \left|\overrightarrow{E_hF_h}\right| \\[5pt] &=&\sqrt{2}h \cdot \sqrt{2}\cdot (3-h) \\[5pt] &=& 2\cdot h\cdot(3-h) \end{array}$
$ A(h) = … $
#vektorbetrag
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a)
$\blacktriangleright$  Eckpunkte beschriften
Aufgabe 3A
Abb. 1: Beschriftung
Aufgabe 3A
Abb. 1: Beschriftung
$\blacktriangleright$  Normalenvektor nachweisen
Der angegebene Vektor ist ein Normalenvektor von $T,$ wenn er orthogonal zu ihr steht. Dazu muss er orthogonal zu den Verbindungsvektoren der Punkte in der Ebene sein.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{n}&=&\pmatrix{3\\3\\0}\circ \pmatrix{1\\-1\\1} \\[5pt] &=& 0 \\[10pt] \overrightarrow{BC}\circ \overrightarrow{n}&=& \pmatrix{-3\\0\\3}\circ \pmatrix{1\\-1\\1} \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{n}&=& 0 \\[10pt] \overrightarrow{BC}\circ \overrightarrow{n}&=& 0 \end{array}$
Der Vektor $\overrightarrow{n}$ steht senkrecht zur Ebene $T$ und ist damit ein Normalenvektor von $T.$
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung angeben
Ein Normalenvektor von $T$ ist mit $\overrightarrow{n} = \pmatrix{1\\-1\\1}$ bereits bekannt.
Einsetzen des Vektors und der Koordinaten eines Punktes in die allgemeine Ebenengleichung in Koordinatenform liefert:
$\begin{array}[t]{rll} n_1x+n_2y+n_3z &=& d &\quad \scriptsize \mid\;\overrightarrow{n},\,A(0\mid -3\mid 0) \\[5pt] 1\cdot 0 -1\cdot (-3) + 1\cdot 0&=&d\\[5pt] 3&=& d \end{array}$
$ 3=d $
Eine Gleichung der Ebene $T$ in Koordinatenform lautet $T: \, x-y+z = 3.$
$\blacktriangleright$  Winkel berechnen
Der Winkel $\alpha$, den zwei Ebenen einschließen, kann mithilfe von jeweiligen Normalenvektoren berechnet werden. Ein Normalenvektor der $xy$-Ebene ist beispielsweise $\overrightarrow{n}_{xy} = \pmatrix{0\\0\\1}.$
Einsetzen in die entsprechende Formel liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha&=&\dfrac{\left|\overrightarrow{n}\circ\overrightarrow{n}_{xy} \right|}{\left|\overrightarrow{n} \right| \cdot \left|\overrightarrow{n}_{xy} \right|} \\[5pt] \cos \alpha&=&\dfrac{\left|\pmatrix{1\\-1\\1}\circ \pmatrix{0\\0\\1}\right|}{\left|\pmatrix{1\\-1\\1} \right| \cdot \left|\pmatrix{0\\0\\1} \right|} \\[5pt] \cos \alpha&=&\dfrac{1}{\sqrt{1^2+(-1)^2 +1^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}} \\[5pt] \cos \alpha&=&\dfrac{1}{\sqrt{3}} &\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \alpha &\approx& 54,74^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx 54,74^{\circ} $
Die Ebene $T$ schließt mit der $xy$-Ebene einen Winkel der Größe $\alpha\approx 54,74^{\circ}$ ein.
b)
$\blacktriangleright$  Fehlende Koordinate bestimmen
Laut Aufgabenstellung besitzen alle Seitenkanten der Pyramide die gleiche Länge. Für die Länge der Seitenkante $AB$ ergibt sich mit dem entsprechenden Vektorbetrag:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{AB} \right|&=& \left|\pmatrix{3\\3\\0} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{3^2+3^2+0^2} \\[5pt] &=& \sqrt{18} \end{array}$
$\left|\overrightarrow{AB} \right| = \sqrt{18}$
Das Ergebnis kann nun mit dem Vektorbetrag von $\overrightarrow{AD}$ und $\overrightarrow{BD}$ gleichgesetzt werden:
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{18}&=&\left|\overrightarrow{AD} \right| \\[5pt] \sqrt{18}&=& \left|\pmatrix{3\\a+3\\b} \right| \\[5pt] \sqrt{18}&=& \sqrt{3^2+(a+3)^2+b^2} \\[5pt] \sqrt{18}&=& \sqrt{9+(a+3)^2+b^2}&\quad \scriptsize \mid\;^2 \\[5pt] 18&=&9+a^2+6a+9+b^2 &\quad \scriptsize \mid\;-18 \\[5pt] 0&=& a^2+6a+b^2 \\[5pt] \end{array}$
$ 0= a^2+6a+b^2 $
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{18}&=&\left|\overrightarrow{BD} \right| \\[5pt] \sqrt{18}&=& \left|\pmatrix{0\\a\\b} \right| \\[5pt] \sqrt{18}&=& \sqrt{a^2+b^2} \\[5pt] 18&=& a^2+b^2 \end{array}$
$ 18= a^2+b^2 $
Aufgabe 3A
Abb. 2: Keyboard $\to$ Math2
Aufgabe 3A
Abb. 2: Keyboard $\to$ Math2
Die fehlenden Koordinaten des Punkts $D$ lautet $a= -3$ und $b=3.$
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Spiegelpunktes bestimmen
Da die Gerade $g$ durch den Koordinatenursprung und den Punkt $D$ die Ebene $T$ orthogonal im Punkt $P(1\mid -1\mid 1)$ schneidet, ist auch der Vektor $\overrightarrow{DP}$ orthogonal zur Ebene $T.$
Damit muss für den Spiegelpunkt $D'$ gelten:
$\overrightarrow{PD'} = \overrightarrow{DP}.$
Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OD'}&=& \overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PD'}\\[5pt] &=& \overrightarrow{OP}+\overrightarrow{DP} \\[5pt] &=& \pmatrix{1\\-1\\1} +\pmatrix{-2\\2\\-2} \\[5pt] &=& \pmatrix{-1\\ 1\\-1} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{OD'} =\pmatrix{-1\\ 1\\-1} $
Der Spiegelpunkt $D'$ hat die Koordinaten $D(-1\mid 1\mid -1).$
c)
$\blacktriangleright$  Rechteck einzeichnen
Aufgabe 3A
Abb. 3: Einzeichnen des Rechtecks
Aufgabe 3A
Abb. 3: Einzeichnen des Rechtecks
$\blacktriangleright$  Term für den Flächeninhalt herleiten
Der Punkt $G_h$ liegt auf der Strecke $\overline{BC}$ und kann daher wie folgt dargestellt werden:
$\overrightarrow{OG_h} = \overrightarrow{OB} + s\cdot \overrightarrow{BC} $ mit $0< s < 1.$
Zudem liegt er in der Ebene mit $z=h$ und hat daher folgende Koordinaten $G_h(x\mid y \mid h).$
Gleichsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x\\y\\h}&=& \pmatrix{3\\0\\0}+s\cdot \pmatrix{-3\\0\\3} \\[5pt] \pmatrix{x\\y\\h}&=& \pmatrix{3-3s\\0\\3s} \\[5pt] \end{array}$
$ \pmatrix{x\\y\\h}= \pmatrix{3-3s\\0\\3s} $
Aus der zweiten Zeile ergibt sich gleich $y =0.$ Aus der dritten Zeile folgt $h = 3s.$ Damit ergibt sich für die erste Zeile $x=3-h$ und insgesamt lauten die Koordinaten von $G_h$ dann:
$G_h(3-h\mid 0\mid h)$
Eine Seitenlänge des Rechtecks ergibt sich über den Vektorbetrag von $\overrightarrow{F_hG_h},$ die zweite über den Vektorbetrag von $\overrightarrow{E_hF_h}:$
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{F_hG_h}\right|&=& \left|\pmatrix{h\\h\\0}\right|\\[5pt] &=& \sqrt{h^2+h^2+0^2} \\[5pt] &=& \sqrt{2h^2} \\[5pt] &=& \sqrt{2}h \\[10pt] \left|\overrightarrow{E_hF_h}\right|&=& \left|\pmatrix{3-h\\-h+3\\0}\right|\\[5pt] &=& \sqrt{(3-h)^2+ (-h+3)^2+0^2} \\[5pt] &=& \sqrt{2(3-h)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{2}\cdot (3-h) \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{F_hG_h}\right|&=& \sqrt{2}h \\[10pt] \left|\overrightarrow{E_hF_h}\right|&=& \sqrt{2}\cdot (3-h) \\[5pt] \end{array}$
Der Flächeninhalt des Rechtecks ergibt sich daher zu:
$\begin{array}[t]{rll} A(h)&=& \left|\overrightarrow{F_hG_h}\right| \cdot \left|\overrightarrow{E_hF_h}\right| \\[5pt] &=&\sqrt{2}h \cdot \sqrt{2}\cdot (3-h) \\[5pt] &=& 2\cdot h\cdot(3-h) \end{array}$
$ A(h) = … $
#vektorbetrag
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